任意打乱的魔方在123步以内可以复原

任意打乱的魔方可以在123步内将其复原

本文是魔方的数学描述之续篇，说明对于任意打乱的魔方说明可以在123步以内复原。 命题一：第一层边块的定位定向（对十字）10次完成。

方法一：

选定一个心块，找与这个心块颜色一致的四个边块。这四个边块可能在上面，下面，側

面。

（一）如果在上面，转动U，使其边块的颜色与其心块颜色一致。（一次）（对）。 （二）如果在下面，转动D，使其边块的颜色与其心块颜色一致。（一次）再把它转动一次,将使其翻到上面，（对，翻）共二次。

（三）如果在側面（转动整个魔方使其在前面），又分在第二层，在第一，三层。 （1）如果在第二层，在左位L,在右位R]转动一次使其到下面，(二)再照上面的作法，（下，对，翻）共三次。

（2）如果在一，三层，若在s位,用F.，若在m位,用F]，先将其转动到右位，如前作法，（转，下，对，翻）共四次。

若有两个边在上面，用（一）先定一个。把另一个转到了下面。用（二）。

对十字，一般十次便可完成。最多不超过十六次。经验。1+2+3+4=10。

方法二：表一

第一块。1╳6+2╳13+3╳4=44。共44次。对于一个位置有六个一次可以复原，十三个二

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次可以复原，总共有四个位置。表一中的6行8行。

P(A1)=6/23=0.261根据概率加法公式得： P(X=1)=4╳0.261-6╳0.2612+4╳0.2613-0.2614 =1.044-0.408+0.071+0.005=0.70。

P(X=1)=1-(1-6/23)4=1-(17/23)4=1-0.744=0.70。

6+13=19 P(A2)=19/23=0.826根据概率加法公式得： P(X=2)=4╳0.826-6╳0.8262+4╳0.8263-0.8264 =3.304-4.094+2.254-0.466=0.998。

以上的讨论是限定一个面，如果不限某个面， P(X=1)=1-(1-6/23)24=1-(17/23)24=1-0.7424=0.999。

第二块。-s保持不动，即不允许转动U。凡是涉及U的变化都发生了变动。 （1）考虑 s的转动，表一中的5行9行。

1╳3+2╳9+3╳8+4╳1=49；44-4+9共49次。 对于一个位置有三个一次可以复原，九个两次可以复原。

3+9=12 P(B2)=12/21=4/7=0.57。

（2）考虑 -t的转动，表一中的2行12行。

1╳3+2╳6+3╳8+4╳4=55。对于一个位置有三个一次可以复原，六个两次可以复原。 3+6=9 P(B2)=9/21=3/7=0.429。

（3）因为魔方左右对称，所以 t的转动与-t的转动完全一样。 根据概率加法公式得：

P(X=2)=4/7+2*3/7-2*4/7*3/7-3/7*3/7+4/7*3/7*3/7=10/7-33/49+46/343=0.889。 第三块。-s，t。保持不动，即不允许转动U，R。凡是涉及R的都增加两次转动。 （1）考虑 s的转动，表一中的4行10行。

1╳3+2╳6+3╳8+4╳2=47；49-5+3=47。共47次。对于一个位置有三个一次可以复原，六个两次可以复原。

3+6+8=17 P(SST)17/19=0.89。

（2）考虑 -t的转动，表一中的1行13行。

-s，t保持不动，即不允许转动U,R。与第二块相比，凡是涉及R的都增加两次转动。从而：55-7=48.

1╳3+2╳6+3╳7+4╳3=48。

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3+6+7=16，P(T3ST)P(A3)=16/19=0.84。 （3）第三块当_S,S确定后转动T的次数

1╳3+2╳3+3╳5+4╳6+5╳2=58； 3+3+5=11 P(T3ST)11/19=0.58。 由P(T)=P(-T)=P(S)=1/3. 由全概公式得：

P(3)P(S)P(SST)P(T)P(TST)P(T)P(SSS)[1**********]0.[1**********]957

第四块。-s,t,-t保持不动，即不允许转动U，R，L。凡是涉及R,L的都增加两次转动。 1╳3+2╳3+3╳4+4╳6+5╳1=50；47-5+8=50共50次。有三个一次可以复原，三个两次可以复原，四个三次可以复原，六个四次可以复原。表一中的3行11行。

