毕业论文:隐函数定理及其应用
摘 要
隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理,它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础,并且它也为许多数学分支,如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用,在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究,可以加深我们对微分学的认识与理解.
本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发,给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.
关键词:隐函数定理;应用;优化理论 ;证明
Abstract
Implicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding.
This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function theorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper.
Key words: implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof
目 录
摘要 . .......................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................... I I
绪论 . .......................................................................................................................................... 1
第1章 隐函数 . ...................................................................................................................... 2
1. 1 隐函数 . ...................................................................................................................... 2
1. 2 隐函数组的概念 . ...................................................................................................... 2
1. 3 反函数组的概念 . ...................................................................................................... 3
第2章 隐函数定理 . .............................................................................................................. 4
2. 1 隐函数定理 . .............................................................................................................. 4
2. 2 隐函数组定理 . .......................................................................................................... 6
2. 3 反函数组定理 . .......................................................................................................... 7
第3章 隐函数定理的应用 . .................................................................................................. 9
3. 1 计算导数和偏导数 . .................................................................................................. 9
3. 1. 1 隐函数的导数 . .................................................................................................. 9
3. 1. 2 隐函数组的导数 . .............................................................................................. 9
3. 1. 3 对数求导法 . .................................................................................................... 10
3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 . ................................................................ 10
3. 2 几何应用 . ................................................................................................................ 11
3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 . ............................................................................ 11
3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 . ............................................................................ 14
3. 3 条件极值 . ................................................................................................................ 15
3. 3. 1 无条件极值 . .................................................................................................... 15
3. 3. 2 拉格朗日乘数法 . ............................................................................................ 16
3. 4 最优化问题 . ............................................................................................................ 18
3. 4. 1 无约束最优化问题 . ........................................................................................ 18
3. 4. 2 约束最优化问题 . ............................................................................................ 19
结论 . ........................................................................................................................................ 21
参考文献 . ................................................................................................................................ 22
致谢 . ........................................................................................................................................ 23
绪 论
通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的,这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中,变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的,而是通过一个或多个方程来确定的,由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便,本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理,它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础,并且它也为许多数学分支,如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛,在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究,可以加深我们对微分学的认识与理解.
现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题,也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书,在书中提出许多独到见解,并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书,其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano 定理的一点注记》,其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》,更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.
本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论,并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.
第1章 隐函数
隐函数与我们以前接触的函数有所不同,它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里,我们将具体地研究隐函数.
1.1 隐函数
以前接触的函数f (x ) (对应关系)多是用自变量的数学表达式表示的,一般称这样的函数为显函数. 如f (x ) =x +2,f (x ) =cos x 等.
定义1. 1[1] 若自变量x 与因变量y 之间的对应关系f 是由某个方程F (x , y ) =0所确定的,即有两个非空数集A 与B ,对任意x ∈A , 通过方程F (x , y ) =0对应唯一一个y ∈B , 这种对应关系称为由方程F (x , y ) =0所确定的隐函数. 记为y =f (x ) ,x ∈A ,y ∈B 则成立恒等式
F (x , f (x )) =0,x ∈A
例如,二元方程F (x , y ) =4x -5y -24=0在R 上确定(从中解得)一个隐函数. 隐函数不一定能写成y =f (x ) 的形式,如x 2+y 2=1,因此隐函数不一定是函数,而是方程. 其实总的来说,函数都是方程,而方程却不一定是函数.
[2]
1.2 隐函数组的概念
定义1.2[3] 设F (x , y , u , v ) 和G (x , y , u , v ) 为定义在区域V ∈R 4上的两个四元函数,若存在平面区域D , 对于D 中每一点(x , y ) ,分别在区间J 和K 上有唯一一对值u ∈J , v ∈K , 它们与x ,y 一起满足方程组
⎧F (x , y , u , v ) =0 (1-1) ⎨⎩G (x , y , u , v ) =0
则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域D 上,值域分别在J 和K 内的函数,称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为u =f (x , y ) ,v =g (x , y ) 则在D 上成立恒等式
F (x , y , f (x , y ), g (x , y )) ≡0,G (x , y , f (x , y ), g (x , y )) ≡0
1.3 反函数组的概念
定义1.3[4] 设有函数组
u =u (x , y ) ,v =v (x , y ) (1-2)
如果能从此函数组(1-2)中,把x ,y 分别用u ,v 的二元函数表示出来,即
x =x (u , v ) ,y =y (u , v )
则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组.
(1-3)
第2章 隐函数定理
在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念,设有方程F (x , y ) =0,那么在什么条件下,此方程能确定一个隐函数y =f (x ) ?在本章里,我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.
