基于三角模糊数表示重要度的层次分析法

第１８巷增刊ｔ

Ｖｏｔ．１８

Ｓｕｐｐ［．１

控制与

Ｃｏｎｔｒｏｌ

ａｎｄ

决策

Ｄｅｃｉｓｉｏｎ

２００３年３月

Ｍａｒ．２００３

基于三角模糊数表示重要度的层次分析法

钱存华，聂琦波，孙玉玲

（南京工业大学管理科学与工程学院，扛苏南京２１０００９）

捕要：使用传统的判断炬阵，把各十评价项目的重要度以及各评价项目下各方寨的重要度表达成三角模糊数，给出了模糊综合重要度的计算原理，步鼻和一种筒便的近似方法，从而构楚了垒新的模糊层次舟析法模型．它保留了层次分析法曲两＿两比较判断的优势．既使央策者以及评价对象本身所具有的模Ｊｊ！性有效地利用起来进行综合评价，又使计算量得以藏少．关麓词：层次分析法Ｉ三角模糊羲｝横糊层次分析法

１引言

层次分析法（ＡＨＰ）是一种实用的多准则决策方法“］，随着其理论的逐步完善，它的应用范围也在不断扩大．ＡＨＰ在分解、判断这两个方面发挥了其特有的潜力。文献［２，３］进行模糊综合评判，但评价结果是各方案满足总目标的隶属函数值，本质上也是一个确定值。文献［４，５］曾考虑利用模糊集合，最近也有许多这方面的研究成果，但都是模拗综合评判或建立模糊互反或互补判断矩阵。

本文使用传统的判断矩阵，考虑把各个评价项目的重要度以及各评价项目下各方案的重要度表达成三角模糊数，既使决策者以及评价对象本身所具有的模糊性有效地利用起来进行综合评价，又使计算量得以减少。

∑ｑ一１，ｉ一１，…，ｍ

，一１

以Ｐｌ，．“，～为权重，计算方案Ｊ在各评价项目下重要度ｑ一（ｍｊ，…，岬）的加权算术平均数

Ｓ，；，（屿）＝∑肛ｑ

Ｉ‘１

（２）

求得综合重要度Ｓ一（Ｓ１Ｉ．“，Ｓ。）。一般按综合重要度Ｓ，值的大小排序。

在此，考虑把各个评价项目ｉ的重要度肚以及评价项目ｉ下方案』的重要度ｑ表达成三角模糊数，有效地利用决策者以及评价对象本身所具有的模糊性进行综合评价．

２．１

评价项目的模糊Ｉ要度

判断矩阵Ａ的元素ａｉ反映项目ｉ对项目Ｊ的直

２基于三角模糊数的层次分析法

不失一般性，设最终目标与ｎ个方案之间只有一个层次，分解成ｍ个评价项目。在传统的ＡＨＰ中，对这ｍ个评价项目进行两两比较，其判断矩阵为Ａ

接重要度，矩阵Ａ２的元素ｎ≯＝∑ａａａ”为项目ｆ对

ｈ－－１

项目Ｊ的两步累积重要度，它包含了直接重要度，能更确切地反映判断者针对项目ｉ对项目ｊ的熏要度的判断倾向。一般地，矩阵Ａ的＾次幂Ａ‘的元素ｎ∥为项目ｉ对项目Ｊ的ｋ步累积重要度，它比＾一１步累积重要度能更确切地反映项目ｉ对项目ｊ的重要度倾向，当＾一ｏｏ时，称为最终累积重要度。已经证明对任意ｉ，，，有‘”

一（口。，）…，解Ａ的特征根问题

ＡＦ—ｋ卢

（１）

其中：ｋ；是＾的最大特征根，户是相应的特征向量。

Ｐ经和为１的归一化处理后，便可作为评价项目的重要度或权重，记为

卢一（Ｐ１，…，，‰），

一＝竖ｎＰ’侄ｎｊｆ’

