北师大版初中数学八年级下册精品教案全集

§5.3 相似三角形

教学目的：

1. 使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．

2. 使学生理解并掌握定理“平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．）

3. 通过相似三角形概念的引入过程，培养学生联系实际的意识，增进数学应用的眼光． 教学重点：

. 使学生理解并掌握定理“平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．） 教学难点：

准确找出相似三角形的对应边和对应角度。 教学方法： 学情分析：

教学过程：

一、讨论相似三角形的定义

请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义． 二、 给出定义

1. 从∠A=∠A, ∠B=∠B, ∠C=∠C,AB:A’B ’=BC:B’C ’=AC:A’C ’ 可知 △ABC ∽△A ’B ’C ’

2. 板书定义．叫学生写在笔记本上． 3. 什么叫相似比, 说明相似比的意义.

注意：(在记两个三角形相似的时候, 和记三角形全等一样, 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上, 这样可以比较容易找出相似的对应的角和边)

△ABC 和△A ’B ’C ’的比与△A ’B ’C ’和△ABC 的比不一定相等, 而是成倒数的关系.

三、 导出定理

1. 讨论为什么“平行于三角形一边的直线和其它两边的相交，所构成的三角形与原三角形相似？”

如图:如果DE ∥BC, ∠ADE =∠B

∠AED=∠C;

AD:AB=DE E :BC=AE:AC

C

2、平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例．（成比例的线段不都在一个角的两边上，而分别是截得的三角形与原三角形的三条边）

四、 学生练习

1、讨论224页练习1

（1）所有的等腰三角形相似吗？等边三角形呢？为什么？

（2）所有的直角三角形相似吗？等腰直角三角形呢？为什么？演示课件 2、课堂练习224页2（目的，找对应边对应角） 3、练习：

找出哪些对三角形是相似的．找出对应角、对应边，列出比例式． 五、课堂小结：

1、相似三角形的定义；

2、会准确找出两三角形的对应边和对应角； 六、课外作业：

P235 N1（1）、（2），N 2。 板书设计：

教学后记：

三角形相似的判定（一）

教学目的：

1、使学生能通过三角形全等的判定来发现三角形相似的判定。 2、使学生掌握相似三角形判定定理1，并了解它的证明。 3、使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用。 重点：

掌握相似三角形判定定理1及其应用。 难点

定理1的证明方法。 教学方法： 学情分析：

教学过程 一． 复习

1、什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？ 2、到目前为止判定三角形相似的方法有几个？

3、判定两个三角形全等的定理有几个？说出它们的内容。 二、新授 1、导入新课

两个角对应相等的两个三角形相似吗？这就是我们今天研究的问题。板书 2、要证明以上命题是真命题，目前只有两条途径，一个是相似三角形的定义，显然条件不够。二是用三角形相似判定的预备定理，但它不具备预备定理的基本图形，为了使用它，就得创造呢？（把小的三角形移到大的三角形中）老师肯定他们的思路后然后师生一起用不着几何作图的办法完成。 证明（略）

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径。 3、范例：

例1：已知：△ABC 和△DEF 中∠A=40，∠B=80，∠E=80，∠F=60

求证：△ABC ∽△DEF

分析：

由于条件中有角的关系，所以我们可以联想到“对应角相等”的问题，从已知可以证明∠C=∠F ，这样就有了两个角对应相等，三角形相似的条件，所以△ABC ∽△DEF 证明：（略） 例2：

直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似

（像这样只用文字说明的题目，必须画出相应 的图形写出已知，求证。然后才能着手证明） 分析：

欲证明两个三角形相似，只需证明两个对应角相等。 证明：见教材 三、巩固练习：

1、P226 N1、2、3；

2、错例辨析：∵△ABC 的∠B=∠C ，△ABC 的∠B=∠C

∴△ABC ∽△ABC

四、小结

本节主要学习了相似三角形的判定定理1一定要掌握好这个定理。 五、作业：

P235 N3、4。 板书设计：

教学后记

三角形相似的判定(二)

教学目的:

1、使学生掌握三角形相似的判定定理2，3，和它们的应用。 2、了解上述两定理的证明。 教学重点：

判定定理的应用 教学难点

定理的证明 教学方法： 学情分析：

教学过程：

一、复习：

1、判定三角形相似目前有哪些方法？

2、回忆三角形相似判定定理1的证明的方法。

二、新授 1、导入新课

三角形全等的判定中AAS 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1，那么SAS 和SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容。（板书）

2、三角形相似的判定定理3。

判定定理2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似可以简单说成： 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似。

判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例的两三角形相似。

我们对判定定理1 的证明大家已经清楚，就是在一个三角形的内一辅助三角形，使与另一个三角形全等，这两个三角形与所在三角形相似，今天也可以采用这种思路来证明它们吗？

请看书P227----228 说明：

这三个判定定理证明中，实际上都存在关于相似三角形图形的传递性问题，要与等量代换相区别。

3、范例依据下列各组条件，判定△ABC ∽△A ’B ’C ’是不是相似, 并说明为什么?