2.1 隐函数定理
定理2. 1[5] 若函数F (x , y ) 满足下列条件
(1)F (x 0, y 0) =0
(2)在点P 0(x 0, y 0) 的一个邻域U (P 0) ⊂R 2中, 函数F (x , y ) 连续
(3)F y (x 0, y 0) ≠0
则有下列结论成立:
①在点P 0(x 0, y 0) 的某个邻域V (P 0) ⊂U (P 0) ⊂R 2内, 方程F (x , y ) =0唯一确定了一个定义在某区间(x 0-ρ, x 0+ρ) 内的隐函数y =f (x ) ,满足y 0=f (x 0) 且F (x , f (x )) ≡0;
②y =f (x ) 在区间(x 0-ρ, x 0+ρ) 内连续;
③y =f (x ) 在区间(x 0-ρ, x 0+ρ) 内具有连续的导数,满足
F (x , y ) dy f ' (x ) ==-x
dx F y (x , y )
证 为了不失一般性,不妨设F y (x 0, y 0) >0.
首先证明隐函数y =f (x ) 的存在性与惟一性.
由F y (x 0, y 0) ≠0,我们知道F y (x , y ) 是连续的,由F y (x , y ) 的连续性与局部保号性可知,存在闭矩形域
D =[x 0-ρ' , x 0+ρ' ]⨯[y 0-ρ' , y 0+ρ' ]⊂U (p 0)
有
F y (x , y ) >0(∀(x , y ) ∈D )
所以,对任意的x ∈[x 0-ρ' , x 0+ρ' ],F (x , y ) 在[y 0-ρ' , y 0+ρ' ]上严格单调增加. 因为F (x 0, y 0) =0,所以可得
F (x 0, y 0-ρ' ) 0
又由于F (x , y 0-ρ' ), F (x , y 0+ρ' ) 在[x 0-ρ' , x 0+ρ' ]上是连续的,所以存在ρ>0(ρ
F (x , y 0-ρ' ) 0(x ∈(x 0-ρ, x 0+ρ))
所以,对于每一个固定的x ∈(x 0-ρ, x 0+ρ) ,F (x , y ) 在[y 0-ρ' , y 0+ρ' ]上都是严格单调增加的连续函数,并且有
F (x , y 0-ρ' ) 0
因为零点存在定理,存在惟一的y ∈[y 0-ρ' , y 0+ρ' ],使得F (x , y ) =0. 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个函数y =f (x ) ,其定义域为(x 0-ρ, x 0+ρ) ,值域包含于
[y 0-ρ' , y 0+ρ' ],记为:
V (P 0) =(x 0-ρ, x 0+ρ) ⨯(y 0-ρ' , y 0+ρ' )
从而结论①得以证明.
其次证明隐函数y =f (x ) 的连续性. 任意取x ∈(x 0-ρ, x 0+ρ) ,对于任意给定的充分小的ε>0,可以得到
F (x , y -ε) 0
因为连续函数的保号性可知,存在δ>0,当x ∈(x -δ, x +δ) ⊂(x 0-ρ, x 0+ρ) 时,有
F (x , y -ε) 0
因此,当x ∈(x -δ, x +δ) 时,由F (x , y ) 关于y 的单调性,相应于x 的隐函数值f (x ) 满足y -ε
最后证明隐函数y =f (x ) 的可微性.
任取x 和x +∆x 都属于(x 0-ρ, x 0+ρ) ,它们相对应的隐函数值为y =f (x ) 和y +∆y =f (x +∆x ) ,那么
F (x , y ) =0, F (x +∆x , y +∆y ) =0
由多元函数微分中值定理,可得
0=F (x +∆x , y +∆y ) -F (x , y ) =F x (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆x +F y (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆y 在这里, 0
F (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆y . =-x
∆x F y (x +θ∆x , y +θ∆y )
因为F x (x , y ) 和F y (x , y ) 是连续的,取极限∆x →0可得
f ' (x ) =F (x , y ) dy =-x
dx F y (x , y )
且f ' (x ) 在(x 0-ρ, x 0+ρ) 内连续.
