梁结构边界条件识别的行波法
梁结构边界条件识别的行波法)))邓长华 任建亭 任兴民等
梁结构边界条件识别的行波法
邓长华 任建亭 任兴民 高跃飞
西北工业大学,西安,710072
摘要:基于Euler-Bernoulli梁模型,研究了梁结构的波动动力学方程以及结点散射关系,在此基础上提出了行波法识别梁结构边界条件的新方法。以系统固有频率值为已知量,从行波观点出发,建立起系统的特征方程,由特征方程反解识别得到结构的边界参数。通过对附加弹性支撑的悬臂梁进行振动实验,利用所测的低阶固有频率值,辨识出边界的横向和扭转刚度。实验结果表明,该方法具有良好的识别精度,是一种极有潜力的参数辨识方法。
关键词:行波;结点散射;参数辨识;边界条件;特征方程
中图分类号:TB123 文章编号:1004-132Ⅹ(2005)10-0861-04
IdentificationofBoundaryConditionsforBeamStructuresBasedonTravelingWaveMethod
DengChanghua RenJianting RenXingmin GaoYuefeiNorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi.an,710072
Abstract:Anewidentificationmethodforboundaryconditionsofbeamstructuresweredevelopedbyusingtravelingwavemethodandnaturalfrequencies.Forbeamstructures,thefeaturesofwavepropagationinwave-guideswereextracted.Sothesystemcharacteristicequationswereformedinviewofthescatteringandtransmissionrelations.Eachofthenaturalfrequenciesmustfitthecharac-teristicequations.Therefore,theboundaryconditionsareobtainedbysolvingthecharacteristicequa-tionsinversely.Theorderofthesenon-linearequationsisequaltothenumberofboundaryparame-terstobeidentified.Experimentswereperformedonacantileversupportedwithelasticfastens.Ex-perimentalresultsshowthatthisapproachhasgoodprecisionandstabilization.
Keywords:travelingwave;jointscattering;parameteridentification;boundarycondition;charac-teristicequation
0 引言
结构振动分析中,若要真实地模拟实际系统的动力特性,关键在于建立具有精确系统参数的运动微分方程。实际结构总是通过各种方式与边界相连,因此,只有较为精确地识别出结构的边界条件,才能进一步分析结构的动力特性。国内外许多学者在边界条件的参数识别上做了大量的工作,提出了不少的识别方法。这些方法都基于有限元模型对边界参数进行识别。因此,为了保证模型的精度,势必划分较多的单元,以致增加计算效率。工程中的一大类结构,如梁结构、管道系统、框架以及桁架等,可看作由梁或杆单元组装而成,尽管整个结构的构型可能非常复杂,但每个单元都很简单,其模型一般都可精确地建立。为充分利用这个优点,在这类结构的振动分析中逐渐发展起来了一种行波方法(或波动方法)。本文从波动观点出发,利用行波法识别梁结构边界条件的新思路,在边界结点散射关系的基础上,
收稿日期:2004-07-14
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10202020,50475147);航空科学基金资助项目(02B53007)
[6~8]
[1~5]
