第二章_应力分析
第二章 应力分析
研究弹性力学问题要从三方面规律(条件):平衡、几何、物理来建立,本章就是研究第一个规律:平衡规律。
第1节 内力和外力
1.1 外力:
物体承受外因而导致变形,外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用;另一方面从量纲分类,外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。
1. 外部体力:作用在物体单位体积(质量)上的力如重力(惯性力)。 量纲:力/(长度)3。
求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法:
X 2
X 2
X X
1
第2节 应力和应力张量
2.1 应力
当变形体受外力作用时,要发生变形,同时引起物体内部各点之间相互作用力(抵抗力)——内力,为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法:
过P 点设一个截面S 将V 分为两部分:(作用力与反作用力)
F -F
2
n 1=n x =l 、n 2=n y =m 、n 3=n z =n 。即
t (n ) =t (i ) n i =t (1) n 1+t (2) n 2+t (3) n 3=t (x ) l +t (y ) m +t (z ) n
∆A B C =∆S ,
∆P B C =n 1∆S ,
x 2
∆PAC =n 2∆S , ∆PAB =n 3∆S ,
x 1
t (n ) ∆S +t (-i ) ∆S i +f ∆V =0
∆S i =n i ∆S 代入上式,并忽略高阶微量 而 t (-i ) =-t (i ) ,
t (n ) ∆S -t (i ) n i ∆S =0
或 展开为 或
t (n ) =n i t (i )
t (n ) =t (1) n 1+t (2) n 2+t (3) n 3 t (n ) =t (x ) l +t (y ) m +t (z ) n
2.1 应力张量
每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量,比如坐标面法线为x 1
t (1) =t (x ) =σ11e 1+σ12e 2+σ13e 3=σxx e x +σxy e y +σxz e z =σ1j e j =σxj e j
x 3
x (x)
1
3
同理,得
t (2) =t (y ) =σ21e 1+σ22e 2+σ23e 3=σyx e x +σyy e y +σyz e z =σ2j e j =σyj e j t (
3) =t (z ) =σ31e 1+σ32e 2+σ33e 3=σzx e x +σzy e y +σzz e z =σ3j e j =σzj e j
4
5
6
7
8
⎪p 2
p 2=σ2l 2=l 2⎬ (3. 25)
σ2
⎪⎪p 3
p 3=σ3l 3=l 3⎪
σ3⎭
将法线方向n 取为单位长度,则
22l 12+l 2+l 3=1 (3. 26)
将式(3.25)代入式(3.26),得
(
p 1
2
)p 2
σ1σ2
2
)+(
p 3
σ3
2
)=1 (3. 27)
3.3.2. 讨论:
9
(1):如果以p 1,p 2,p 3为坐标轴建立直角坐标系,则在此坐标系中,上式为一
椭球面方程,主半轴分别为σ1,σ2,σ3,称为应力椭球面。此椭球面上任一点都存在着三个坐标p 1,p 2,p 3,分别为过o 点的某一平面上应力的三个分量。
(2):当σ1=σ2=σ3时,式(3.27)变为:
222
(p 1)+(p 2)+(p 3)=σ2 (3. 28)
上式为一球面方程。在主坐标系中,三个主应力均等于σ的应力张量为σδ,
00⎤⎡σδ11
⎥
0σδ0 σδ=⎢11⎢⎥
⎢0σδ11⎥⎣0⎦
⎧1 i =j ⎫
式中,δ=δij =⎨⎬——应力球张量
0 i ≠j ⎩⎭(3)应力偏张量
莫尔园
σ
10