２ｊ肚＝１

ｌ‘１

（３）

即特征向量法推定的权重最能确切地反映项目ｉ对项目ｊ的重要度倾向．在此，将重要度表达成三角模糊数，这样对判断矩阵的一致性要求可有所缓和。

在评价项目ｉ下，对ｎ个方案的两两比较判断矩阵采用同样方法，求出在评价项目ｉ下各方案的重要度

ａ／＝（叫，…，吐）

定义１评价项目ｉ的模糊重要度五是具有以

下隶属函数的模糨集合”３

一占｝

增刊１钱存华等：基于Ｅ－角模糊数表示重要度的层次分析法

１３１

五一上如（。厄，江”．－，ｍ

（４）

其隶属函数一（ｚ．）：Ｒ—Ｅｏ，１］，即

号邕，五∈（凸ｍ）而’２‘∈‘凸’肚’

心（ｚ。）＝＝

Ｘｉ一－－当，“一｝ｉｌ

ｚ。∈（“，一）（５）

１，ｚ．一肼

０，

其他

其中：“是特征向量法推定的评价项目ｉ的重要度，

而

“一ｍｉｎ｛ｂｌｌ，…～ｂ，Ｈ｝

肚一ｍａｘ｛ｂ¨……ｂ／４）

该模糊集合的元素丑表明评价项目ｉ可能的重要度，以（五）表明该重要度的可信度或可能性。该隶属函数是正规连续凸函数，由非减少部分与非增加部分所构成，形成一个三角形，称为三角模糊

数…，因而可表达为五一（五，肚，五）。凸和五分别是

该重要度的实际下界和上界，反映直接重要度的两个极端，其差表示模糊程度，“反映最终累积重要

度，其可信度最高。特别地，若凸一“一五，则五一

“。

有关模糊数的算术运算规则可参阅文献［８］，而运算符号本文则采用实数的运算符号。显然，各评

价项目下模糊重要度的和为模糊数１，即∑五一１．

考虑到模糊重要度五是计算方案在各评价项目下

重要度的加权算术平均数的权重，应满足统计学上权重的要求，即

∑五一１，毛∈五

Ｉ。Ｉ

文献［４，５］在计算加权算术平均数时，也将各权重的和模糊化为模糊数１。本文认为没有必要，这一方面不符合统计学上权重的要求，另一方面也夸大了最终结果的模糊程度。

定义２

ｍ个评价项目的模糊重要度向量五是

具有以下隶属函数的模糊关系Ⅲ

五一Ｉ，车（ｚ，，…，二【．）／（ｚ。，…，ｚ．）

（６）

ＪＲ

其隶属函数炜ｏｔ，…，ｚ．）：Ｒ“一［ｏ，１］，其中

心（ｚｌ，…，＿ｚ．）一

ｆ如（ｚｔ）＾…Ａ槐（ｚ．），∑‘一１

Ｅ

ｉ。１

（７）

ｉｏ，其他运算符号＾是指ｄＡ６２“ｉ“｛４，６｝・

２．２

评价方案的模糊ｔ要度

设评价项目＾下的假想方案为第ｎ＋１方案，与

其余的”个评价方案一起进行两两比较，得到判断矩阵Ｃ。＝（“）（ｉ，Ｊ一１，…，月＋１）和特征向量（ｃ：，

…，ｃ■。）。使假想方案的重要度变成ｌ，进行归一化，则可认为

一一（ｃ：／ｃ●。，…，ｄ／ｄ＋。）

（８）

是ｎ个方案对项目＾的分目标的满足度．

按以上方法得到的判断矩阵ａ的所有列向量，把假想方案相对的分量即第ｎ＋１个分量变成ｌ进行正规化处理，得到一个新的矩阵Ｄ．一（ｄ．，），Ｄ－的各个列向量即为以各方案为参照物。以假想方案为比较基准的各方案的重要度，或对项目＾的分目标的满足程度．设