建立了边界条件参数识别的新方法,最后通过实验验证了该方法在梁结构参数辨识中的有效性。
1 识别方法
行波方法中,梁结构可看作一维单元(图1)通过结点(图2)连接而成,沿着单元有弯曲波、扭转波和轴向波的传播[6]。为了分析方便,本文以梁在平面内的弯曲振动为例来建立系统的波动动
力学模型。
图1 单元波传播示意图
当不考虑剪切变形和转动惯量的影响时,可以采用Euler-Bernoulli梁模型对单元的弯曲振动进行分析。这时单元在频域内的自由振动方程为
中国机械工程第16卷第10期2005年5月下半月
TTT
未知量,并令Wo=[wT1o w2o , wno],Wi=TTT[wT1i w2i , wni]。根据结点上力平衡和位移
边界条件可得到如下散射方程:
Wo=SWi+GR
为外力向量。
(9)
式中,S、G分别为系统反射系数矩阵和影响系数矩阵;R
图2 结点波散射示意图EI
54w
-QSX2w=04
(1)
另一方面,单元左右结点的入射波和出射波模式与单元任一截面上的波模式传递关系为
w1iw=
H10
0H
e-ikl10
w-w+0e-kl1
w-w+
=
H20e-ikl20
0H10e-kl2
w2ow(10)
H1=
(2)
H2=
式中,X为角频率;w为单元的横向位移;EI为弯曲刚度;Q、S分别为单元的密度和横截面积。
上式的通解为
w(x,X)=A1eikx+A2ekx+A3e-ikx+A4e-kx
k=
4
式中,l1、l2分别为单元截面距左右结点的距离(图1)。
将单元的传递关系叠加可得到
Wi=T1Wm Wm=T2Wo
(11)
式中,Wm为系统波模式;T1、T2为系统传递关系的组集。
T
式中,k为弯曲波波数,Aj(j=1,2,3,4)为波幅系数。
定义单元内的波模式
+
T
[7]
-
为
(3)
-kx
-ikx
w=[w3w4] w=[w1w2]
w1=A1e
ikx
w2=A2e w3=A3e
kx w4=A4e
将式(11)代入式(9),可得到系统方程
Wm=+-1T2GR+=I-T2ST1
式中,I为单位矩阵。
(12)
单元截面上任一点的位移和内力可以通过系统的传递波来表示,令截面位移向量为u,内力向量为f,则有
u=[w U] f=[q m]
T
T
实际结构的振动是一无限波重复传播循环过
(4)
程,系统固有振动的模态是由波幅相等并且传播反向的行波叠加形成的,因此,当采用行波法分析系统的固有频率时,由相位原理知,当相邻的波动循环入射波之间的相位差为2P的整数倍时系统发生共振,则系统特征方程为
det(+)=det(I-T2ST1)=0
(13)(14)
式中,U为单元截面处的弯曲转角;q、m分别为剪力和弯矩。
由于
U=EI5w/5x
q=-EI53w/5x3
m=EI52w/5x2
(5)
因此可得到
wUq=
1ikiEIk3-EI
k2
1k-EIk3EIk2
1-ik-iEIk3-EIk2
1-kEIk3EIk2
w1w2w3w(6)
由上式可知,在某一固有频率Bi下,有
f(Bi,N)=det(I-T2ST1)=0
式中,N为未知的边界参数,即刚度、阻尼以及集中质量。
为了求解上式,所需的方程数应该与未知边界条件数相等,也即所需的固有频率数等于未知的边界条件数。采用一般的非线性方程组求解算法求解上式即可得到未知的边界参数。
上式可写作
f
YuL=
YfL=
iEIk
3
=kEIk2
Y
uLYfL
YuRYfw-w+1-ik
1-3
(7)
1ik
2 实验装置及结果讨论
实验装置如图3所示,悬臂梁全长L=
EIk
3
YuR=
3
-EIk
-EIk2
YfR=
-iEIk
-EIk2EIk2
500mm,横截面宽b=56mm,高h=9.2mm,密度Q=7860kg/m,弹性模量E=210@(1+01003i)GPa。激振器距悬臂梁左端的距离L1=200mm。4个相同的线性弹簧Ks(Ks为单个弹簧
的刚度系数)固定在悬臂梁右端支架上,支架宽度lb=14mm,质量为0.3195kg。4个线性弹簧距支架中心线的距离ls相等,其中ls=74mm。
实验分两种情况:①软支撑情形,弹簧刚度Ks=3030N/m;②硬支撑情形,弹簧刚度Ks=
3
在绝对坐标系下,单元的状态方程可由式(7)经过变换得到,即
=
A
WiWo
C(8)
式中,U、F分别为绝对坐标系下的位移向量和内力向量;Wi、Wo分别为结点处的入射波和出射波模式;A、B、C和D均为变换矩阵。