P(X≤4)=16/17=0.94。从而四次以内复员的概率为：0.94。

从而完成十字的步数是：如果限定某个面，1+2+3+4=10。 10步完成的概率为0.70。 如果不限定某个面，1+2+3+4=10 。10步完成的概率为0.88。

44/23+159/63+95/38+50/17=1.913+2.524+2.5+2.941=9.878。2+3+3+3=11。 根据经验(1+2+3+4)十次一般都能完成。概率为0.88 最多(3+4+4+5)十六次完成。 一1╳6+2╳13+3╳4=44。

二（1╳3+2╳9+3╳8+4╳1=49；）1╳3+2╳6+3╳8+4╳4=55。 三 -S,t 定后，由S 开始做1╳3+2╳6+3╳8+4╳2=47；

-S,t 定后，由-t开始做1╳3+2╳6+3╳7+4╳3=48。 -S,S 定后，由-t开始做1╳3+2╳3+3╳5+4╳6+5╳2=58； 四 1╳3+2╳3+3╳4+4╳6+5╳1=50；

最多3+4+4+5=16。

44/23+49/21+58/19+50/17=10.24 44/23+55/21+48/19+50/17=9.99 44/23+55/21+47/19+50/17=9.94

综合两种方法定为10次比较适当。

命题二:第一层角块的定位定向20次。

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方法一：

使有与十字相同颜色的四个角块复位。

如上图：带有白青红角块（不妨设为Δ）应该在7号位。

（一）如果Δ在3号位白色在前，右与右心色一致，做用FDF 就能使角块复位.使3号位转动到7号位。如果Δ在3号位白色在侧，前与前心色一致，做R,D,R 就能使角块复位.使3号位转动到7号位。共三次。

（二）如果Δ在0，1，2号位，白色在侧，可以转动下面，使其到3号位，复原四次。 （三）如果Δ在下面，白色在下，做FDF” 或做R,D,R 使白色在侧，共七次。

（四）如果Δ在4，5，6号位，（或在7号位，但是方向不对，即定位不定向），做FDF” 或做R,D,R 使Δ到下面，并使白色在侧，共七次。

其他三个角块与此完全相同。完成此步一般（2×3+2×7）二十次便可完成。 第一角2×3+6×4+7×15=135 135/23=5.87。加权平均值。 第二角2×3+6×4+7×12=114 114/20=5.7。 第三角2×3+6×4+7×9=93 83/17=5.47。

第四角2×3+6×4+7×6=72 72/14=5.14。135/23+114/20+93/17+72/14=22.18。 最多6+6+6+6=24。 最少22。经验为：两个3次，两个7次。20次。平均为23次。

方法二：

角3指定的面移动到7上。共12次。

’

- 20 -

”

]’]2

角一指定的面移动到7上。共12次。 ’5）

角〇指定的面移动到7上。共12次。 2’

’2

- 21 -

]’]2

角一指定的面移动到7上。共12次。

’5）

角〇指定的面移动到7上。共12次。

2’

’2 - 21 -

角二指定的面移动到7上。共12次。

]’

]]（12）

角7指定的面移动到7上。共12次。

2’

’2

角5指定的面移动到7上。共17

次

]]

]] - 22 -

LD]L] R’D’R 六次。

]]

角4指定的面移动到7上。共18次。

2’]

7的上。五次。共八次。5+5+8=18

角6指定的面移动到7上。共19次。

]

】的上。五次。

用RD2R] F]DF2D]F]将6后 移动到7的上。八次。

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] 将1下移动到7的上，五次。共八次。6+5+8=19

统计：

1左R’DR 0后R’D2R 2右D】FDF’ 3前FDF’

1前DR’D’R 0左FD2F’ 2后FD]F’。 3右R’D’R

1下F]DF2D]F] 0下L]DLR]D[R 2下RD]R2DR 3下FD]F’R]D2R

12 12 12 12

5前F]D]F2D2F] 4后L】D】LRD]R2DR 6后RDR] L]DL]D[R 7前FD2F’R]D2R

5左LD]L] FDF’ 4左L] FD2F’L 6右RDR2D2R 7右R’D2RFD2F]

5上LD]L] R’D’R 4上L]R]D2RL。 6上RDR]FD2F]