(1)∠A=120度,AB=7CM,AC=14CM,∠A ’=120度 A ’B ’=3CM,A’C ’=6CM,

(2)AB=4,BC=6,AC=8,A’B ’=12,B’C ’=18,A’C ’=24 解(1)

因为AB ：AB=7：3， AC ：AC = 14：6 = 7：3 所以AB ：AB=AC：AC ∠A=∠A

所以△ABC ∽△A ’B ’C ’（两边对边成比例，且夹角相等两三角形相似） 三：巩固练习

1、课本P232 1，2，3 四、小结

本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件。

五、作业：

P225 N5、6。

板书设计：

教学后记：

三角形相似的判定（三）

教学目的：

1、使学生掌握直角三角形相似的判定定理及其应用。 2、使学生进一步了解定理证明的方法。 重点：

定理的应用 难点：

定理的证明 教学方法： 学情分析：

教学过程 ： 一：复习

1、勾股定理。 2、

二、新授 1、导入新课

直角三角形的全等判定定理是一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等。那么两个直角三角形相似的对应命题应是什么呢？ 2、直角三角形相似的判定定理。

如果一个直角三角形的斜边和一条直角和另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。 如何证明这个定理，上述的三个相似三角形的判事实上定理的证法，同样运用这个定理的证明。

B ’

C

C ’A ’ C A

已知:如图RT △ABC 与RT △A’B’C’中∠C=∠C ’=90度,

AB:A’B ’=AC:A’C ’

求证: RT△ABC ∽RT △A’B’C’ 书上定理的证明思路请看书 3、范例：

解题过程请看书，完成这题后，老师告诉学生：

若把题目的最后一句△ABC ∽△COB 吗？改成这两个三角形相似吗？ 那结果又是什么？ 分析：

原题目中△ABC ∽△COB ，那么对应顶点已对齐，所以斜边对斜边，直角边BC 对直角边DB ，若改为这两个三角形相似，因为题目中∠ABC=∠COB=90度已定，所以斜边对斜边不变而直角边BC 可能与BD 对应，也可能与AB 对应，因此本题就有两种情况存在，其结果也就可能有两个。 三、巩固练习： P232 N1、2 四、小结：

本节的直角三角形相似的判定和应用必须掌握。 五、作业：

P236 N8、9。

板书设计：

教学后记：

课题 ： 课时安排：

探索三角形相似的条件（一）教案

教学目标

1、经历“直观感觉――动手感知――理性思维――逻辑推理”的活动过程，探索两个三角形相似的条件，进一步发展学生的探究、合作交流能力，以及动手、动脑和谐一致的习惯；

2、初步掌握“两角对应相等的两个三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定；

3、能够运用三角形相似的条件解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。

教学重点、难点

经历“直观感觉――动手感知――理性思维――逻辑推理”的活动过程，加强知识发生发展过程和渗透数学思想方法的教学，掌握“两角对应相等的两个三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题。

课前准备

1、多媒体课件；

2、学具：许多形状各异的三角形，并搭配分成八组用于小组活动； 3、教具：两个定角和活动角及若干木棒。 教学过程

一、复习旧知，谈话揭题

同学们，今天我们学习的内容是“探索三角形相似的条件”。（开门见山，揭题、揭趣――提出本堂课要研究的问题，明确学习目标）

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似，要同时满足六个元素，判定时感觉太繁，想不想找一些简单的方法来判定两个三角形相似呢？

三角对应相等，三边也对应相等的两个三角形全等，也有六个元素，三角形全等有没有用此方法判定呢？没有，有哪些方法呢？

――ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，（HL ）――确定三角形的形状、大小。（进一步激发学生的学习欲望，引出用类比方法探究，顺利实行旧知到新知的迁移）