相应的,我们能够得出由方程F (x 1, x 2, , x n , y ) =0所确定的n 元隐函数的存在定理: 定理2. 2[6] 如果满足下列条件
000(1)F (x 1, x 2, , x n , y 0) =0;
000(2)在点P 0(x 1, x 2, , x n , y 0) 的一个邻域U (P 0) ⊂R n +1内, 函数F (x 1, x 2, , x n , y ) 连续; 00n 0(3) F y (x 1, x 2, , x n y ) ≠0,
那么则有以下结论成立:
000①在点P 0(x 1, x 2, , x n , y 0) 的某个邻域V (P 0) ⊂U (P 0) 内, 方程F (x 1, x 2, , x n , y ) =0惟
00一确定了一个定义在点R 0(x 10, x 2, , x n ) 某邻域U (R 0) ⊂R n 内的隐函数
000y =f (x 1, x 2, , x n ) ,满足y 0=f (x 1, x 2, , x n ) ,且F (x 1, x 2, , x n , f (x 1, x 2, , x n )) ≡0;
②y =f (x 1, x 2, , x n ) 在邻域U (R 0) ⊂R n 内连续;
③y =f (x 1, x 2, , x n ) 在邻域U (R 0) ⊂R n 内具有连续的偏导数,满足
F x i (x 1, x 2, , x n , y ) ∂y =-, i =1, 2, , n . ∂x i F y (x 1, x 2, , x n , y )
例2. 1 验证方程F (x , y ) =xe y +e x =0在原点(0, 0) 的某邻域内确定唯一的连续函数y =f (x ) .
证 由于F (x , y ) 与F y '=xe y +e x 都在R 2上连续,当然在点(0, 0) 的邻域内连续,且F (0, 0) =0, F y '(0, 0) =1≠0
由此可知方程F (x , y ) =0在点(0, 0) 的某邻域内确定唯一连续的隐函数y =f (x ) .
2.2 隐函数组定理
⎧F (x , y , u , v ) =0,⎧u =f (x , y ) , 下面我们将给出由方程组⎨所确定的隐函数组⎨的存在定⎩G (x , y , u , v ) =0⎩v =g (x , y )
理.
定理2. 3[7] 设F (x , y , u , v ), G (x , y , u , v ) 以及它们的一阶偏导数在以点P 0(x 0, y 0, u 0, v 0) 为内点的某区域V ⊂R 4内连续,且满足
(1)F (x 0, y 0, u 0, v 0) =0, G (x 0, y 0, u 0, v 0) =0 (2)J =∂(F , G ) F u =G u ∂(u , v ) F v
G v P 0≠0
⎧F (x , y , u , v ) =0,则方程组⎨在P 0的某邻域U (P 0) 内唯一确定两个隐函数u =f (x , y ) ,⎩G (x , y , u , v ) =0
v =g (x , y ) ,有下列结论成立:
①u 0=f (x 0, y 0), v 0=g (x 0, y 0) ,则有
⎧F (x , y , f (x , y ), g (x , y ) ≡0 ⎨⎩G (x , y , f (x , y ), g (x , y )) ≡0
②u =f (x , y ), v =g (x , y ) 在邻域U (R 0) ⊂R 2内具有连续的一阶偏导数,且
∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-, =-∂x J ∂(x , v ) ∂x J ∂(u , x )
∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-, =-∂y J ∂(y , v ) ∂y J ∂(u , y )
⎧x -2y +u +v =8例2. 2[8] 验证方程组⎨2在点(3, -1, 2, 1) 的邻域内确定隐函数组,222⎩x -2y -u +v =4
∂u ∂v 并求,. ∂x ∂x
解 令 F (x , y , u , v ) =x -2y +u +v -8,G (x , y , u , v ) =x 2-2y 2-u 2+v 2-4 则:
G (3, -1, 2, 1) =0, F (3, -1, 2, 1) =0
F 与G 以及它们的一阶偏导数都连续 11∂(F , G ) ∂(F , G ) =6≠0 且==2(u +v ) ,∂(u , v ) (3, -1, 2, 1) -2u 2v ∂(u , v )
⎧u =u (x , y ) 所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组⎨ ⎩v =v (x , y )
∂u ∂v ⎧1++=0⎪∂x ∂x 在方程两端同时对x 求导得⎨ ∂u ∂v ⎪2x -2u ⋅+2v ⋅=0∂x ∂x ⎩
∂u x -u ∂v x +u =解得,=- ∂x u +v ∂x u +v
2.3 反函数组定理
定理2. 4[9] 若函数组u =u (x , y ), v =v (x , y ) 满足如下条件:
(1)u =u (x , y ), v =v (x , y ) 均具有连续的偏导数 (2)J =∂(u , v ) ≠0 ∂(x , y )
则函数组u =u (x , y ), v =v (x , y ) 可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
x =x (u , v ), y =y (u , v )
且有
1∂v ∂y 1∂u ∂x 1∂v ∂x 1∂u ∂y =-===-,,, J ∂x ∂v J ∂x ∂u J ∂y ∂v J ∂y ∂u
及
∂(x , y ) 1∂(u , v ) ∂(x , y )
=或⋅=1 ∂(u , v ) ∂(u , v ) ∂(x , y ) ∂(u , v )
∂(x , y )
⎧y 1=y 1(x 1, x 2, x n ) ⎪
定理2. 5 若函数组⎨满足如下条件:
⎪y =y (x , x , x )
n 12n ⎩n
(1)y 1, y 2, y n 均具有连续的偏导数 (2)
∂(y 1, y 2, y n )
≠0
∂(x 1, x 2, x n )
⎧x 1=x 1(y 1, y 2, y n ) ⎪
⎨
⎪x =x (y , y , y )
n 12n ⎩n
则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
且有
∂(x 1, x 2, x n ) ∂(y 1, y 2, y n ) ⋅=1
∂(y 1, y 2, y n ) ∂(x 1, x 2, x n )
⎧x =r sin ϕcos θ⎪
⎨y =r sin ϕsin θ ⎪z =r cos ϕ⎩
例2. 2 [10]在R 3中的一点,其直角坐标(x , y , z ) 与相应球坐标(r , ϕ, θ) 的变换公式为
其中0
证 由于
∂(x , y , z )
=sin θsin ϕ
∂(r , ϕ, θ)
cos ϕ
cos ϕsin θ
r cos ϕcos θr cos θsin ϕ-r sin ϕ
-r sin ϕsin θ
r sin θcos ϕ=r 2sin ϕ≠0
由反函数组定理,函数组(除去z 轴上的点)可确定r , ϕ, θ分别是x , y , z 的函数,事
y z
实上,函数组的反函数组为r =x 2+y 2+z 2,ϕ=arctan ,θ=arccos .
