苏科版数学八年级上册知识点
第一章 全等三角形 1、全等图形的定义
能够完全重合的图形叫做全等图形。两个图形全等,它们的形状、大小相同。 2、全等三角形的定义
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 3、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等。 4、全等三角形的判定
(1)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”)。 (2)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”)。 (3)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”)。
(4)三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS ”)。
(5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”)。
5、五种基本的尺规作图
(1)作已知线段的相等线段; (2)作已知角的相等角;
(3)作已知线段的垂直平分线; (4)作已知角的角平分线; (5)过一点作已知直线的垂线。 第二章 轴对称图形 1、轴对称的定义
把一个图形沿着某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴。 2、轴对称图形的定义
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称图形,这条直线是对称轴。 3、轴对称的性质
(1)成轴对称的两个图形全等;
(2)成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分。 4、线段的轴对称性
线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴。 5、垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 符号语言:∵点C 在线段AB 垂直平分线上
∴AC =BC
6、垂直平分线的判定
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 符号语言:∵AC =BC
∴点C 在线段AB 垂直平分线上
7、角的轴对称性
角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴。
8、角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等。
符号语言:∵OC 平分∠AOB , CD ⊥OA ,CE ⊥OB
∴CD =CE
9、角平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言:∵CD =CE , CD ⊥OA ,CE ⊥OB
∴OC 平分∠AOB
10、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边称为三角形的腰,另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。 11、等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴。 12、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)。 符号语言:∵AB =AC
∴∠B =∠C
(2)等腰三角形的底边上的高线、中线、及顶角平分线互相重合(简称三线合一)。 符号语言:
① ∵AB =AC ,AD 平分∠BAC ∴BD =CD ,AD ⊥BC ② ∵AB =AC ,BD =CD ∴AD 平分∠BAC ,AD ⊥BC ③ ∵AB =AC ,AD ⊥BC
∴BD =CD ,AD 平分∠BAC 13、等腰三角形的判定
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。 符号语言:∵AB =AC
∴△ABC 是等腰三角形
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)。 符号语言:∵∠B =∠C
∴AB =AC
即△ABC 是等腰三角形
14、等边三角形的定义
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 15、等边三角形的轴对称性
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴。 16、等边三角形的性质
等边三角形的三条边相等,三个角都等于60°。 符号语言:
∵ △ABC 是等边三角形 ∴ AB =AC =BC ,
∠A =∠B =∠C = 60°
17、等边三角形的判定
(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义)。 符号语言:
∵AB =AC =BC
∴△ABC 是等边三角形
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。 符号语言:
∵∠A =∠B =∠C ∴AB =AC =BC
即△ABC 是等边三角形
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 符号语言:
∵AB =AC , ∠A =60° ∴△ABC 是等边三角形 18、直角三角形
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言:
∵∠ACB =90°,D 是AB 的中点 ∴CD =
1
AB 2
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言:
∵∠ACB =90°,∠A =30° ∴BC =
1AB 2
第三章 勾股定理 1、勾股定理
直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。a 2+b 2=c 2 符号语言:
∵∠1=90°
∴a 2+b 2=c 2
2、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 符号语言: ∵a 2+b 2=c 2 ∴∠1=90° 3、勾股数
满足关系a 2+b 2=c 2的3个正整数a ,b ,c 称为勾股数。 常用勾股数包括
(1)3、4、5 (2)5、12、13 (3)7、24、25(4)8、15、17 (5)9、40、41
另外勾股数的倍数还是勾股数。
4、勾股定理的证明 (1)如图所示,
4个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积
即4⨯1
2
ab +(b -a ) 2=c 2
化简可得a 2+b 2=c 2
(2)如图所示,
4个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积 4个三角形的面积与小正方形面积的和为
S =4⨯1
ab +c 2=2ab +c 22
大正方形面积为
S =(a +b ) 2
=a 2
+2ab +b 2
所以a 2+b 2=c 2
(3)如图所示,
梯形面积=3个三角形的面积和
S =1
梯形2
(a +b ) ⋅(a +b )
S =2⋅11
梯形=2S ∆ADE +S ∆ABE 2ab +2c 2
化简可得a 2+b 2=c 2
D
C
E
b
A
c
B
b a
a
c
b
b
c
c a
a
b
A
a
D b
E a B
b
C