二、找找、比比，直观感觉

只要确定三角形的形状，不必考虑其大小，究竟需要哪些条件呢？ 活动一：我想请同学们帮个忙，由于我不小心把许多形状各异的三角形搞乱了，请帮我从这八组三角形中找出各组中的相似三角形，并直观展示判定两个三角形相似的方法。

设计意图：从感觉本能出发，启发一些理性思考，为活动（2）奠定基础。 三、说说、画画，动手感知 活动二：画相似三角形――你能用最少的条件、最简捷的方法画一个三角形与我手中的三角形相似吗？

1、说说

要求：小组讨论画图思路，推选代表口述方法，全班交流，其他小组有不同的方法再作阐述。

设计意图：①用全等三角形判定的探索方法启发得到确定三角形形状的要素，学生可能会得到“两角、两边夹角和三边”方法，则研究两种，第三种方法及两边和其中一边对角问题将后续学习。

②教师用教具从几何运动变化的观点演示该两种条件下直观感知确定的三角形形状相同。

③教师进一步抓住“最少的条件”这一要求，若学生在探求中说出“一角相等”或“两边对应成比例”条件下三角形相似的问题，就可顺势利导展开讨论；若学生没有出现这一问题，教师可以反问学生这两种“最少的条件”是否可行，（这两种条件下问题的研究教师可以用教具演示或让学生讨论演示解决），从而真正理解“最少的条件”确定三角形形状。

2、画画

教师出示已知三角形的六个数据，学生分别用两种方法画出三角形。 要求：请把你作图时用到的数据标在三角形对应位置上。 设计意图：①同桌先交流所作三角形，进行形状直观判定；

②在实物投影仪上把学生画的三角形相互交流，比较形状是否相同。 ③教师紧扣“最简捷的方法”画相似三角形展开讨论，引出问题：

如图，直线a 、直线b 相交于点O ，点A 、B 分别在直线a 、直线b 上，在直线a 、直线b 上分别找两点C 、D ，使△COD 与△AOB 相似，请尽量多地画出点C 、D 的位置。

设计意图：用几何图形运动变化的观点揭示常见相似三角形的“基本图形”，较好地提高了学生识图、作图能力。

“A”型

“X”型

“共角”型

“蝴蝶”型

“共角共边”型

四、看看、做做，理性思维 活动三：合情推理

对学生直觉判定进行数学论证――你会用数学知识说明所作三角形为什么相似吗？（直观判断，动手实验，更需理性思考，有合情的逻辑推理给于保障）

说明：两角对应相等易得三角对应相等，测量长度求得三边对应成比例，由三角形相似的定义解决。

结论得出：（1）学生总结口述两个判定条件的文字叙述；

（2）学生结合图形写出几何符号语言。

五、想想、练练，巩固提高 1、下列说法错误的是（ ）

A 、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似； B 、顶角相等的两个等腰三角形相似；

C 、有一个角是100 °的两个等腰三角形相似； D 、有一个角相等的两个等腰三角形相似。 说明：每题都要说明相似的判定方法。

2、不能使 △ABC 与△DEF 相似的条件是（ ） A 、∠B=∠F ， ∠C=∠E ；

B 、∠A=∠D=70°, ∠ =60°，∠E=50°；C 、∠A=∠D=65°,AB=DF=6cm，AC=4cm，DE=9cm；

D 、∠B=∠E ，AB ∶AC=DE∶EF ，

说明：画图直观对照三角形相似的条件，提升对“对应条件”的理解 3、如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ， （1）图中有哪些相等的角；

（2）找出图中相似的三角形，并说明理由； （3）写出三组成比例的线段；

（4）在上述条件下，BD/AD＝CE/AE成立吗？

A

D B

E

C

B

第3题图

说明：学生口述推理，教师板演推理格式

4、如图，点E 、F 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且EF 不平行于BC ，要使△ABC ∽△AFE ，除公共角∠A 外，还需补充的条件是

5、如图，点B 、D 和C 、E 分别在∠A 的两边上，BE ⊥AC 于E 点，CD ⊥AB 于D 点，BE 和CD 相交于点F ，图中有几对相似三角形，并任你选一对说明理由。

