二次函数经典难题(含精解).doc20160729

凯迪数学 九年级二次函数

216．如图，抛物线y 1=﹣x +2向右平移1个单位得到抛物线y 2，回答下列问题：

（1）抛物线y 2的顶点坐标 （1，2） ；

（2）阴影部分的面积S= 2 ；

（3）若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，求抛物线y 3的解析式．

17．已知抛物线L ：y=ax+bx+c（其中a 、b 、c 都不等于0），它的顶点P

的坐标是

，与y 轴的交点是M （0，c ）．我们称以M 为顶点，对称轴是y 轴

且过点P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线PM 为L 的伴随直线．

（1）请直接写出抛物线y=2x﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：

2伴随抛物线的解析式 y=﹣2x ，伴随直线的解析式

2（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x ﹣3和y=﹣x ﹣3，则这条抛物线

2的解析式是 y=x﹣2x ﹣3 ；

2（3）求抛物线L ：y=ax+bx+c（其中a 、b 、c 都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析

式；

（4）若抛物线L 与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，x 2＞x 1＞0，它的伴随抛物线与x 轴交于C 、D 两点，且AB=CD．请求出a 、b 、c 应满足的条件．

18．设抛物线y=x+2ax+b与x 轴有两个不同的交点

（1）将抛物线沿y 轴平移，使所得抛物线在x 轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；

（2）通过（1）中所得抛物线与x 轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．

222

19．已知抛物线C ：y=ax+bx+c（a ＜0）过原点，与x 轴的另一个交点为B （4，0），A 为抛物线C 的顶点．

（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C 的解析式；

（2）如图2，若直线OA 的解析式为y=x，将抛物线C 绕原点O 旋转180°得到抛物线C ′，求抛物线C 、C ′的解析式；

（3）在（2）的条件下，设A ′为抛物线C ′的顶点，求抛物线C 或C ′上使得PB=PA′的点P 的坐标．

2

20．如图，已知抛物线y=ax+bx+交x 轴正半轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC 的解析式．

2

21．已知：如图，抛物线y=﹣x +bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点M 为抛物线上的一个动点，求使得△ABM 的面积与△ABD 的面积相等的点M 的坐标．

2

凯迪数学九年级二次函数

223．如图，抛物线y=x+bx﹣c 经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A ，B ，此抛物线与x

轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S △APC ：S △ACD =5：4的点P 的坐标．

24．已知一抛物线经过O （0，0），B （1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a ＞0）． （Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）已知点A （0，1），若抛物线与射线AB 相交于点M ，与x 轴相交于点N （异于原点），当a 在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a 在什么范围内取值时，ON ﹣BM 的值为常数？

（Ⅲ）若点P （t ，t ）在抛物线上，则称点P 为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．

26．如图，抛物线y=ax+bx+3经过A （﹣3，0），B （﹣1，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M ，直线y=﹣2x+9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

2

27．如图，抛物线y=a（x+1）的顶点为A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB=OA．

（1）求抛物线的解析式； （2）若点C （﹣3，b ）在该抛物线上，求S △ABC 的值．

2

28．如图，抛物线y=x﹣2x+c的顶点A 在直线l ：y=x﹣5上．

（1）求抛物线顶点A 的坐标及c 的值；（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状．

2

29．如果抛物线m 的顶点在抛物线n 上，同时抛物线n 的顶点在抛物线m 上，那么我们就称抛物线m 与n 为交融抛物线．（1）已知抛物线a ：y=x﹣2x+1．判断下列抛物线b ：y=x

2﹣2x+2，c ：y=﹣x +4x﹣3与已知抛物线a 是否为交融抛物线？并说明理由；

2（2）在直线y=2上有一动点P （t ，2），将抛物线a ：y=x﹣2x+1绕点P （t ，2）旋转180°

得到抛物线l ，若抛物线a 与l 为交融抛物线，求抛物线l 的解析式；

2（3）M 为抛物线a ；y=x﹣2x+1的顶点，Q 为抛物线a 的交融抛物线的顶点，是否存在以

MQ 为斜边的等腰直角三角形MQS ，使其直角顶点S 在y 轴上？若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．

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30．如图1所示，已知直线y=kx+m与x 轴、y 轴分别交于点A 、C 两点，抛物线y=﹣x +bx+c经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当x=﹣时，y 取最大值． 2

（1）求抛物线和直线的解析式（2）设点P 是直线AC 上一点，且S △ABP ：S △BPC =1：3，求点P 的坐标；（3）直线

y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M 、N ，两点，问： ①是否存在a 的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． ②猜想当∠MON ＞90°时，a 的取值范围．（不写过程，直接写结论）

（参考公式：在平面直角坐标系中，若M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则M 、N 两点之间的距离为

|MN|=）