选取各个单元的出射波和入射波模式为基本
#
梁结构边界条件识别的行波法)))邓长华 任建亭 任兴民等
刚度,其结果如表2所示。
表2 左端刚度识别结果
刚度KtL(N/m)KrL(N#m/rad)
识别值[email protected]@105
当悬臂梁右端分别附加软支撑和硬支撑后,利用第一步识别得到的梁左端刚度值以及附加支
图3 实验装置示意图
撑后的低阶固有频率值(表1),进一步识别右端的横向刚度以及扭转刚度,识别结果分别列于表3和表4中。表中同时给出的还有横向刚度和扭转刚度的理论值以及识别误差,其中横向和扭转刚度的理论值分别由式(15)、式(17)求得。
表3 软支撑刚度识别结果(Ks=3030N/m)
实验识别
刚度Kt(N/m)Kr(N#m/rad)
理论值
结果
1212066
1187259
误差2.05%10.61%
６１４３犖／犿。实验前对弹簧施加一定的预应力,并假设实验中弹簧始终承受拉力,由此得到右端边
界的横向刚度为
Kt=4K
s
(15)
同时,由横向刚度产生的附加扭转刚度为
Kr=2Ksl2s
式中,C为悬臂梁右端边界处的弯曲转角。
(16)
在结构微振动时,可认为sin2CU2C,因此式(16)可简化为
Kr=4Ksl2s
(17)
表4 硬支撑刚度识别结果(Ks=6143N/m)
实验识别
刚度Kt(N/m)Kr(N#m/rad)
理论值
结果
24572135
24364123
误差0.85%8.89%
边界条件对低频特性的影响大于高频特性,也即低阶固有频率对边界参数反应灵敏,因此关注实验低阶模态,仅测量系统的前两阶模态,实验模态参数见表1。从表中可见,在悬臂梁右端无附加弹簧,左端视为理想的固定端时,理论计算得到的固有频率值与实验值相差较大,其中二阶频率误差在7%左右,这表明边界的动力刚度对整体结构的动态特性有着重要的影响。因此,为了提高右端刚度的识别精度,需要对悬臂梁左端的动力刚度进行修正。由于左端接近刚性支撑,忽略阻尼和质量,模态参数不会产生较大的误差
表1 实验固有频率(Hz)
无附加弹簧理论值
一阶频率二阶频率
24.63167.00
实验值24.18154.77
30.68154.96
36.34155.96
软支撑
硬支撑
[3]
由识别结果可以看出:梁右端的两组横向刚
度识别值与理论值相比,误差小于3%,两组扭转刚度识别值与理论值相比,误差在11%以内,因此横向刚度的识别精度优于扭转刚度的识别,当梁右端横向刚度较大时,刚度的识别精度高。究其原因,主要为横向刚度产生的附加扭转刚度与梁右端的弯曲转角有关,通过式(17)计算得到的扭转刚度为横向刚度产生的最大附加扭转刚度。当右端横向刚度较小时,由于右边界的弯曲转角较大,从而使得sin2C
,由此可
假设左端的边界参数由横向和扭转刚度组成。
3 结论
采用行波方法对梁结构进行动力学建模,将波动理论引入到结构边界的参数辨识中,具有识别方法简单且计算效率高、精度高等优点。通过对一附加弹簧的悬臂梁边界刚度的识别,验证了该方法应用在梁结构参数识别上的有效性,表明了波动分析方法是一种极有潜力的数值方法。
参考文献:
[1] AhmadianH,MottersheadJE,FriswellMI.Bound-aryconditionidentificationbysolvingcharacteristicequations.JournalofSoundandVibration,2001,247(5):755~763
实验分两步进行:第一步通过对右端不加弹簧的悬臂梁进行随机激振得到系统的频响函数,
利用模态参数(固有频率)识别得到左端的横向刚度KtL和扭转刚度KrL;第二步对右端附加弹簧的悬臂梁进行随机激振测量系统的频响函数,应用第一步识别得到的左端横向刚度、扭转刚度以及附加弹簧后系统的固有频率值识别右端横向刚度KtR和扭转刚度KrR。
通过无附加弹簧时悬臂梁的一阶、二阶固有频率实验值,识别得到梁左端的横向刚度和扭转
中国机械工程第16卷第10期2005年5月下半月
高速磨削用电主轴结构动态优选设计
钱 木 蒋书运
东南大学,南京,210096