x r
第3章 隐函数定理的应用
3.1 计算导数和偏导数
3.1.1 隐函数的导数[11]
设方程F (x , y ) =0确定一个单值可导函数y =f (x ) ,将y =f (x ) 代入方程得恒等式
F (x , y (x )) ≡0,在恒等式两边对x 求导,便得到一个含有y '的方程,解出y '就求出了隐
函数y =f (x ) 的导数,在恒等式两边对x 求导时,必须注意y 是x 的函数,要利用复合函数求导法.
例3. 1 求由方程x +y 3-10=0所确定的隐函数y 对x 的导数.
解 我们在方程两端对x 求导,注意y 是x 的函数,于是y 3则是x 的复合函数,运用复合函数求导法可得1+3y 2y '=0所以y '=-
1. 3y 2
3.1.2 隐函数组的导数[12]
对方程组的各个方程两边对某自变量求导,遇见因变量就把它看作自变量的函数,最后解方程组,就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.
⎧xy
, x 2+y 2≠0⎪22
例3. 2 求函数f (x , y ) =⎨x +y 的偏导数.
22⎪⎩0, x +y =0解 (1)当x 2+y 2≠0时,有
y (x 2+y 2) -xy ⋅2x y 3-x 2y
f x '(x , y ) ==2
(x 2+y 2) 2(x +y 2) 2x (x 2+y 2) -xy ⋅2y y 3-xy 2
f y '(x , y ) ==2
(x 2+y 2) 2(x +y 2) 2
(2)当x 2+y 2=0时,
根据偏导定义有:
f (∆x , 0) -f (0, 0) 0-0
=lim =0
∆x →0∆x →0∆x ∆x
f (∆y , 0) -f (0, 0) 0-0
f y '(0, 0) =lim =lim =0
∆x →0∆x →0∆y ∆y f x '(0, 0) =lim
综合(1) (2)得:
⎧y 3-x 2y 22
, x +y ≠0⎪2
f x '(x , y ) =⎨(x +y 2) 2
⎪0, x 2+y 2=0⎩
⎧x 3-xy 222
, x +y ≠0⎪2
f y '(x , y ) =⎨(x +y 2) 2
⎪0, x 2+y 2=0⎩
3.1.3 对数求导法
某些显函数的导数直接去求十分繁琐,有时可以通过取对数的方法使其化为隐函数的形式,再用隐函数求导法去求导数,使其变得简单些,这样的求导方法我们称为对数求导法.
(x -1)(x -2)
的导数.
