北京科技大学高数A答案4.2

习题4-2 （A）

1.比较下列积分大小

（1）edx和exdx

x0

1

1

2

解：利用例2.1的结果，当f(x)不等于0时，因为f(x)≣0,而f(x)dx是数值，它只有是零

a

b

和不是零两种可能，设若f(x)dx=0，则由已证得例2.1结果，在[a,b]上必有f(x)≡0,与f(x)

a

b

不恒等于0矛盾，所以得出结论：若在[a,b]上，f(x)≣0且f(x)不恒等于0，则f(x)dx>0.

a

b



1

01

(ee)dx在[0,1]上e-e

xx

2

xx

2

≣0且e-e

xx

2

不恒等于0，所以



1

(ee)dx>0，所以

xx

2



edx>edx。

01

2

1

3

x

1

x

2

（2）xdx和xdx 解：xdxxdx

1

2

1

3



2

1

(x x)dx，因为在[0,1]上x-x≣0且x-x不恒等于0，所以

3

1

2

1

3

232323



1

xdxxdx

02

2

2

1

1

2

1

3



1

(x x)dx>0，所以xdx>xdx。

（3）xdx和xdx 解：xdxxdx

1

1

2

2

2

3

3



2

2

1

(x x)dx，因为在[1,2]上x-x 0且x-x不恒等于0，所以

3

2

2

2

3

232323



2

1

xdxxdx

1

2

2

3



2

1

(x x)dx

1

1



（4）

20

sinxx



和

2

sinxx

2

2

dx



解：构造函数f(x)= sinx-x,则f’(x)=cosx-1,在（02] 上单调递减，从而有f(x)= sinx-x







在（0，2] 上（5）

10

sinxx

>

sinxx

10

2

2

，所以（

20

sinxx



sinxx

2

2

）dx>0，有

20

sinxx



>

20

sinxx

2

2

ln(1x)dx和

arctanx1x

解：构造函数f(x)=ln(1+x)-

arctanx1x

,在[0,1]上f’(x)=

10

x

2

2

(1x)(1x)

(ln(1x)



arctanx(1x)

)dx

2

>0,所以f(x)

在[0,1]上是增函数 f(x)>f(0)=0,有



arctanx1x

>0，于是



1

ln(1x)dx>

10

arctanx1x

dx。

2.估计下列各积分的值

（1）(x21)dx

14

解：只须求出f(x)在区间上的最大、最小值M与m，便可用估值定理估计。显见x2+1在[1,4]上单调增加，有m=2,M=17,即2≢x+1≢17，x∈[1,4],而b-a=3,所以2*3=6≢(x1)dx≢

1

2

4

2

17*3=51，即 6≢(x1)dx≢51.

1

5

4

2

（2）4(1sinx)dx

4

2

解：记f(x)=1+sin2x,令f’(x)=2sinxcosx=sin2x=0.得f(x)在区间[



2

5

4,4

]上的驻点x1=



2

,x2=,

计算f()=1+1=2,f()=1+0=1,f(



4

)=1+1/2=3/2,f(

5

4

)=1+(

5

2

2

=3/2,所以

m=minf(x)=1,M=maxf(x)=2,其中x∈[

xx

2

5

4,4

],这里b-a=,所以≢4(1sinx)dx≢2.

4

2

（3）e

2

dx

xx

2

解：记f(x)= e

e

14

,x∈[0,2],因为f’(x)=(2x-1) e

2

14

xx

2

,令f’(x)=0,得到唯一驻点x=1/2,又f(1/2)=

2

,f(0)=1,f(2)= e,所以m=minf(x)= e

xx

2

,M=maxf(x)= e,有因为b-a=-2，所以-2e≢



02

edx≢-2e



14

.

3.设函数f(x)与g(x)在任何有限区间上可积

（1）如果f(x)dxg(x)dx，那么f(x)与g(x)在[a,b]上是否相等？

a

a

b

b

（2）如果在任意区间[a,b]上都有f(x)dxg(x)dx，那么f(x)是否等于g(x)?

a

a

bb

(3)如果（2）中的f(x)与g(x)都是连续函数，那么又有怎么样的结论？

解：（1）不一定。f(x)，g(x)恰巧在某一区间[a,b]积分值相等，但是不能说明f(x),g(x)是相等





的，例如f(x)=



4



4

sinxdx0,g(x)=



4



4

tanxdx0,但是实际上sinx≠tanx.

(2)不恒等，前提必须f(x),g(x)都是连续函数。例如f(x)=sinx(0≢x≢

0x,x

x



2

),g(x)

sinx0



2

.而f(x)dx







g(x)dx。

（3）反证法：假设f(x)不恒等于g(x),设f(x)>0,



ba

f(x)dx



ba

g(x)dx,所以



ba

[f(x)g(x)]dx，由例2.1结果f(x)≡g(x)矛盾，所以f(x)≡g(x).

4.证明柯西不等式：若函数f(x)与g(x)在区间上可积，则

(f(x)g(x)dx)(f(x)dx).(g(x)dx)。

2

2

2

a

a

a

b

b

b

2

证：令L(x)=f(x)+ g(x),则L(x)=f(x)+2f(x)g(x)+ g(x)≣0,从而有L(x)dx0，即

2

222

b

a



2



ba

g(x)dx2f(x)g(x)dx

a

2

b



b

a

f(x)dx≣0.将上式右边视为关于的二次多项式。

b

2

b

2

b

2

2

因为Ax2+Bx+C≣0,可知B2-4AC≢0,从而有4(f(x)g(x)dx)4f(x)dxg(x)dx，

a

a

a

从而有(f(x)g(x)dx)f(x)dxg(x)dx。

a

a

a

b

2

b

2

b

2

5.设f(x)在区间[a,b]连续，证明

证：利用上题的结论，令

f(x)= (ab

ba

e

f(x)

dx.e

a

b

f(x)

dx(ba)

2

,g(x)=

x)

,它们都是连续函数，

有) 。

2

）（.a

2

b

)

）(

2

a

)

)b(a

2

（B）

6.证明闵可夫斯基不等式：若函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上可积，则(

ba

1

2

2

(f(x)g(x))dx)(f(x)dx)(g(x)dx)2

a

a

b

1

2

2

b

1

2

。

7.设f(x)在区间[a,b]连续，且

baf(x)dxxf(x)dx0，证明：f(x)

a

b

在（a,b）内至少存在不同的两个零点。

证明：根据积分中值定理，在[a,b]上，存在1，满足



ba

f(x)dxf(1)(ab)=0,得到

f(1)=0，1是f(x)的一个零点。假设1是唯一的一个零点。那么在（a, 1）和（1，b）

内f(x)异号。假设（a, 1）上f(x)>0, （1，b）上f(x)

a

a

bb

可知0=零点。

1

a

f(x)(x1)dx



b

1

f(x)(x1)dx≠0得出矛盾，所以至少在（a,b）上还有一个