B

C

说明：按分类方法找出哪些三角形相似，再以类比“找线段”方法找出几对三角形相似，并满足不同层次学生学习的需要，选择性地写出合情推理过程。

六、结合实际，课堂总结

谈谈本节课学习的收获和启发。

设计意图：（1）从所学新知――两种判定三角形相似的方法；

（2）探索活动中运用了什么方法――类比法，几何运动变化观点等； （3）合作交流中相互学到了哪些。

七、布置作业 课本P119/习题4.7（1，2，3），P121/习题4.8（2）

数据的波动

教学目标：

1、经历数据离散程度的探索过程

2、了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值。

教学重点：会计算某些数据的极差、标准差和方差。 教学难点：理解数据离散程度与三个“差”之间的关系。 教学准备：计算器，投影片等 教学过程： 一、创设情境

1、投影课本P138引例。

（通过对问题串的解决，使学生直观地估计从甲、乙两厂抽取的20只鸡腿的平均质量，同时让学生初步体会“平均水平”相近时，两者的离散程度未必相同，从而顺理成章地引入刻画数据离散程度的一个量度——极差）

2、极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差，极差是用来刻画数据离散程度的一个统计量。

二、活动与探究

如果丙厂也参加了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，数据如图（投影课本159页图）

问题：1、丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差是多少？

2、如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与对应平均数的差距。

3、在甲、丙两厂中，你认为哪个厂鸡腿质量更符合要求？为什么？ （在上面的情境中，学生很容易比较甲、乙两厂被抽取鸡腿质量的极差，即可得出结论。这里增加一个丙厂，其平均质量和极差与甲厂相同，此时导致学生思想认识上的矛盾，为引出另两个刻画数据离散程度的量度——标准差和方差作铺垫。 三、讲解概念：

方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s 2 设有一组数据：x 1, x2, x3, „„，x n , 其平均数为x 则s 2=[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+⋯⋯+（x n -x ) 2],

1

n

221x -x +x -x +⋯⋯+x n -x 而s=12n

(

)()(

)称为该数据的标准差（既方差

2

的算术平方根）

从上面计算公式可以看出：一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 四、做一做

你能用计算器计算上述甲、丙两厂分别抽取的20只鸡腿质量的方差和标准差吗？你认为选哪个厂的鸡腿规格更好一些？说说你是怎样

算的？

（通过对此问题的解决，使学生回顾了用计算器求平均数的步骤，并自由探索求方差的详细步骤） 五、巩固练习：课本第172页随堂练习 六、课堂小结：

1、怎样刻画一组数据的离散程度？ 2、怎样求方差和标准差？ 七、布置作业：习题5.5第1、2题

三角形内角和定理的证明教学设计

南京市大厂中学 袁新兵 蔡祝华

一、 教材与学生现实的分析

1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。

2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，

它同代数中设末知数是同一思想。

3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明，它的证明借助了平角定义，平行线的性质。用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。尽管前面学生接触过推理论证的知识，但并末真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式是可发完成的，并且这样的过程 可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。

从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言，写出已知、求证，学会分析命题的证明思路，对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。

频数与频率（第一课时）

教学目标：

1、理解频数、频率等概念，会对一组数据进行统计，并列出相应的统计图表。

2、能根据数据处理的结果，做出合理的判断与预测，从而解决实际问题，并在这一过程中体会统计对决策的作用。

教学重难点：

重点：理解频数、频率的概念并绘制出相应的统计图表，从而作出合理的判断和预测。

难点：正确列出统计图有。 教学准备：

学生课前先对本班同学最喜爱的球类体育运动项目做调查，教师制作好投影片或课件。 设计思路：

通过学生交流各自调查的结果，使学生经历收集整理数据的过程，也体会到其必要性；再通过学生亲自动手绘制各种统计数据的方法，进一步让学生感受统计对解决实际问题的重要性。 教学过程： 一、创设情境 （投影显示问题）

提问：你们喜爱球类体育运动吗？请从下面几项中选出你最喜爱的球类运动项目。

A 、篮球 B 、排球 C 、足球 D 、羽毛球 E 、乒乓球 （每小组分别请一位同学到黑板上进行统计，将每位同学最喜爱的球类运动用字母表示出来。通过活动，使学生再次经历数据收集与整理的过程） 二、想一想 （投影显示问题）