(x -3)
解 先在两端取自然对数,得:
1
ln y =(lnx -1+ln x -2+ln x -3)
3
再应用隐函数求导法,在上式两端对x 求导,得
11111y '=(++) y 3x -1x -2x -3
所以得
例3. 3 计算y =3
y '=
1(x -1)(x -2) 111(++) 3(x -3) x -1x -2x -3
3.1.4 由参数方程所确定的函数的导数
⎧x =ϕ(t )
设由参数方程⎨确定了y 是x 的函数,y =y (x ) 则称这个函数为有参数方程
y =ϕ(t ) ⎩所确定的函数,其中t 为参数,下面讨论由参数方程所确定的函数求导法:
设函数x =ϕ(t ) 具有单调连续的反函数t =t (x ) ,且此反函数能与函数y =ϕ(t ) 复合
t =t (x ) 成复合函数,则由上面参数方程所确定的函数y =y (x ) 就可以看成是由y =ϕ(t ) ,
复合而成的函数y =y (x ) =ϕ(t (x )) ,假设x =ϕ(t ) ,y =ϕ(t ) 都可导且ϕ'(t ) ≠0,则由复合函数求导法则和反函数求导公式有:
1ϕ'(t ) dy dy dt dy
===;; dx 'ϕ(t ) dx dt dx dt
dt
即
dy
dy ϕ'(t ) ==
dx ϕ'(t ) dx
dt
若x =ϕ(t ), y =ϕ(t ) 都二阶可导,则有:
d 2y d dy ϕ''(t ) ϕ'(t ) -ϕ'(t ) ϕ''(t )
=() =
dx 2dx dx (ϕ'(t )) 3
x =v 1t ⎧
⎪
12求抛物体在此时刻t 的例3. 4已知抛物体的运动轨迹的参数方程为⎨
y =v t -gt 2⎪2⎩
运动速度的大小和方向.
dx dy =v 1,垂直分量为=v 2-gt ,所解 先求速度的大小,由于速度的水平分量为dt dt
以抛物体运动速度大小为
dx 2dy
) +() 2=v 12+(v 2-gt ) 2 dt dt
再求速度的方向,即轨道的切线方向,设α是切线的倾角,则由导数的几何意义有
dy
dy dt v 2-gt
tan α===
dx dx v 1dt
所以抛物体刚射出(即t =0)时
v dy
tan αt =0==2
dx t =0v 1
v 当t =2时
g
dy
tan αt =v 2==0
v dx t =2g
v =(
g
这说明,这时运动方向是水平的,即抛物体达到最高点.
3.2 几何应用
3.2.1 空间曲线的切线与法平面[13] 3. 2. 1. 1空间曲线由参数方程给出的情况
设空间曲线C 的参数方程为:
⎧x =x (t ) ⎪
C :⎨y =y (t ) t ∈[α, β] (3-1)
⎪z =z (t ) ⎩
取定曲线C 上点P 0(x 0, y 0, z 0) =(x (t 0), y (t 0), z (t 0)) ,设式(3-1)中3个函数都在t 0点可导. 且
[x '(t 0) ]2+[y '(t 0) ]2+[z '(t 0) ]2≠0
在P 0的附近取动点P (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ) ∈C ,则割线P 0P 方程为
x -x 0y -y 0z -z 0
==
∆x ∆y ∆z
其中∆x =x (t 0+∆t ) -x (t 0) ,∆y =y (t 0+∆t ) -y (t 0) ,∆z =z (t 0+∆t ) -z (t 0) . 以∆t 除以上式分母得
x -x 0y -y 0z -z 0
== ∆x ∆y ∆z
∆t ∆t ∆t
当∆t →0时,P →P 0, 且切线方程为
∆x ∆y ∆z
=x '(t 0) ,=y '(t 0) ,=z '(t 0) . 所以曲线C 在P 0处得∆t ∆t ∆t
其切向量l =(x '(t 0), y '(t 0), z '(t 0)) .
x -x 0y -y 0z -z 0
== x '(t 0) y '(t 0) z '(t 0)
因为曲线C 在点P 0的法平面是垂直于切线的,所以法平面的法向量与l 平行,设法
平面的法向量为n ,则n =(x '(t 0), y '(t 0), z '(t 0)) . 从而过P 0点的法平面方程为
x '(t 0)(x -x 0) +y '(t 0)(y -y 0) +z '(t 0)(z -z 0) =0
特别地,如果空间曲线C 的参数方程以x 为参数,即:
⎧x =x ⎪
C :⎨y =y (x ) x ∈[α, β] ⎪z =z (x ) ⎩
则C 在点P 0(x 0, y 0, z 0) 的切线方程为
切向量为l =(1, y '(t 0), z '(t 0)) ,C 在点P 0处的法平面方程为:
(x -x 0) +y '(t 0)(y -y 0) +z '(t 0)(z -z 0) =0
如果C 为平面曲线y =f (x ) ,x ∈[a , b ],则过点P 0(x 0, y 0) 切线方程为:
x -x 0y -y 0z -z 0
==
1y '(x 0) z '(z 0)
切向量为l =(1, f '(x 0)) .
x -x 0y -y 0
或y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) =
1f '(x 0)
例3.5[13] 求螺旋线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在t 0=程.