17 18 19 12

第一角 48+12+17+18+19=114 114/23≈4.96。 加权平均值。

第二角 48+12+17+18=95 95/20=4.75。

第三角 48+12+17=77 77/17≈4.53。

第四角 48+12=60 60/14≈4.29。

114/23+95/20+ 77/17+60/14≈18.52。

最多5+5+5+5=20。 最少18。经验为：两个3次，两个6次。18次。平均为19次。 综合定为19次比较适当。

方法二计算精确，所以定为20次比较适当。

命题三：第二层边块的定位定向32次。

把魔方颠倒一下，即底层全部复原。中层四个边块复位。先在上层找一个应该去中层的边块,然后转动上面,使该边块的侧面与同色的侧面中心块对齐,转动整个魔方，使其这块处于前面，即处于S位。

若这个边块的上面的颜色与右面的心块颜色一致用法则一：

法则一：URU‘R’U‘FUF。（法则一一）

若这个边块的上面的颜色与左面的心块颜色一致用法则一二。

法则一二：U‘L’ULUFU‘F’。只用法则一，最多64次。

八步法则可以改进为五步。 法则一三：F2U2FU2F2. 法则一四：F2U2F’U2F2.

五步法则，变化为：边块：s___H,H___-s,-s___Z.Z___s。因为涉及第二层的两块变动，所以只能嵌入三块，。剩余两块仍然要用法则一。共28次。

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四个不定位，法则一，四次。32 次，一个定位，法则一三，一次，法则一，三次，29次。二个定位，法则一三，二次，法则一，两次，26次。三个定位，法则一三，两次，法则一两次，26次。四个定位，法则一三，三次，法则一两次，31。所以最多32。

命题四：第三层角块定位10+1次。。

因为暂时不考虑边，所以转动上总能使一个角定位。观察其他三个它角是否有一个定位，

（一）如果有一个角定位。另外两个或者相对或者相邻，将这两个对角进行对换，则四个角定位。（二）如果没有一个角定位。即三个角不定位。三个角不定位是，由这三个角顺时针旋转造成或是由逆时针旋转造成，转动上：顺则U]，逆则U。之后必然使其两个邻角定位，将这其它两个邻角进行对换，则四个角定位。（三）如果有两个角定位，则四个角定位。

法则二一:（对调相邻两角）R’D’RFD(*)F。R。DRD2。

角3____1-,;1____3-,角0自旋-。实现了1与3 对调。

法则二二:（对调相对两角）R’D’RFD2(*)FRDRD。 。。

角2____1+,;1____2,角0自旋-。实现了1与2 对调。

命题五：第三层角块定向16次。

面向上不标注，其余标明：正是顺时针，负是逆时针。表二。

法则三：（角定向）①R’D’RD’R’D2RD2。0,2,3;都是自旋-。

法则三二：（角定向）②D2R’D2RDR’DR。0,2,3;都是自旋+。

满足四个角旋转角度之和为360度的倍数的，有以下七种形式。

形式一：，1，0+，2+，3+用法则三。①。旋转角度之和为360度。

形式二：，1，0-，2-，3-用法则三二。②。旋转角度之和为-360度。

旋转角度之和为0度，又分两正，两负。一正一负，（正的放在１）。

形式三：，1+，0+，2-，3-。③。法则三1+，0，2+，3+ 转90度后①。相连。

形式四：，1+，0-，2+，3-。④。法则三1+，0+，2，3+ 转180度后①。相间。

一正一负又分：相间，相连。相连分负前负后，（负的放在１）。

形式五：，1-，0，2+，3。⑤。法则三1-，0-，2，3- 转180度后②。相间。

形式六：，1-，0+，2，3。⑥。法则三1-，0，2-，3- 转90度后②。相连负前。

形式七：，1-，0，2，3+。⑦。法则三1-，0-，2-，3 转-90度后②。相连负左。

所以经过十六次后就能使四个角定向。如画图更容易看出。。

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命题六：第三层边块定位定向最多34次。

法则四：（边定位法则）(R’L)F(RL’)D2 (R’L)F(RL’)。

-n___n正；n___-m; 反 ； -m___-n反；（三角形顺时针旋转。）所以周期为三。m保持不动。（记为顺。）

法则四二：（边定位法则）(R’L)F](RL’)D2 (R’L)F](RL’)。与法则四方向相反。

n___-n正；-n___-m; 反 ； -m___n反；所以周期为三。m保持不动。（记为逆。）

法则五：（边定位定向法则）(R’L)F(RL’)D‘ (R’L)F’(RL’)D’ (R’L)F2(RL’)。这里有一个主线：上面的边块沿着S ,H, n, m, H, n,,m又回到了S原来地方。