摘要:考虑滚动轴承径向刚度随转速非线性变化,运用传递矩阵法对电主轴的临界转速和静刚度特性进行了系统的研究,用Matlab工具开发了一套具有自主知识产权的动态计算分析软件。以某款精密高速(51000r/min)磨削用电主轴为对象,分析了主轴结构参数与砂轮参数对主轴动态特性的影响,并对主轴结构进行了优选设计。结果表明,基于传递矩阵法编制的电主轴动态设计软件运行可靠、操作简便,可应用于电主轴的动态设计与快速开发。经优选设计后,电主轴的一阶临界转速和主轴端静刚度均有较大幅度的提高。
关键词:电主轴;转子动力学;传递矩阵法;动态优化
中图分类号:TH133 文章编号:1004-132Ⅹ(2005)10-0864-05
DynamicOptimizationofaHighSpeedMotorizedSpindle
QianMu JiangShuyun
SoutheastUniversity,Nanjing,210096
Abstract:Therotordynamiccharacteristicsofahigh-speedmotorizedspindlewascalculated,whileconsideringthenonlinearvariationofbearingradialstiffnesswithincreaseofrotationalspeed,thecriticalspeedandstaticstiffnessofthesystem,andasoftwarepackagewasdevelopedusingMat-lab.Takinghighspeedmotorizedspindleasanobject,theeffectsofstructureofspindleandgrindingwheelondynamiccharacteristicswereanalyzedanddynamicoptimizationofspindlewasmadebythesoftware.Theresultsshowthatthesoftwareiseffective,stableanduser-friendly.Thefirstordercriticalspeedandstaticstiffnessofthespindleincreasesgreatlyafteroptimization.
Keywords:motorizedspindle;rotordynamics;transfermatrixmethod;dynamicoptimization
0 引言
电主轴正朝着高速大功率的方向发展,所以高速下主轴的动态特性显得尤为重要。近年来,国内外对此进行了大量的研究,如A-lShareef等[1]利用影响系数法分析了主轴系统,考虑了工
收稿日期:2004-07-19
基金项目:江苏省自然科学基金资助项目(BK2002059);江苏省/十五0科技攻关项目(BE2003071)
件质量所起的作用,比较了连续模型和离散模型之间的计算差异;Kang等利用有限元方法分析了主轴跨距对主轴动特性的影响,并进一步采用子结构法和成熟商业软件Ansys进行计算;Zeljkovic等运用实验方法研究了高速主轴的动静特性,并着重考察轴承排列方式对主轴特性的影响;Chen等[4]在考虑高转速下轴承刚度非线性变化的基础上,分析了转速、轴端载荷和磨削颤
行波方法.应用力学学报,1998,15(4):60~65[7] BealeLS,AccorsiML.PowerFlowinTwoand
Three-dimensionalFramesStructures.JournalofSoundandVibration,1995,185(4):685~702[8] HalkyardCR,MaceBR.StructuralIntensityin
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(编辑 郭 伟)
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[6] 朱桂东,崔祜涛,郑钢铁,等.框架结构振动分析的#作者简介:邓长华,男,1978年生。西北工业大学工程力学系博士研究生。主要研究方向为振动控制与边界识别等。任建亭,男,1968年生。西北工业大学工程力学系副教授。任兴民,男,1960年生。西北工业大学工程力学系教授。高跃飞,男,1960年生。西北工业大学工程力学系博士研究生。