与两异面直线的距离有关的一个公式
与两异面直线的距离有关的一个公式
对于异面直线我们由如下几个重要的命题:
β A
命题1:任意两条异面直线有且只有一条公垂线.
证明:如图:设a、b是两条异面直线,在b上任取一点P, 过P引a∥a,设b与a确定平面,则a∥
在a上取一点Q,过Q作QM⊥于M. 设a与QM确定的平面为交平面于直线c.
a
Bb
c与b交于点B.在内作BA∥MQ,则AB⊥,AB⊥b,AB⊥a.
又∵ a∥a, ∴ AB⊥a ,即AB是a、b的公垂线段.
假设还有直线AB也是a、b的公垂线,则AB⊥b,AB⊥a,∴AB⊥a
AB⊥ 于是AB∥AB,AB与AB共面,即a、b共面.这与a、b是两条异面直线相矛盾.因此 任意两条异面直线有且只有一条公垂线.
命题2、两条异面直线的公垂线段的长,是分别连结两条异面直线上任意两点的所有线段
中最短的一条(因此,该长度是两异面直线的距离).
证明:在上图中,设AB是a、b上异于公垂线段AB的任一连线段,过A作AB∥AD
交直线c于D,由上述证明知AD是平面的垂线段,所以AD≤AB. ∴ 命题成立.
命题3、已知两条异面直线所成的角为,在异面直线a、b上分别取E、F,若A1E=m, AF=n,EF=,则公垂线段AA1的长d=mn2mncos. 证明:∵ EFEA1A1AAF 又∵AA1⊥A1E, AA1⊥ ∴ AA1A1E0,AA1AF0,
EA1,AF(或)
2
2
2
∴
2
EF
(EA1A1AAF)
2
2
222
EA1A1A
AF
2EA1AF
,
222
即:mnd2mncos,
d=mn2mncos
说明:1、对于此公式中的符号的处理通常是如上图,当F在点A的另一侧时取“—”,
同一侧时取“+”.
2、此公式中共有5个量,通过它的不同变换形式可用来求诸如:两异面直线间的
距离;异面直线上两点的连线段长;二面角等.
例1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AA1的中点,点O是对角线BD1的在点. 求证:OM是异面直线AA1和BD1的公垂线,并求异面直线AA1和BD1的距离. 证明:设AA
1
222
a,ABb,ADc ,
1
则由已知有:|a||b||c|a, 且abbcac0,cos∵ BD
AD
a,BD
33
1
1
.
D1A1A1M-12
(bc).
11
-ABacb ∴ OMOD
12
又∵ OMAA1
(bc)a0, ∴ OM⊥AA1 . 类似地可证:OM⊥BD1 .
而 OM与AA1 、 BD1都相交 ∴ OM是异面直线AA1和BD1的公垂线. 在公式d=mn2mncos中,=A1D1=a,m=MA1=
cos=cosa,BD1
33
2
2
2
a2
,n=D1O=.
32
a,
.∴d=2m2n22mncos
2a2
2a2
即:异面直线AA1和BD1的距离为.
注:此问题即为上一节的思考题5向量解法.
例2、在直角坐标系中,设A(3,2),B(-2,-3),沿y轴把坐标平面折成120°的二面
角,求折后的AB之长. 解:如图:∵ 在
2m2n2d2-2mncos =AB,
m=BD=2, n=AC=3,1200, d=52
2
2
AB=235223(-
12
)2.
例3、如图,在锐二面角α——β内,A∈α,B∈β,AC⊥于C,BD⊥于D,
且AC=3, BD=4,CD=1,AB=23,求二面角α——β的大小.
2222
解:∵ 在mnd-2mncos中,=AB=23,
D
m=BD=4, n=AC=3, , d=CD=1.即为所求之二面角.
∴ cos
m
2
n
2
d
2
2
2mn
712
, 故二面角α——β=arccos
712
.
想一想①:
如图在正方体AC1中,求二面角A1—AC1—B1的大小.
A1
B1
A B
1
1