问题：1、从上面统计情况来看，你能很快说出全班同学最喜爱的球类运动吗？

（如果统计结果非常明显，教师可做适当改变或转移到课本第159的例子）

2、你们认为这种数据统计方式好不好，能否设计出比较好的表示方式？

（此问题目的让学生进一步体会数据整理与表示的必要性，帮助学生复习数据表示的几种方法） 三、活动与探究

（学生交流各自课前对本班同学最喜爱的球类运动统计的方法，教师对参加交流的同学加以肯定并作出适当的点评。）

本问题除了课本上给出的列频数颁布表、频率颁布直方图外，还可以提醒学生用数据的其他表示方法进行统计，如画扇形统计图、折线统计图等。 四、讲解概念

1、频数：每个对象出现的次数。

2、频率：每个对象出现的次数与总次数的比值。

（在讲解这两个概念时，切忌不要生搬硬记，要结合上述具体情况加以分析，让学生体会其意义，如有25人喜爱篮球运动，则把篮球的频数记为25，再用25除以全班总人数即得喜爱篮球运动的人的频率） 五．做一做

对课本158页“读一读”进行统计，看看哪个汉字的使用频率最高？

（通过对这个问题的解决，使学生进一步理解频数、频率的意义） 七．课堂小结 本节课的主要内容是：

1、学会用正确的统计方式表示一组数据。

2、理解频数、频率。（可以用提问的方式进行小结） 八．布置作业： 课本习题5.3第1、2题

定 义 与 命 题

课时2

【教学目标】 一、教学知识点

1．命题的组成. 2．命题真假的判断。 二、能力训练要求：

1．使学生能够分清命题的条件和结论，能判断命题的真假 2．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法

三、情感与价值观要求：

1．通过反例说明假命题，使学生认识到任何事情都是正反两方

面对立统一

2．帮助学生了解数学发展史，拓展视野，激发学习兴趣 3．通过对《原本》介绍，使学生感受数学发展史和人类文明价值

【教学重点】准确的找出命题的条件和结论 【教学难点】理解判断一个真命题需要证明 【教学方法】探讨、合作交流 【教具准备】投影片 【教学过程】

不等式的解集

教学目标

1. 使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；

2. 培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；

3. 在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题.

教学重点和难点

重点：不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法.

难点：不等式的解集的概念.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1. 什么叫不等式? 什么叫方程? 什么叫方程的解?(请学生举例说明)

2. 用不等式表示：

(1)x的3倍大于1； (2)y与5的差大于零；

(3)x与3的和小于6； (4)x的小于2.

(3)当x 取下列数值时，不等式x+3＜6是否成立?

-4，3.5，-2.5，3，0，2.9.

((2)、(3)两题用投影仪打在屏幕上)

一、讲授新课

1. 引导学生运用对比的方法，得出不等式的解的概念

2. 不等式的解集及解不等式

首先，向学生提出如下问题：

不等式x+3＜6，除了上面提到的，-4，-2.5，0，2.9是它的解外，还有没有其它的解? 若有，解的个数是多少? 它们的分布是有什么规律?

(启发学生利用试验的方法，结合数轴直观研究. 具体作法是，在数轴上将是x+3＜6的解的数值-4，-2.5，0，2.9用实心圆点画出，将不是x+3＜6的解的数值3.5，4，3用空心圆圈画出，好像是“挖去了”一样. 如下图所示)

然后，启发学生，通过观察这些点在数轴上的分布情况，可看出寻求不等式x+3＜6的解的关键值是“3”，用小于3的任何数替代x ，不等式x+3＜6均成立；用大于或等于3的任何数替代x ，不等式x+3＜6均不成立. 即能使不等式x+3＜6成立的未知数x 的值是小于3的所有数，用不等式表示为x ＜3. 把能够使不等式x+3＜6成立的所有x 值的集合叫做不等式x+3＜6的集合. 简称不等式x+3＜6的解集，记作x ＜3.

最后，请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念.(若学生总结有困难，教师可作适当的启发、补充)

一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合. 简称为这个不等式的解集.

不等式一般有无限多个解.

求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

3. 启发学生如何在数轴上表示不等式的解集

我们知道解不等式不能只求个别解，而应求它的解集，一般而言，不等式的解集不是由一个数或几个数组成的，而是由无限多个数组成的，如x ＜3. 那么如何在数轴上直观地表示不等式x+3＜6的解集x ＜3呢?(先让学生想一想，然后请一名学生到黑板上试着用数轴表示一下，其余同学在下面自行完成，教师巡视，并针对黑板上板演的结果做讲解)

在数轴上表示3的点的左边部分，表示解集x ＜3. 如下图所示.

由于x=3不是不等式x+3＜6的解，所以其中表示3的点用空心圆圈标出来.(表示挖去x=3这个点)

记号“≥”读作大于或等于，既不小于；记号“≤”读作小于或等于，即不大于.

