20.2矩形的判定教案

20．2矩形的判定

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激活思维

1．请你画一个矩形，并画出它们的对角线．观察图形，你能说出它有哪些性质吗?试一试．

2．__________________叫做矩形．

3．矩形的对边________；四个角都是___________；对角线___________。

4．____________________的平行四边形是矩形．

对角线_____________的平行四边形是矩形．

有三个角是直角的四边形是________________形

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1．(略)

2．有一个内角是直角的平行四边形

3．相等 直角 相等

4．有一个角是直角 相等 矩

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一、矩形的性质回顾

1．矩形的性质

（1）矩形具有平行四边形的一切性质；

（2）矩形对角线相等；

（3）矩形的四个角都是直角；

（4）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两对角线的交点．

2．矩形性质的图形说明

如图20—2—1，在矩形ABCD中，

从边上看：

AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC．

从对角线上看：

AC=BD

且OA=OB=OC=OD。

从角上看：

∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．

老师：根据上面矩形的性质分析可得直角三角形的一个什么性质?

小弘：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．如：在Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，则AC=2OB．

二、矩形的判定

如图20－2－

2

1．利用定义判别

矩形 平行四边形

2．利用对角线判别

对角线相等的平行四边形是矩形；

对角线平分且相等的四边形是矩形．

即：①在平行四边形ABCD中，

若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；

②在四边形ABCD中，若AC=BD，且OA＝OC、OB=OD， 则四边形ABCD是矩形．

3．利用角判别

四个角是直角的四边形是矩形．即：在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形．实际证明中，只要证明出三个角为直角即可．

三、矩形的应用

（1）用以证明线段相等或平分或倍数关系；

（2）直角三角形两锐角互余；

有一个内角为直角

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；

（5）证明两条直线垂直．

四、探究活动

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图20一2—3①，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．

问题：仿着上述叙述，画出直角三角形的“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小．

分析：考察直角三角形的每一条边与矩形重合的情形，当以两条直角边为边作矩形时，这两个矩形重合，即为一个，所以直角三角形的“友好矩形”有两个．

探究：如图20一2—3②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图20—2—3②中画出△ABC的所有“友好矩形”，此时共有2个矩形，如图20—2—4中的BCAD、ABEF；易知，矩形BCAD、ABEF的面积等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等． 结论：直角三角形有两个“友好矩形”，且这两个矩形的面积相等．

点石成金

例1．如图20—2—5所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE ⊥BD于E，则：

（1）图中与∠BAE相等的角有__________；

（2）若∠AOB=60°，则AB：BD＝_________。图中△DOC是___________三角形（按边分）．

解析：这是一道直接考查矩形特征的例题，在解答时，我们应充分考虑矩形的特征及与之相关的知识，例如在寻找与∠BAE相等的角时，看清∠BAE的形成，即为过A作AE⊥BD所形成，则∠BAE+∠EAD=90°，而∠ADB+∠EAD=90°，故∠BAE=∠ADB．又因为∠ADB=∠DBC= ∠DAC，由此找与∠BAE相等的角就不难了；至于在第（2）问求AB：BD的方法，可根据题目的特殊条件及图形的特殊性找到结论．

答案（1）∠ADB，∠DBC，∠ACB，∠DAC （2）1：2 等边

名师点金：找角时一定要找全，不能漏掉．

例2．如图20—2—6所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 om，∠BOC=120°．求：

（1） ∠ACB的度数；

（2）求AB、BC的长度．

分析：本题是对矩形性质的考查（1）

要求∠ACB的度数，而已知∠BOC＝120°，

△BOC中，由矩形的性质，知OB＝OC，从

而∠OBC=∠ACB．由此可求出∠ACB．（2）在Rt△ACB中，对角线

AC=6cm，第（1）问已求出∠ACB=30°，因此AB即可求出．然后

利用勾股定理求出BC的长．

解：（1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是OB=OC，所以∠OBC＝∠ACB，故

∠ACB ＝1 （180°一120°）＝30°． 2

1AC＝3cm，BC＝AC2AB26232（cm） 2（2）矩形ABCD中，∠ABC=90°，又∠ACB=30°，因此30°角所对直角边AB等于斜边AC的一半，即AB＝

名师点金：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决．

例3．已知□ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4 cm，求这个平行四边形的面积（图20一2—7．

)

分析：（1）先判定□ABCD为矩形。（2）求出Rt△ABC的

直角边BC的长。（3）计算S＝AB·BC

解：∵四边形ABCD是平行四边形。∴△ABO≌△DCO

又∵△ABO是等边三角形

∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO ∴AC＝BD

∴ □ABCD为矩形。

在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°

∴BC＝3AB，即BC＝43cm ＝AB·AC＝16cm2

名师点金：本题首先判定平行四边形是矩形，再利用矩形的面积公式来计算．

例4． (1)利用左栏的探究结论说明什么是三角形的“友好平行四边形”． (2)若△ABC为锐角三角形，且BC

分析：用类比联想的方法先构造出每一种情况下三角形的“友好矩形”，根据矩形的边和面积与其三角形的边和面积之间的关系，寻找其周长与面积．

解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：

三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．

(2)此时共有3个“友好矩形”，

如图20—2—9中矩形BCDE，CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小．证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为s．设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3，△ABC的边长BC＝a，CA＝b，AB＝c，则L1＝

L2＝2S＋2a a2S2S＋2b，L3＝＋2c。 bc

∴L1L22S2S2S(ba)2a2b2(ab) abab

S1＝2（a－b） ab＝2(ab)

而a＞b，∴L1－L2＞0，即L1＞L2。同理可得L2＞L3

∴L3的周长最小，即矩形ABHK的周长最小。

名师点金：在阅读理解的基础上，先画出图形，确定好每一种情形，利于进一步求解。