高中数学必修2综合测试题
高中数学必修2综合测试题
文科数学
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 若直线x =1的倾斜角为α,则α=( ).
ππ
A .0 B. C . D .π
23
2.已知直线l 1经过两点(-1, -2) 、(-1, 4) ,直线l 2经过两点(2, 1) 、(x , 6) ,且l 1//l 2,则x = ( ). A .2 B .-2 C .4 D .1
3. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ).
A .25π B .50π C .125π D .200π 4. 若方程x 2+y 2+x +y +k =0表示一个圆, 则k 的取值范围是( )
1111
B.k ≤ C. 0
5. 设l 为直线,α, β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.k >
A.若l //α,l //β,则α//β C.若l ⊥α, l //β,则α//β
B.若l ⊥α,l ⊥β,则α//β D.若α⊥β, l //α,则l ⊥β
6. 如图6,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论错误的是( ). ..A .BD ∥平面CB 1D 1
B .AC 1⊥BD
C .AC 1⊥平面CB 1D 1
D .异面直线AD 与CB 1角为60°
7. 某三棱锥的三视图如图7所示,则该三棱锥的体积是 ( ) A.
112
B. C. D.1 633
2
2
(第6题)
2
8. 直线x +y -2=0与圆(x -1)+(y -2)=1相交于A , B 两点,则弦长AB =( )
1
正视图
侧视图
A
B
D
2
2
俯视图
(第7题)
9. 点P (4,-2)与圆x +y =4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( ) A.(x -2) +(y +1) =1 B.(x -2) +(y +1) =4 C.(x +4) +(y -2) =4 D.(x +2) +(y -1) =1
2
2
2
2
2
2
2
2
10. 设实数x , y 满足(x -2) 2+y 2=3,那么
y
的最大值是( ) x
A.
1 B
C
211. 已知直线x +ay =a +2(a ∈R ) 与圆x 2+y 2-2x -2y -7=0交于M ,N 两点,则线段MN 的长的最小值为( )
A
. B
.
C.2 D
.
12. 已知点P (x , y ) 在直线x +2y -3=0上移动,当
2x +4y
取得最小值时,过点P (x , y ) 引圆
111
(x -) 2+(y +) 2=的切线,则此切线长为( )
242
A.
13
B. 22
C
D
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13. 直线过点(-3, 4) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程: ; 14. 圆x +y +2x +4y -3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有个;
15. 曲线y =1+4-x 2与直线y =k (x -2) +4有两个交点,则实数k 的取值范围是; 16. 已知在△ABC 中,顶点A (4, 5) , 点B 在直线l :2x -y +2=0上,点C 在x 轴上,则△ABC 的周长的最小值 .
2
2
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知三角形ABC 的顶点坐标为A (-1,5)、B (-2,-1)、C (4,3), (1)求AB 边所在的直线方程; (2)求AB 边的高所在直线方程.
18. (本小题满分12分)
E 分别是棱BC ,如图,在直三棱柱ABC -ABC ,且CC 1上的点(点D 不同于点C )111中,AB 11=AC 11,D ,AD ⊥DE ,F 为B 1C 1的中点.
求证:(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1;
(2)直线A 1F //平面ADE .
19. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠ADC =45°,AD =AC =1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD ,PD =2,M 为PD 的中点.
(1).证明:AD ⊥平面PAC ;
(2).求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.
20. (本小题满分12分)
如图,直四棱锥ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ∥CD , AD ⊥AB , AB =2,AD =2,AA 1=3, E 为
CD 上一点,DE =1, EC =3
(1)证明:BE ⊥平面BB 1C 1C (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离
21. (本小题满分12分)
如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD . (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;
6
(2)若∠ABC =120°,AE ⊥EC ,三棱锥E ACD 的体积为,求该三棱锥的侧面积.
3
22. (本小题满分12分)
已知过点A (0, 1) 且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)+(y -3)=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;
(2)若→OM ·→ON =12,其中O 为坐标原点,求|MN |.
2
2
16. (1)∵ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱,∴CC 1⊥平面ABC 。 又∵AD ⊂平面ABC ,∴CC 1⊥AD 。
又∵AD ⊥DE ,CC 1,DE ⊂平面BCC 1B 1,CC 1 DE =E ,∴AD ⊥平面BCC 1B 1。 又∵AD ⊂平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1。 (2)∵A 1B 1=AC 11,F 为B 1C 1的中点,∴A 1F ⊥B 1C 1。
又∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1,且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1,∴CC 1⊥A 1F 。 又∵CC 1, B 1C 1⊂平面BCC 1B 1,CC 1 B 1C 1=C 1,∴A 1F ⊥平面A 1B 1C 1。 由(1)知,AD ⊥平面BCC 1B 1,∴A 1F ∥AD 。
又∵AD ⊂平面ADE , A 1F ∉平面ADE ,∴直线A 1F //平面ADE 略
17.(1)如图,连结DD 1
.
在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,
因为D,D 1分别是BC 与B 1C 1的中点, 所以B 1D 1∥BD ,且B 1D 1=BD, 所以四边形B 1BDD 1为平行四边形, 所以BB 1∥DD 1, 且BB 1=DD1. 又因为AA 1∥BB 1,AA 1=BB1, 所以AA 1∥DD 1,AA 1=DD1,
所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形,所以A 1D 1∥AD.
又A 1D 1⊄平面AB 1D,AD ⊂平面AB 1D, 故A 1D 1∥平面AB 1D.
(2)方法一:在△ABC 中,因为AB=AC,D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC. 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ,交线为BC ,AD ⊂平面ABC , 所以AD ⊥平面B 1C 1CB ,即AD 是三棱锥A-B 1BC 的高. 在△ABC 中,由AB=AC=BC=4得
AD=在△B 1BC 中,B 1B=BC=4,∠B 1BC=60°, 所以△B 1BC
的面积S B 1BC =
2
4=所以三棱锥B 1-ABC 的体积,即三棱锥A-B 1BC 的体积
,
11
V =⨯S B 1BC AD =⨯=8.
33
略
18.(1)连接BD ,MO ,在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点, 又M 为PD 的中点,所以PB ∥MO . 因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM , 所以PB ∥平面ACM
.
(2)因为∠ADC =45°,且AD =AC =1,所以∠DAC =90°,即AD ⊥AC ,又PO ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PO ⊥AD ,而AC ∩PO =O ,所以AD ⊥平面PAC .
1
(3)取DO 中点N ,连接MN 、AN ,因为M 为PD 的中点,所以MN ∥PO ,且MN PO =1.
2由PO ⊥平面ABCD ,得MN ⊥平面ABCD , 所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角. 1
在Rt △DAO 中,AD =1,AO =,
2
所以DO =
515AN =DO =, 224
在Rt △ANM 中,tan ∠MAN =
MN 15
= AN 55
4
45
即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为
5