π
3
处的切线方程与法平面方
解 由x '=-a sin t , y =a cos t , z =b ,则切线方程为:
x -a cos -a sin
即
π
3=
y -a sin a cos
π
3=
z -b b
π
3
3
3
πa y -a z -b
3 ==
a b -a
22
x -
因此法平面方程为:
3a a π
a (x -) +(y -a ) +b (z -b ) =0 22223
3. 2. 1. 2 空间曲线为两曲面交线的情况
⎧F (x , y , z ) =0
设空间曲线L 由方程组⎨(3-2)给出,设它在点P 0(x 0, y 0, z 0) 的邻域内满
⎩G (x , y , z ) =0
∂(F , G )
≠0)足隐函数组定理的条件(这里不妨设,则由隐函数存在定理可知在方程
∂(x , y ) p 0
-
组(3-2)点P 0附近可确定唯一连续导数的隐函数组x =x (z ) ,y =y (z ) ,z =z (亦即L 的参数方程),满足:
x 0=x (z 0), y 0=y (z 0)
且
x '(z 0) =-
∂(F , G )
∂(z , y ) ∂(F , G ) ∂(x , y )
p 0
y '(z 0) =-
∂(F , G ) ∂(x , z ) ∂(F , G ) ∂(x , y )
p 0
p 0p 0
故曲线L 在点P 0的切线方程为:
x -x 0∂(F , G ) ∂(y , z )
p 0
=
y -y 0∂(F , G ) ∂(z , x )
p 0
=
z -z 0∂(F , G ) ∂(x , y ) ∂(F , G ) ∂(x , y )
p 0
(3-3)
曲线L 在点P 0的法平面方程为:
∂(F , G ) ∂(y , z )
(x -x 0) +
p 0
∂(F , G ) ∂(z , x )
(y -y 0) +
p 0
(z -z 0) =0 (3-4)
p 0
同理,可证当
∂(F , G ) ∂(y , z )
≠0或
p 0
∂(F , G ) ∂(z , x )
≠0时,曲线L 在点P 0的切线方程为(3-3)式,曲
p 0
线L 在点P 0的法平面方程为仍为(3-4)式.
⎧x 2+y 2+z 2=3x
例3. 6 求曲线⎨在点P (1, 1, 1) 处的切线与法平面方程.
⎩2x -3y +5z =4
⎧F (x , y , z ) =x 2+y 2+z 2-3x 解 令⎨,首先求偏导数,得:
⎩G (x , y , z ) =2x -3y +5z -4
F x =2x -3,F y =2y ,F z =2z ,G x =2,G y =-3,G z =5 则曲线在点P 的切线方向向量为:
⎛F y F z F z F x F x F y ⎫⎛222-1-12⎫ ⎪= ⎪=(16, 9, -1) , , , ,
G y G z G z G x G x G y ⎪ -35522-3⎪
⎭⎝⎭⎝
故切线方程为
x -1y -1z -1
== 169-1
法平面方程为
16x +9y -z =24
3.2.2 空间曲面的切平面与法线[14]
定义3. 1在空间曲面∑上,过点P 0(x 0, y 0, z 0) 的任一曲线在点P 0处的切线都在同一平面上,则此平面称为曲面∑在点P 0的切平面.
先讨论曲面∑的方程为F (x , y , z ) =0的情形,其次把显式给出的曲面方程
z =f (x , y ) 作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程F (x , y , z ) =0给出,其中F 具有一阶连续
的偏导数,在曲面∑上,过点P 0(x 0, y 0, z 0) 的任一曲线的参数方程为
x =x (t ), y =y (t ), z =z (t ) α≤t ≤β,其中x (t ), y (t ), z (t ) 均可导,则曲线在点P 0处的切线
方向向量为τ=(x '(t 0), y '(t 0), z '(t 0)) ,由于曲线在曲面∑上,故有F (x (t ), y (t ), z (t )) ≡0,
对上式两端关于t 求导,得:
F x '(P 0) x '(t 0) +F y '(P 0) y '(t 0) +F z '(P 0) z '(t 0) =0
即 (x '(t 0), y '(t 0), z '(t 0)) (F x '(P 0) +F y '(P 0) +F z '(P 0)) =0
这表明向量((F x '(P 0), F y '(P 0), F z '(P 0)) 与曲面上过点P 0的任一曲线的切线都垂直,故所有切线都在以向量((F x '(P 0), F y '(P 0), F z '(P 0)) 为法向量且过点P 0的平面内,从而曲面∑过点P 0的切平面的法向量为:
n =((F x '(P 0), F y '(P 0), F z '(P 0))
于是过曲面∑上点P 0(x 0, y 0, z 0) 处的切平面方程为:
F x '(P 0)(x -x 0) +F y '(P 0)(y -y 0) +F z '(P 0)(z -z 0) =0
过点P 0(x 0, y 0, z 0) 处的法线方程为:
x -x 0z -z 0y -y 0
== '''F x (P 0) F y (P 0) F z (P 0)
上述讨论中,都假设(F x '(P 0), F y '(P 0), F z '(P 0) 不全为零,现在来考虑曲面∑的方程为
z =f (x , y ) 的情形,其中f 都有连续的偏导数,令F (x , y , z ) =z -f (x , y ) 使方程变形为
F (x , y , z ) =0
则:
F x '(P 0) =-f x '(x 0, y 0), F y '(P 0) =-f y '(x 0, y o ), F z '(P 0) =1
所以曲面∑在点P 0的法向量为:
n =(-f x '(x 0, y 0), -f y '(x 0, y o ), 1) 故曲面∑在点P 0的切平面方程为:
f x '(x 0, y 0)(x -x 0) +f y '(x 0, y 0)(y -y 0) =z -z 0
曲面∑在点P 0的法线方程为:
z -z 0x -x 0y -y 0
==,其中z 0=f (x 0, y 0)
-1f x '(x 0, y 0) f y '(x 0, y 0)
曲面∑:z =f (x , y ) 上的法向量可以是n =(-f x ', -f y ', 1) ,也可以是n =(f x ', f y ', -1) ,
但当曲面∑的法向量向上时(即法向量正向与z 轴正向夹角γ满足大于0小于
的法向量应为n =(-f x ', -f y ', 1) .