例如不等式x+5≥3的解集是x ≥-2(想一想，为什么? 并请一名学生回答) 在数轴上表示如下图.

即用数轴上表示-2的点和它的右边部分表示出来. 由于解中包含x=-2，故其中表示-2的点用实心圆点表示.

此处，教师应强调，这里特别要注意区别是用空心圆圈“。”还是用实心圆点“. ”，是左边部分，还是右边部分.

三、应用举例，变式练习

例1 在数轴上表示下列不等式的解集：

(1)x≤-5； (2)x≥0； (3)x＞-1;

(4)1≤X ≤4; (5)-2＜X ≤3； (6)-2≤x ＜3.

解(1)，(2)，(3)略.

(4)在数轴上表示1≤x ≤4，如下图

(5)在数轴上表示-2＜x ≤3，如下图

(此题在讲解时，教师要着重强调：注意所给题目中的解集是否包含分界点，是左边部分还是右边部分. 本题应分别让6名学生板演，其余学生自行完成，教师巡视遇到问题，及时纠正)

例2 用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来：

(1)x小于-1； (2)x不小于-1；

(3)a是正数； (4)b是非负数.

解：(1)x小于-1表示为x ＜-1；(用数轴表示略)

(2)x不小于-1表示为x ≥-1；(用数轴表示略)

(3)a是正数表示为a ＞0；(用数轴表示略)

(4)b是非负数表示为b ≥0.(用数轴表示略)

(以上各小题分别请四名学生回答，教师板书，最后，请学生在笔记本上画数轴表示)

例3 用不等式的解集表示出下列各数轴所表示的数的范围.(投影，请学生口答，教师板演)

解：(1)x＜2； (2)x≥-1.5； (3)-2≤x ＜1.

(本题从另一例面来揭示不等式的解集与数轴上表示数的范围的一种对应关系，从而进一步加深学生对不等式解集的理解，以使学生进一步领会到数形结合的方法具有形象，直观，易于说明问题的优点)

练习(1)用简明语言叙述下列不等式表示什么数：①x ＞0; ②x ＜0; ③x ＞-1; ④x ≤-1.

(2)在数轴上表示下列不等式的解集：

①x ＞3; ②x ≥-1; ③x ≤-1.5;

④0≤x ＜5; ⑤-2＜x ≤2； ⑥-2＜x ＜.

(3)用观察法求不等式＜1的解集，并用不等式和数轴分别表示出来.

（4）观察不等式＜1的解集，并用不等式和数轴分别表示出来，它的正数解是什么?

自然数解是什么?(*表示选作题)

四、师生共同小结

针对本节课所学内容，请学生回答以下问题：

1. 如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念?

2. 找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点.

3. 记号“≥”、“≤”各表示什么含义?

4. 在数轴上表示不等式解集时应注意什么?

结合学生的回答，教师再强调指出，不等式的解、不等式的解集及解不等式这三者的定义是区别它们的唯一标准；在数轴上表示不等式解集时，需特别注意解的范围的分界点，以便在数轴上正确使用空心圆圈“。”和实心圆点“·”.

五、作业

1. 不等式x+3≤6的解集是什么?

2. 在数轴上表示下列不等式的解集：

(1)x≤1； (2)x≤0; (3)-1＜x ≤5;

(4)-3≤x ≤2; (5)-2＜x ＜; (6)-≤x ＜.

3. 求不等式x+2＜5的正整数解.

课堂教学设计说明

由于本节课的知识点比较多，因此，在设计教学过程时，紧紧抓住不等式的解集这一重点知识. 通过对方程的解的电义的回忆，对比学习不等式的解及解集. 同时，为了进一步加深学生对不等式的解集的理解，教学中注意运用以下几种教学方法：(1)启发学生用试验的方法，结合数轴直观形象来研究不等式的解和解集；(2)比较方程与不等式的解的异同点；(3)通过例题与练习，加深理解.

在数轴上表示数是数形结合的具体体现. 而在数轴上表示不等式的解集则又进了一步. 因此，在设计教学过程时，就充分考虑到应使学生通过本节课的学习，进一步领会数形结合的思想方法具有形象、直观、易于说明问题的优点，并初步学会用数形结合的观念去处理问题、解决问题.

《不等式的基本性质》教案

教学目的

掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。

教学过程

师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一组：1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7.