业一ｒａｉｎ｛ｄｎ，…，ｄｍ＋ｎ＇叫）刁＝ｍａｘ｛ｄｎ，…，ｄｍ＋１），叫）

定义３在评价项目ｉ下，方案Ｊ的模糊重要度

叫一＜鸟，哆，叫）

ｉ＝１，…，ｍ，Ｊ一１，…，ｎ

（９）

２．３模糊综合重要度

把式（２）中的实数变成模糊数，计算方案ｊ的模糊综合重要度Ｓ，（ｊ一１，…，ｎ）。即

墨一，（￣Ｊ）一∑瓦砖

（１０）

其中：￣Ｊ一（霹，…，孕）是元素为模糊数的向量，五（ｉ

一１，…，ｍ）满足定义２中的模糊关系。根据模糊集合论中的扩张原理‘”，方案ｊ的模糊综合重要度Ｓ，是具有以下隶属函数脂．（≈）的模糊集合

只一Ｊ。鹪（ｚｊ）／ｚｊ

（１１）

其隶属函数坤。（ｚ，）：Ｒ一［ｏ，１］，即

，钮（２，）一

ｓｕｐ｛，车（ｚ。，…，ｚ，）＾（Ａ，譬（＂）））

（１２）

’

ｉ－－１

其中

（ｚ，，…，ｚ．）∈五，必∈而，≈一∑墨蝣

＿’１

符号ｓｕｐ表示对同一个值ｚ＝≥：ｚｙ，其对应的多个

ｚ和ｙ组合可能得出不等的隶属度，取其最大值。

２．４

模糊综合重要度的解释和排序

本模型的输出结果是各备选方案的模糊综合

重要度Ｓ＝（墨＇．．・，Ｓ．），可用其隶属函数的图形来

１３２控制与表示，各个顶点所对应的数值是传统的层次分析法的输出结果。作为模糊集合的一种解释。可将隶属函数考虑成可能性的分布．本模型的输出结果包含有更多的信息，表明了评价结果的各种可能性，可作为决策者的决策依据或参考。