例3. 7[15] 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3) 处的切平面及法线方程. 解 设F (x , y , z ) =x 2+y 2+z 2-14,则
F x (x , y , z ) =2x , F y (x , y , z ) =2y F z (x , y , z ) =2z , F x (1, 2, 3) =2F y (1, 2, 3) =4, F z (1, 2, 3) =6
π
时)∑2
球面在点(1, 2, 3) 处的法向量为{2, 4, 6},所以球面在点(1, 2, 3) 的切平面方程为:
2(x -1) +4(y -2) +6(z -3) =0
即:
x +2y +3z -14=0
法线方程为:
x -1y -2z -3
==. 123
3.3 条件极值
3.3.1 无条件极值 3. 3. 1. 1 极值的概念
定义3.2 设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域U (P 0) 内有定义,如果对
∀(x , y ) ∈U (P 0) 都有f (x , y ) ≤f (x 0, y o ) 或(f (x , y ) ≥f (x 0, y o ) )则称f (x 0, y o ) 为函数,此时点P 0称为f (x , y ) 的极大值点(或极小值点),f (x , y ) 的一个极大值(或极小值)
函数的极大值和极小值统称为函数的极值,极大值点和极小值点统称为函数的极值点.
3. 3. 1. 2 极值存在的条件
(1)极值存在的必要条件
定理3.2 设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处具有偏导数,且在点P 0(x 0, y 0) 处有极值,则在该点的偏导数为零,即f x (x 0, y o ) =0,f y (x 0, y o ) =0
证 不妨设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处有极大值(极小值的情形可类似证明),由极大值定义,在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域内异于点P 0(x 0, y 0) 的点P (x , y ) 都适合不等式
f (x , y ) ﹤f (x 0, y o ) ,特别的,在该邻域内取y =y 0,x ≠x 0的点,也有
f (x , y 0) ﹤f (x 0, y o ) ,这表明一元函数f (x , y 0) 在x =x 0处取得极大值,因此必有f x (x 0, y o ) =0,同理,f y (x 0, y o ) =0
(2)极值存在的充分条件
定理:设函数z =f (x , y ) 在驻点(x 0, y 0) 的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数,记:
A =f xx (x 0, y o ) ,B =f xy (x 0, y o ) ,C =f yy (x 0, y o ) ,①当B 2-AC ﹤0时,f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 具有极值,且当A ﹤0时有极大值,当A ﹥0时有极小值. ②当B 2-AC ﹥0时
f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 没有极值. ③当B 2-AC =0时,f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 可能有极值,需
另作讨论.
例3.8[17]求函数z =x 3-4x 2+2xy -y 2的极值.
⎧∂z 2
=3x -8x +2y =0⎪⎪∂x
解 方程组⎨∂z ,求得驻点为(0, 0) 和(2, 2)
=2x -2y =0⎪
⎪∂y ⎩
再求出二阶偏导数
∂2z ∂2z ∂2z
=6x -8,=2,2=-2 2
∂x ∂x ∂y ∂y
在点(0, 0) 处,A =-8, B =2, C =-2, B 2-AC =-12
(0, 0) 处取得极大值f (0, 0) =0,在点(2, 2) 处,A =4, B =2, C =-2,B 2-AC =12>0故
点(2, 2) 不是函数的极值点.
3.3.2 拉格朗日乘数法
自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值,比如函数z =f (x , y ) 在条件
ϕ(x , y ) =0(3-5)下取得的极值就是条件极值. 现在讨论函数z =f (x , y ) 在条件ϕ(x , y ) =0
取得极值的必要条件.
