抛物线的简单几何性质学案

抛物线的简单几何性质学案

[复习巩固]

1. ____________________________________________________________________叫做抛物线；_______________叫做抛物线的焦点，________________叫做抛物线的准线；焦点在x 轴上抛物线的标准方程为_________________，其焦点坐标为__________，准线方程为________________，其中p 的几何意义为________________. 2. 以

⎛p ⎫，0⎪为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________； ⎝2⎭

以 -

⎛p ⎫

，0⎪为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________； 2⎝⎭⎛⎝

p ⎫2⎭

以 0⎪为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________；

以 0，-

⎛⎝p ⎫

⎪为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为_______________.

2⎭

[巩固练习]

1. 抛物线y =4ax (a

2

⎛1⎫

，0⎪ B. 4a ⎝⎭1⎫⎛

0 ⎪ C. 16a ⎝⎭1⎫⎛

0，- ⎪ D.

16a ⎝⎭

⎛1⎫

，0 ⎪ 16a ⎝⎭

2. 一动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x +2=0相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B. （2，0） C. （0，2） D. (0，－2)

3. 已知F 为抛物线y 2=2x 的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使PQ +|PF |的值最小，点P 的坐标为（ ） A. (0，0) B. ，1⎪

C.

⎛1⎫

⎝2⎭

D. (2，2)

4. 已知抛物线型拱桥的顶点到水面2m 时，水面宽为8m ，当水面升高1m 后，水面宽为____________

5. 已知抛物线y 2=2px (p >0) ，过点(2p ，0)作直线交抛物线于A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2) 两点，给出下列结论：①OA ⊥OB ；②∆AOB 的面积的最小值为4p ；③x 1x 2=-4p 2，其中正确的结论是_______________. [讲解新课]

一、抛物线y 2=2px (p >0) 的简单几何性质

2

+∞) ，y ∈R 1. 范围：x ∈[0，

2. 对称轴：以-y 代y 方程y 2=2px (p >0) 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

3． 顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线y 2=2px (p >0) 的顶点为坐标原点.

4. 离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，抛物线的离心率e =1.

同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。 二、小结：抛物线的简单几何性质一览表

三、焦点弦及其性质

1．抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。

2．抛物线焦点弦的性质：

p

若抛物线的方程为y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F （ ，0）的直线交抛物线与

2A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，则 ① y 1y 2＝－p 2； p 2

② x 1x 2＝；

4③ |AB|＝x 1＋x 2＋p ；

2p

④ |AB|＝ （其中θ为直线的倾斜角）；

sin θ⑤

112＝ ； |AF||BF|p

⑥ 过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为A /、B /，F 抛物线的焦点，则∠A /FB /＝900； ⑦ 以弦AB 为直径的圆与准线相切。

p p

证明：①当直线过焦点且垂直于x 轴时，A （ ，p ）、B （ ，－p ），因此y 1y 2＝－p 2成立；

22 当直线过焦点且不与x 轴垂直时，显然直线的斜率k ≠0，直线AB 的方程为：

p y p y p

y ＝k （x － ）；由此的x ＝ ＋ ；把x ＝＋ 代入y 2＝2px 消去x 得：

2k 2k 2ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2

②∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点都在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上， ∴y 12＝2px 1，y 22＝2px 2；两式相乘得(y1y 2) 2＝2px 1·2px 2 ∴p 4＝4p 2x 1x 2； p 2

从而x 1x 2＝

4

p

③过A 、B 两点作准线x ＝－ 的垂线，垂足分别为A /、B /，

2p p

则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x 1＋ ＋x 2＋ ＝x 1＋x 2＋p

22④当θ＝900时，显然成立；

p

当θ≠900时，，则直线AB 的方程为：y ＝k （x －）；

2

p k 2p 22222

把y ＝k （x ）代入y ＝2px 消去y 得：k x －p(k＋2)x ＋ ＝0；

24p(k2＋2) p 2

x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ ；

k 4|AB|＝1＋k |x1－x 2|＝1＋k 2p(1＋tan 2θ) 2p

＝ ＝ 。 tan θsin θ⑤∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）∴

1111

|AF||BF|p p

x 1＋x 2＋22

2p(1＋k 2)

(x1＋x 2) －4x 1x 2 ＝

k ＝

x 1＋x 2＋p x 1＋x 2＋p

＝p p p p p x 1x 2＋ (x1＋x 2) ＋ (x＋x ) ＋2442124x ＋x ＋p 2

＝

p p (x1＋x 2＋p) 2

＝

⑥过A 、B 两点分别作准线的垂线，垂足分别为A /、B /， 由于点A 、B 是抛物线上的点，F 是抛物线的焦点，根据//

抛物线的定义可知，|AF|＝|AA|，|BF|＝|BB|

∴∠B /BF ＝1800－2∠B /FB ，∠A /AF ＝1800－2∠A /FA 由∵AA /∥BB / ∴∠B /BF ＋∠A /AF ＝1800 即：1800－2∠B /FB ＋1800－2∠A /FA ＝1800

∴∠B /FB ＋∠A /FA ＝900 ⑦设N 为线段AB 的中点，过A 、B 、N 分别作准线的垂线，

垂足分别为A /、B /、N /，

|AA/|＋|BB/|

∵N 为线段AB 的中点，则|NN|＝

2

/

|AF|＋|BF||AB| ＝ ＝

22

∴以AB 为直径的圆与准线相切。

【例题讲解】

【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程

【例1】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且

经过M (2，-，求它的标准方程。

⑦题图【变式】已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M (2，-，求它的标准方程。

【例2】已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，若抛物线上一动点P 到A (2) 、F 两点距离之和的最小值为4，求抛物线C 的方程。

【变式】抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。

【题型二】有关焦点弦的问题

【例3】斜率为1的直线l 经过抛物线y =4x 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长。

2

32

【变式】1. 已知过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |=求AB 所在的直线方程。

5p ，2

，作抛物线y 2=8x 的弦AB ，恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程。 2. 过点Q (41)

【题型三】直线与抛物线

一、 直线与抛物线的位置关系

1． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。即

把x ＝my ＋n 代入y 2＝2px （p ＞0）消去x 得：y 2－2pmy －2pn ＝0①，当方程①的判别式△＝0⇔直线与抛物线相切； 2． 直线与抛物线相交：

（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； （2）直线与抛物线有两个不同的交点⇔方程①的判别式△＞0；

3. 直线与抛物线相离⇔方程①的判别式△＜0。 【例4】已知直线l 过点A (-的方程。

【变式】抛物线y =2px (p >0) 有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是

2

3

p ，p ) 且与抛物线y 2=2px (p >0) 只有一个公共点，求直线l 2

y =

2x ，斜边长为

【题型四】定值问题

【例5】已知过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 两点，求证：（1）x 1x 2为定值；（2）

11

为定值。 +

|FA ||FB |

【题型五】直线过定点问题

【例6】A 、B 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的两点，且OA

⊥OB （O 为坐标原点） 求证：（1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是

定值；

（1） 直线AB 经过一个定点；

（2） 求O 在线段AB 上的射影M 的轨迹方程。

【例7】抛物线y 2＝2px （p ＞0）上有两个动点A 、B 及一定点M （p 2p ），F 为焦点；若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB 的垂直平分线过定点。

【题型六】抛物线中的最值问题 【例8】如图所示，若A （3，2），F 为抛物线y 2＝2x 的焦

点，求|PF|＋|PA|的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标。

【变式】

例1图

1. 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求此时AB 中点M 的坐标。

2. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y =2px (p >0) 上，求这个正三角形的边长，并求该三角形外接圆的方程。

2