高中基本函数备课

基本初等函数

一、 函数及其表示

1、函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中

任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应，那么这样的对应，就称

f :A →B 为集合A 到B 的一个函数，记作y=f (x ) 。其中x 的取值集合A 叫做函数的定

义域；与x 的值相对应的f (x ) 值叫做函数值。函数值的集合B ｛f (x x ∈R ｝叫做函数

的值域。

如我们所熟悉的一次函数y=ax+b（a ≠0） 2、构成函数的三要素

（1）函数的三要素：定义域、对应法则、值域。

（2）只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （3）三要素中只要有一个不同的两个函数就是不同的函数。 3、区间的概念表示方法

（1）设a , b 是两个实数，且a a , x ≤b , x

注意：对于集合{x |a

a

（2）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①f (x ) 是整式时，定义域是全体实数．

②f (x ) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③f (x ) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤y =tan x 中，

x ≠k π+

π

2

(k ∈Z )

．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若f (x ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本

初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x ) 的定义域为[a , b ]，其复合函数

f [g (x )]的定义域应由不等式a ≤g (x ) ≤b 解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 例题

1、求一次函数f (x ) =ax ＋b (a ≠0) 的定义域，值域。 2、求反比例函数f (x ) =

k

(k ≠0) 的定义域，值域。 x

3、求二次函数f (x ) =ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 的定义域，值域。 4、若f (x ) =x 2＋3x ＋1，求f (2) 。

4、函数的表示方法

函数的表示方法有：解析式、列表法、图像法。 二、 映射的概念

1、 映射的定义：设A , B 是两个非空的集合, 如果按某一个确定的对应关系f , 使对于集合A

中的任意一个元素x , 在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应, 那么就称对应

f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. 记作f :A →B ．

2、 象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么和A 中元素a 对应的B 中的元

素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象。

【说明】映射是一种特殊的对应，它具有

(1)方向性:映射是有次序的, 一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像, 但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的, 即不允许“一对多”, 但可以“多对一”.

原象的集合是定义域，而象的集合是值域。

三、 分段函数与复合函数

1、 分段函数：若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子表示函

数，这种形式的函数就叫分段函数。

2、 复合函数：若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y=f（u ），u=g（x ），x ∈（a ，b ），

u ∈（m ，n ），那么y 关于x 的函数y=f〔g （x ）〕，x ∈（a ，b ）叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是g （x ）的值域。

函数的基本性质

一、 函数的单调性 1、 函数的单调性

一般的，设函数f （x ）定义域为I ：

（1） 如果对于定义域内I 内某个区间D 上任意两个自变量的值x 1与x 2，当x 1

有f （x 1）

（2） 若当x 1f（x 2），则称f(x)在这个区间上是减函数. （如下图）

2、 单调性与单调区间

如果函数y ＝f （x ），在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．

在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．

例2：物理学中的玻意耳定律 （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．

证明：根据单调性的定义，设V 1, V 2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V 1

V -V k k

p (V 1)-p (V 2)=-=k 21

V V 由V 1, V 2 ∈（0，+∞）得V V ；12>0V 2 由1V 2V 2 ,得V 2－V 1 >0 又k >0，于是

1V 1

p (V 1)-p (V 2)>0即p (V 1)>p (V 2)

p =

所以，函数

k

, V ∈(0, +∞)V 是减函数．也就是说，当体积

V 减小时，压强p 将增大．

3、 证明函数单调性的一般步骤：

⑪取值：设x 1 ，x 2是给定区间内的两个任意值，且x 1x 2）；

⑫作差：作差f (x 1) －f (x 2) ，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）； ⑬定号：判断f (x 1) －f (x 2) 的正负（要注意说理的充分性）, 必要时要讨论； ⑭ 下结论：根据定义得出其单调性. 4判断函数单调性的常用方法 （1） 定义法

（2） 两个增（减）函数的和仍为增函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差为

是增（减）函数。

（3） 奇函数在对称的两个区间上有相同的的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反

的单调性。

（4） 如果f （x ）在区间D 上是增（减）函数，那么f （x ）在D 的任一个子区间上也是增

（减）函数。

5. 复合函数y=f［g(x)］在公共定义域上的单调性的判断

对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果u=g(x)在区间(a,b)上是具有单调性，当x ∈(a,b)时，u ∈(m,n)，且y=f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数y=f(g(x))在区间(a,b)〖JP 〗具有单调性的规律见下表：

例题

二、函数的奇偶性与周期性 1、设函数y=f（x ），x ∈D ，对任意x ∈D 都有f （x ）=f（-x ），则f （x ）是偶函数；若对x ∈D ，对任意x ∈D 都有-f （x ）=f（-x ），则f （x ）是奇函数。

2、奇、偶函数的必要条件

函数的定义域在数轴上所示的区间是否关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件，所以判断函数的奇偶性，首先看其定义域是否关于原点对称。如 函数（f x ）=x2，x ∈（-1,1〕，则f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数。