第二组：-7 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.

生：第一组都是等式，第二组都是不等式。

师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。

师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。

练习1 (回答) 用小于号“”填空。

（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6

练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。

（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？

生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！

师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？ 生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。

师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。 练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变： 7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。 （让同学回答。）

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。（让同学回答。） 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。（让同学回答。） 现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。

不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。 生：如果a ＜b 。那么a+c＜b+c（或a-c ＜b-c ；如果a ＞b ，那么a+c＞b+c（或a-c ＞b-c ）。

师：对a 和b 有什么要求吗？对c 有什么要求？

生：没有什么要求。

师：哪位同学来回答第二、三条性质？

生甲：如果a0, 那么acb,且c>0,那么ac>bc(或

生乙：如果abc(或 )；如果a>b,且c

师：这两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？

生：对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数。

师：很好，c 可以为零吗？

生：c 不能为零。因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了。

师：好！应用刚才学到的基本性质，我们来看下面的例题。

[例1]按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

（1）5＜9，两边都加上-3；

（2）9＞4，两边都减去10；

（3）-5＜3，两边都乘以4；

（4）14＞-8，两边都除以-2。

解（1）根据不等式基本性质1，在不等式59的两边都加上-3，不等号的方向不变，所以

5+（-3）＜9+（-3），

2＜6

（2）根据不等式基本性质1，得

9-10＞4-10

-1＞-6

（3）根据不等式基本性质2，得

-5×4＜3×4

-20＜12

（4）根据不等式基本性质3，得

14÷（-2）＜（-8）÷（-2）

-7＜4

[例2]设a ＞b ，用不等号连结下列各题中的两式：

（1）a-3与b-3; （2）2a 与2b; （3）-a 与-b.

师：哪一位同学来做这题？解题时，要讲清一步的理由。

生甲：因为a ＞b ，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得

a-3＞b-3．

师：很好，大家都是这样做的吗？

生乙：我是这样做的，因为a ＞b, 两边都加上（-3），由基本性质1，得

a-3＞b-3．

师：好！这两位同学从不同的角度来分析题目，都得到了正确的结论。

生丙：因为a ＞b ，2＞0，由基本性质2，得2a ＞2b 。

生丁：因为a ＞b ，-1＞0，由基本性质3，得-a ＞-b 。

师：下面我们来看一组较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析。[例3]判断以下各题的结论是否正确，并说明都理由：

(1)如果a>b,且c>0，那么ac>bd;

(2)如果a>b,那么ac >bc;

(3)如果ac >bc, 那么a>b; 2222

(4)如果a>b,那么a-b>0;

(5)如果ax>b,且a≠0，那么x

(6)如果a+b>a;

生甲：（1）不对，当c=d≤0时，ac ＞bd 不成立。

生乙：（2）也不对，因为c 是一个非负数，当c=0时，ac ＞bc 不成立。

生丙：（3）对，因为ac ＞bc 成立，则c 一定大于零，根据不等式基本性质2，得a ＞b 出。

（4）对，根据不等式基本性质，由a ＞b ，两边减去b 得a-b ＞0。 222222

（5）不对，当a ＜0时，根据不等式基本性质3，得。

（6）不对，因为当b ＜0时，根据不等式基本性质1，得a+b＜a ；而当b=0时，则有a+b=a。

师：同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用。

课外做以下作业：略。

教案说明

（1） 不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进行的。在初中阶段，对不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本性质。通过试验，由特殊到一般，由具体到抽象，这是一种认识事物规律的重要方法。科学上的许多发现，大多离不开试验和观察。大数学家欧拉说过：“数学这门科学，需要观察，也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法，具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验，就得出一般的结论，是不严密的。但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。

（2） 不等式的基本性质的教学，还应采用对比的方法。学生已学过等式和等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程中，应将不等式的性质与等式的性质加以比较：强调等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负数或零；而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等式的方向，有什么不同的影响。通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关知识，便于引入新课，而且也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。

（3） 在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是具体数，判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时，根据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向，就比较困难。因为它比较抽象，特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时，学生必须考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零三种情况加以讨论。在教学过程中，对于这类题目，采用讨论法是比较好的。因为在讨论时，学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解，教师可以让学生

说出解题的依据；对于错误的见解，教师可以进行启发引导，发动学生自己找出错误的原因，自己修正见解。这样，有利于发现问题，有的放矢地解决问题，有利于深化对不等式基本性质的认识。