-m___m;反 ； m___-n反；-n___-m正；所以周期为三。n保持不动。（逆）

法则五二：（边定位定向法则）(R’L)F](RL’)D (R’L)F(RL’)D (R’L)F2(RL’)。与法则五对称。-m___m 反 ； m___n反；n___-m正；所以周期为三。-n保持不动。（顺）

法则五三：（边定位定向法则）(R’L)F2(RL’)D(R’L)F(RL’)D(R’L)F](RL’)。与法则五方向相反。m___-m反 ； -m___-n正；-n___-m反；所以周期为三。n保持不动。（顺）

法则五四：（边定向法则）(R’L)F2(RL’)D](R’L)F](RL’)D](R’L)F(RL’)。与法则五二方向相反。m___-m反 ； -m___n正；-n___-m反；所以周期为三。-n保持不动。（逆）

法则六：（边定向法则）(R’L)F2(RL’)D2 (R’L)F(RL’)D2 (R’L)F2(RL’)D]。

-n反n反-m反m反,所以周期为二。

证明：正确次序为：m,n,-m,-n不正确的有以下几种情况。

（一）四个定位

．二个不定向，分：相连，相间，即：-n反-m反，-m反m反两种情况。

① 现次序为：m,n, -m反-n反。法则五：n保持不动。变为：-m,n,-n反,m反,-90度，法则四： n保持不动。变为正确：17+11=28。(Ⅰ).

② 现次序为：m反，n，-m反，-n。-90度，法则四：n保持不动。变为：-n反，n, m反，-m。法则五：n保持不动。变为正确：11+17=28。(Ⅱ).

. 四个都不定向法则六：(R’L)F2(RL’)D2 (R’L)F(RL’)D2 (R’L)F2(RL’)D。

m反,n反,-m反-n反 。18次。(Ⅲ).