对于必须明确各备选方案序位的情况，可参照文献［６］或采用模糊数的顶点所对应的数值与模糊数的代表值的加权算术平均数来排序。

３

模糊综合重要度的演算

本文提出基于试算法确定模糊数的ｎ水平集合

的方法来计算模糊综合重要度，并提出一种近似算法．

３．１

模糊综合重要度的试算法考虑模糊数Ａ的ｎ水平集合

Ａ（口）＝｛ｚＩ阳ｏ）≥ａ，ｚ∈Ａ｝

其中ａ∈［ｏ，１］。显然，Ａ—Ｉ‘旗（。）由Ａ（口）唯一确

定。若模糊数Ａ是凸的，则五（ａ）可表达为［！（ａ），；（。）］的形式。特别地，当模糊数Ａ为三角模糊散

（ｆ，ｍ，ｎ）时，有

Ａ（口）一［，＋（ｍ—１）ａ，ｎ一（ｎ—ｍ）ａ３

则评价项目ｉ的模糊重要度五．的ａ水平集合五．（ａ）＝

［ｚ。（ａ），；．（ｎ）］和评价项目ｉ下方案ｊ的模糊重要度

砭的ｎ水平集合霹（ａ）＝［Ｚ（ｎ），Ｚ（。）］，可分别由它

们的模糊重要度确定。我们的目的是由它们确定方案Ｊ的模糊综合重要度Ｓ，的ａ水平集合。

定理１模糊综合重要度Ｓ，的ａ水平集合

Ｅ（ａ）＝［誓（。），三，（ｎ）］一

［ｍｉｎ∑ｚ。必（ｎ），吁ｘ∑ｚ．功（ａ）］

（１３）

其中

ｚ．∈五（ａ），

（ｚ。，…，ｚ。）∈五

。？≤∑ｚ？Ｚ（。）≤ｍ—ａｘ∑ｚ．Ｚ（ａ）

●。１

１

＿’ｌ

【互（口），；，（口）］ｃ

［ｍ。ｉｎ∑ｚ．必，呼∑ｚ。ｚ（ａ）］

ｉ一１，…，ｍ，ｊ一１，…，“

由定理１，ｇ，的ａ水平集合的确定可转化成求解下列线性规划问题

ｍｉｎ马（ａ）一∑ｚ。必（口）

（１４）

‘｜

ｔ一１

（Ｍ）』工１＋二：＋…一。＿一１

【士。∈ｎ（口），

ｌ＝１，…，ｍ

？，为巴

决策

第１８卷

“÷１

ｉ，（ａ）一∑ｚ况（口）

（Ｍ）』２｝＋二’ｚ＋…一。：。１（１５）

｜工．∈“（口），ｉ一１，…，ｍ

定理２

Ｖ

ｊ一１，…，ｎ，设谚（口）≤…≤

廿（口），功（口）≤…≤再（口），则ｊ＾，＾’（１≤＾，＾‘≤

ｍ）使

兰Ｊ（口）一∑ｚｔ出（ａ）（１６）

；，（ｎ）一∑ｚ：西（ａ）

（１７）

其中

工．（口），ｆ＝１，…，五一１

１一∑％ｚ一＾

ｚ。．（口），Ｚ＝＾４－１，…，ｍ！．，，（口），ｆ一１，…，＾４—１

１一∑ｚ：，ｚ—ｋ’

ｚ，（口），Ｚ＝五＋１，…，ｍ

由定理２，可通过试算法按以下步骤确定＾和＾。，从而确定模糊数的ｎ水平集合。以蜀为例，令

ｇ（ｒ）；∑三～（ｎ）＋∑丑（ａ）

，一１

ｆ—ｒ＋１

ｒ一０，１，…，ｍ

一般地，若ｇ（ｒ一１）＜１且ｇ（ｒ）＞１，则＾一７；若

ｇ（ｏ）＞１。则五＝１；若ｇ∽）＜１，则五一ｍ。

同理可计算ｉ（ａ），即可得到墨ｏ），让ａ由０通

过微少刻度变化到１，求它们的并，则得模糊综合重

要度ｓ，一ｌｄ，ｏ）。当然，无论刻度多么微少，只能

Ｊ０

求有限个间断点的隶属函数．在工程学的实际应用上，总是希望利用ＴＦＮ得到一个近似的模糊数．

３．２

模糊综合重要度的近似算法

考虑将模糊综合重要度近似成ＴＦＮ。通过试算

法确定

Ｓ，（ｏ）一ｂ（ｏ），ｉ，（ｏ）］

则

３，三（Ｓ，ｓ，，Ｓ，），ｊ一１，…，ｎ

（１８）

其中：ｓｊ一生（ｏ），Ｓ，一ｉ，（ｏ）。文献［８］证明了近似的模糊数和原模糊数的隶属函数之间有很好的近似效果，它们在隶属度为ｏ．５时形成最大误差。

（下转第１３５页）

增刊１岳春芳等：基于人工神经网络的珠海市盐度预报

１３５

史观测数据作为已知样本，分别对所建立的网络模型进行训练，构造根据１０～４月份不同时段径流量预报相应时段盐度超标时问的网络模型，其训练结

果见表２．

７５％和９５％）典型年的径流资料，即１９６８～１９６９年、１９６２～１９６３年、１９９８～１９９９年的２０日时段枯季径流资料，利用已训练好的网络模型分别预报５０％、７５％和９５％频率的珠海市各取水口盐度超标时间。具体的预报结果见表３。４结

论

从表２可以看出，选用资料系列长度不同，训练出的网络模型的计算精度也不相同，资料系列越长，其模型计算精度越高．从系统辨识的观点看，对历史数据拟合的效果越好，则预报的效果也越好．因此，为了尽可能提高模型的预报精度，选用长系列资料训练的模型作为预报模型。这样，可以随着资料的积累而不断吸收和运用新增加的观测资料，以不断提高模型的预报精度。