3、 函数f （x ）为奇函数，且在x=0处有定义，则f （0）=0. 4、 奇函数、偶函数的图像对称关系

一般地，图像关于原点对称的函数为奇函数，反之，奇函数的图像关于原点对称。图像关于y 轴对称的图像为偶函数的图像，反之，偶函数的图像关于y 轴对称。 5、 判断函数奇偶性的一般方法 （1）定义法 ①、首先确定函数的定义域，看是否关于原点对称。否则，函数既不是奇函数也不是偶函数。 ②、若定义域是关于原点对称的，则用下述方法进行判断。

a 、 f （x ）=f（-x ）得f （x ）为偶函数；-f （x ）=f（-x ）则得f （x ）为奇函数。 b 、 等价形势判断

F （-x ）-f （x ）=0则f （x ）为偶函数； F （-x ）+f（x ）=0则f （x ）为奇函数； （3） 图像法

F （x ）为偶函数

f （x ）关于y 轴对称 F （x ）为奇函数 f （x ）关于原点对称

6、函数的周期性

对于定义域中的任意x ，存在非零常数T, 使f （x+T）=f（x ）恒成立，T 是f （x ）的一个周期，如果T 是f （x ）的正周期且不再有比T 更小的正数，则T 是f （x ）的最小正周期。 例题

例1. 判定函数f (x ) =-x 2+x 2-1的奇偶性。

基础测试

1.(2008年珠海质检) 偶函数f(x)在区间［0,a ］(a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)

A.3 B.2 C.1 D.0 答案是：B

2. 已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足的实数x 的取值范围是( ) A.(-1，1) B.(0，1) C.(-1，0) ∪(0,1) D.(-∞,-1) ∪(1,+∞) 答案是：C

3.(2009年福建卷) 下列函数f(x)中，满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1＜x 2时，都有f(x1) ＞f(x2)”的是 ( )

A.f(x)=1/x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 答案为：A

1. ※讨论函数f(x)=x+2/x在(0,+∞)上的单调性。

解析： 设x , x 是（0，+∞) 上的任意两个实数，且x 1

(x -x )(2-x 1x 2) 22

则f (x 1) -f (x 2) =x 1+-(x 2+) =21

x 1x 2x 1x 2

由x 1, x 2∈（0，

+∞) ，得x 2-x 1>0, x 1x 2>0,

(1)当00

于是f (x 1) -f (x 2) >0, 即f (x 1) >f (x 2)

2

∴f (x ) =x +在（0上是减函数。

x

(2)

于是f (x 1) -f (x 2)

2

∴f (x ) =x +在（0上是增函数。

x

三、基本函数的值域与最值

1、值域的定义域：在函数y=f（x ）中，与自变量x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （1）常见函数的值域

一次函数y =kx +b （a ≠0）的定义域为R ，值域为R ； 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的定义域为R ，；

4ac -b 24ac -b 2当a >0时，值域是[，+∞); a

4a 4a 反比例函数y =k (k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y /y ≠0}；

x

数函数y =a (a >0且a ≠1) 的值域为{y /y >0}； 对数函数y =log a x (a >0且a ≠1) 的值域为R ； 正、余弦:函数的值域[-1, 1]；

π

正、余切函数y =tan x , x ≠k π+, y =cot x (x ≠k π, k ∈Z ) 的值域为R 。

2

x

（1）观察法(用非负数的性质，如：x 2≥0；x ≥

0例如：求下列函数的值域：y=-3x+2;

变式：y=5+2x +1(x≥-1) 的值域是——————

2

≥0(x ≥0) 等)

（2）利用基本函数求值域法：

例如 ：下列函数中值域是（0，+ ∞）的是 （ ） A ．y =x B. y =() 1-x

C. y = D. y =x +

12

15

1

(x >0) x

（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：f (x ) =ax +bx +c , x ∈(m , n ) 的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；

例如：求值域：y=x 2+x +1，x ∈R ；x ∈[-1, 3]； x ∈(1,5]；x ∈[-5, -1]

2

同学练习：x ∈(1,5]；x ∈[-5, -1] 变式1：y ＝－x 2＋4x －1 x∈[-1,3)；

变式2：求函数y=

变式3：当x ∈(0, 2]时，函数f (x ) =ax +4(a +1) x -3在x =2时取得最大值，则a 的取值范围是___

（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；

例如：求函数y =2x +4-x 的值域. (-∞, 4]

22

解析：

令t =（t ≤0），则x =1-t 2，故y =2(1-t ) +4t , 经整理得y =-2t +4t +2；

5

的值域. 2

2x -4x +3

2

用配方法求的y 的值域为(-∞, 4]。 变式1：求函数y=3x--2x 的值域.

变式2

：y =2x +1+

变式3

：y =x +4+____；

（5）分离常数法：（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．

（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：y =例如：求下列函数的值域：y=

的值域为_____

ax +b

, x ∈(m , n )

cx +d

x +2

({y|y≠1}) x +1

1-x 2

变式：函数y =的值域是（ ） 2

1+x

A. ［－1，1］ B. （－1，1］ C. ［－1，1） D. （－1，1） 7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2+ b （y ）x +c （y ）=0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2（y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有

相应的x 值. 例5 求函数y =

3x

的最值． 2

x +4

2x 2-x +2

变式：y =2；

x +x +1

（8）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域

如果函数y =f (x ) 在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x ) 在x =b 处有最大值f (b ) ；

如果函数y =f (x ) 在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x ) 在x =b 处有最小值f (b ) ；

求y =x -

（10）导数法：求函数f (x ) =2x +4x -40x ，x ∈[-3,3]的最小值。

3

2

1

(1