（二）一个定位定向，其它三块分：顺时针旋转，逆时针旋转两种情况。

一个定位其它三块顺时针旋转。以下又分四正，两反。四正，仅一种情况。两反，四个元素中选取两个元素的组合数为六。所以共七种情况。

①现次序为：m,-n, n,-m。法则四：m保持不动。变为m,-m -n反,n反。90度, 法则五三。复原。

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11+17=28次。

②现次序为：m反, -n反,n,-m. 法则五：-n反保持不动。变为n反,-n反,-m,m。-90度法则五三。复原。17+17=34次。

③现次序为：m反,-n,n反,-m. 180度法则四。n反保持不动。-m反,m,n,反,-n。180度法则五。复原。11+17=28次。

④现次序为：m反,-n,n,-m反. 180度法则五四： -n保持不动。变为n反,-n,-m,m反。180度法则四。复原。 17+11=28次。

⑤现次序为：m,-n反, n反,-m。-90度，法则五四。17次。

⑥现次序为：m,-n反, n,-m反。90度。法则五。17次。

⑦现次序为：m,-n, n反,-m反。法则四二。11次。

一个定位其它三块逆时针旋转。又分：四正，两反，七种情况。

①现次序为：m,-m,-n, n。法则四二：m保持不动。变为m,-n反,n反,-m。-90度法则五四。复原。11+17=28次。

②现次序为：m反,-m反,-n,n.。180度法则五三：m反保持不动。变为-n反,m反,-m,n。180度法则四二：复原。17+11=28次。

③现次序为：m反,-m,-n反,n。180度法则四二：-n反保持不动。变为-m反,n,-n反,m。180度法则五二：复原。11+17=28次。

④ 现次序为：m反,-m-n,n.反,. 法则五二。n反保持不动。变为-n反,m,-m,n反。90度法则五四。复原。 17+17=34次。

⑤ 现次序为：m,-m反,-n反, n。法则四。11次。

⑥ 现次序为：m,-m反,-n, n反。-90度。法则五二。17次。

⑦ 现次序为：m,-m,-n反, n反。90度。法则五三。17次。

（三）四个都不定位。分：上下左右交换。上左交换，上右交换，三种情况。

上下左右交换。又分：四正，两反，七种情况。

①现次序为：-m,-n,m,n。法则四：-m保持不动。变为：-m,n,-n反,m反,-90度，法则四：n保持不动。复原。11+11=22。

②现次序为：-m反,-n反,m,n. 法则四：-m反保持不动。变为：-m反,n,-n,.m反。法则五三：n保持不动。复原。11+17=28。

③现次序为：-m反,-n,m反,n. 法则四：-m 反保持不动。变为：-m 反,n,-n反,m,180度，法则五二：n保持不动。复原。11+17=28。

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④现次序为：-m反,-n,m,n. 反,90度。法则四：n反保持不动。变为：m,-m,-n反,n反, 90度。法则五三：m保持不动。复原。11+17=28。

⑤现次序为：-m,-n反.,m反,n. -90度，法则四： -n反保持不动。变为：n反,-n反,-m,m，-90度，法则五三：-m保持不动。复原。11+17=28。

⑥现次序为：-m,-n反,m,n反，90度，法则四：-n反保持不动。变为：m,-m反,-n,n反. -90度，法则五二：m保持不动。复原。11+17=28。

⑦现次序为：-m,-n,m反,n反.。180度，法则四： m反保持不动。变为：n, -m反,m反,-n。180度，法则五三。-n保持不动。复原。11+17=28。

上左交换。又分：四正，两反，七种情况。

①现次序为：-n,-m,n,m，法则五二：m保持不动。变为：n反, -n反，-m, m, -90度, 法则五三：-m保持不动。复原。17+17=34。

②现次序为：-n反,-m反,n, m。-90度, 法则四二：-m反保持不动。变为：n, -m反, m反，-n。180度，法则五三：-n保持不动。复原。11+17=28。

③现次序为：-n反,-m,n反,m。法则四二：-n反保持不动。变为：-n反,n, m反, -m。法则五：n保持不动。复原。11+17=28。

④现次序为：-n反,-m,n,m反.，180度。法则四二：n保持不动。变为： -m反, m反，n。

法则五四：-n保持不动。复原。 11+17=28。

⑤现次序为：-n,-m反,n反,m.。法则四二： -n保持不动。变为：-n, n, m反，-m反。180度，法则五四：n保持不动。复原。11+17=28。

⑥现次序为：-n,-m反, n, m反。法则四：-n保持不动。变为：-n,n, m反,-m反。 -90度。法则五：-m保持不动。复原。11+17=28。

⑦现次序为：-n,-m, n反, m反。90度, 法则四二：m反保持不动。变为：-m反, n, -n, m反。法则五三：n保持不动。复原。11+17=28。

上右交换。又分：四正，两反，七种情况。

①现次序为：n, m,-n,-m，法则五：m保持不动。变为：-n反，m,-m,n反 ，90度, 法则五四：-m保持不动。复原。17+17=34。

②现次序为：n反,m反,-n,-m。180度。法则四：-n保持不动。变为：-m反，n, -n, m反。法则五三：n保持不动。复原。11+17=28。

③现次序为：n反,m,-n反,-m.。法则四： n反保持不动。变为：n反，-m, m反，-n 。法则五二：-n保持不动。复原。11+17=28。

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④现次序为：n反,m,-n, -m反., 90度，法则四：-m反保持不动。变为：-n, n, m反, -m反。180度。 法则五四：m保持不动。复原。 11+17=28。

⑤现次序为：n,m反,-n反,-m.。-90度, 法则四： m反保持不动。变为：-m反, m反, n, -n。法则五四：-n保持不动。复原。11+17=28。

⑥现次序为：n,m反, -n, -m反。-90度, 法则四二：-m保持不动。变为：-n ,m反, -m n反。 -90度，法则五：-m保持不动。复原。11+17=28。

⑦现次序为：n, m, -n反, -m反。 法则四：n保持不动。变为：n, -m反，m反, -n。180度.。法则五三：-n保持不动。复原。11+17=28。

命题六的关键是：第一次使一边并且仅使一边定位定向，第二次使其余三边定向定位（其余三边必为顺时针或逆时针，其它三边必须一正两反，即一个定向，两个不定向，）。

一边10，一角20，二边32，三角27，三边34。10+20+32+26+34=123。

从而对于任意打乱的魔方可以在123次以内将其复原。

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