综合分析表明，对于珠海市各取水口而言，选用２０日时段枯季径流盐度超标时间预报模型的计算精度相对要高一些。因此，选用其作为确定珠海市各取水口枯季盐度超标时间的计算模型。３．３不同保证率的预报结果

根据已掌握的西江马口站枯季不同频率（５０％、

本文采用人工神经网络的方法对珠海市盐度进行预报，简便易行，为珠海市枯季供水量提供了依据，对珠海市枯季水资源优化调度起到重要的技术支撑．另外，采用同样的模型，黄杨抽水站和挂定角取水口的训练合格率不同，主要原因在于后者距人海口较近，因而盐度受到的影响也更显著。参考文献：

［１］谢新民，杨小柳．半干旱半湿润地区桔季水资源实时预测

理论与实践［Ｍ］．北京：中国水利水电出版社，１９９９．［２］谢新民，岳春芳，等．珠海市水资源优化配置研究报告

ＪＲ］．北京：中国水利水电科学研究院，２００２．

（上接第１３２页）

４结语

煤炭工业出版社，１９９２．

［３］陈湛匀．现代决策分析概论［Ｍ］．上海：上海科技文献出

版社，１９９１．

［４］植田。等．商品评价中ＡＨＰ与ＦｕｚｚｙＡＨＰ的比较研究

［Ｊ］．日本经营工学舍平成２年春季大会论文集［ｃ］．

１９９０．１２７－１２８．

本文把各个评价项目的重要度以及各评价项目下各方案的重要度表达成三角模糊数，使它们同时反映项目之同的直接重要度与最终累积重要度的要求，并使计算量得以减少。进一步将评价项目的重要度表达成满足统计学上权重要求的模糊关系，从而有效地抑制了模糊程度的扩张．利用模糊集合论中的扩张原理和模糊数的ａ水平集合，给出了模糊综合重要度的计算原理、步骤和一种简便的近似方法．这样便构建了全新的模糊层次分析法模型，可有效地利用决策者以及评价对象本身所具有的模糊性进行综合评价。参考文献：

［１］Ｓ矗ａｔｙ

Ｙｏｒｋｌ

Ｔ

［５］ＢｕｃｋｌｅｙＪＪ．Ｆｕｚｚｙｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ［ＪｌＦｕｚｚｙＳｅｔｓ

ａｎｄ跏ｆⅧ．１９８５，１７（２）：２３３—２４７．

［６］王连芬，许树柏．层次分析法引论［Ｍ］．北京ｔ中目人民

大学出版社，１９９０．［７］Ｚａｄｅｈ

ＬＡ．ＴｈｅＣｏｎｃｅｐｔ

ｔｏ

ｏｆ

ａ

ｌａ＇ｎｇｕｉｓｔｉｃＶａｒｉａｂｌｅａｎｄ

ＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＹｏｒｋｔ１９７５．

ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＥｌｓｅｖｉｅｒ

Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ［Ｍ］．Ｎｅｗ

Ｃｏｍｐａｎｙ，Ｉｎｃ，

Ａｍｅｒｉｃａｎ

Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ

［８］ＫａｕｆｍａｎｎＡ，ＧｕｐｔａＭＭ．ＦｕｚｚｙＭａｔｈｔｍａｔｉｃａｄＭｏｄｅｌｓ

Ｌ．Ｔｋ

Ａｎａｌｙｔｉｃ

Ｈｉｅｒａｒｃｈｙｐｒｏｃｅｓｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ

ｉｎ

ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＭａｎａｇｅｍｅｎｔＳｃ／ｏｔｃｅ［Ｍ］．Ａｍｓｔｅｒ—

ＭｃＧｒａｗ，Ｉｎｃ，１９８０．

ｄａｍ：ＮｏｒｔｈＨｏｌｌａｎｄ，１９８８．

［２］张跃．邹寿平，宿芬．模糊数学方法及其应用［Ｍ］．北京：