设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某一邻域内f (x , y ) ,ϕ(x , y ) 均有连续的一阶偏导数,且ϕy (x 0, y o ) ≠0,则方程ϕ(x , y ) =0能唯一确定y 是x 的具有连续导数的单值函数
y =y (x ) ,将其代入函数z =f (x , y ) ,得一元函数z =f (x , y (x )) ,于是二元函数z =f (x , y (x )) 在点x 0取得极大值的问题,由一元可导函数取得极大值的必要条件知
应有:
dz dy
=f x (x 0, y 0) +f y (x 0, y 0) =0 (3-6) dx x =x 0dx x =x 0
又由隐函数求导公式,有:
ϕ(x , y ) dy
=-x 00 dx x =x 0ϕy (x 0, y 0)
代入(3-6)式中得:
f x (x 0, y 0) -f y (x 0, y 0)
即:
f x (x 0, y 0) -
ϕx (x 0, y 0)
=0
ϕy (x 0, y 0)
f y (x 0, y 0)
ϕy (x 0, y 0)
⋅ϕ(x 0, y 0) =0 (3-7)
(3-5)、(3-7)式就是z =f (x , y ) 在条件ϕ(x , y ) =0下,在点(x 0, y 0) 取得极值的必要条件. 令λ=-
f y (x 0, y 0)
ϕy (x 0, y 0)
即:
f y (x 0, y 0) +λϕy (x 0, y 0) =0 (3-8) 则(3-7)式变为
f x (x 0, y 0) +λϕx (x 0, y 0) =0 (3-9)
由(3-5) (3-8) (3-9)式得函数f (x , y ) 在(x 0, y 0) 取得条件极值的必要条件是:
⎧f x (x 0, y 0) +λϕx (x 0, y 0) =0⎪
⎨f y (x 0, y 0) +λϕy (x 0, y 0) =0 (3-10)
⎪ϕ(x o , y 0) =0⎩
实际上(3-10)式可看作函数F (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) ,在点(x 0, y 0, λ) 取得无条件极值的必要条件. 因此为了便于记忆,求函数z =f (x , y ) 在条件ϕ(x , y ) =0下的可能极值点,可以构造辅助函数F (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) ,其中λ为某一常数,称为拉格朗日乘数,称函数F (x , y , λ) 为拉格朗日函数,分别求F (x , y , λ) 对x , y , λ的偏导数,并使它们同时为零,得联立方程组
⎧F x (x , y , λ) =f x (x , y ) +λϕx (x , y ) =0⎪⎨F y (x , y , λ) =f y (x , y ) +λϕy (x , y ) =0
⎪F λ(x , y , λ) =ϕ(x , y ) =0⎩
解此方程组得x , y , λ,其中x , y 就是可能极值点的坐标,上述方法称为拉格朗日乘数法.
例3. 9[18] 求函数f (x , y , z ) =ax 2+by 2+cz 2,(a >0, b >0, c >0) 在条件x +y +z =1下的最小值.
解 作拉格朗日函数L (x , y , z , λ) =ax 2+by 2+cz 2+λ(x +y +z -1)
对L 求偏导并令其为零,得:
⎧2ax +λ=0⎪2by +λ=0⎪ ⎨2cz +λ=0⎪⎪⎩x +y +z =0
解得唯一稳定点:
x =bc ac ab , y =, z = ab +bc +ac ab +bc +ac ab +bc +ac
故所求最小值为:
f min =
abc (bc +ac +ab ) 2(ab +bc +ac )
3.4 最优化问题
在现实中,我们通常要解决“投资最少”“成本最低”“效益最高”等问题,称这样的问题为最优化问题,这类问题在数学上可以归结为求某个函数在一定条件下的最大值或最小值问题. 最优化问题通常可以分为无约束最优化问题和有约束最优化问题.
3.4.1 无约束最优化问题
无约束最优化问题的数学表达式就是:
在自变量的取值范围D 上,求一组x 1, x 2 x n
使:
f (x 1, x 2 x n ) =(x 1, x 2 x n ) ∈D max f (x 1, x 2 x n )
或:
f (x 1, x 2 x n ) =(x 1, x 2 x n ) ∈D min f (x 1, x 2 x n )
这也是一个在D 上求函数f (x 1, x 2 x n ) 的最大值或最小值问题.
例3. 10 用铁板做一个体积为2m 2的有盖长方体水箱,问当长,宽,高分别为多少时,才能使用料最省?
解 设水箱的长为x m, 宽为y m ,则高为
水箱所用材料的面积为:
A =2(xy +y 2222+x ) =2(xy ++), (x >0, y >0) xy xy x y 2m xy
这样所给问题就转化为在域D {(x , y ) x >0, y >0}上求使此函数达到最小的x , y 用求最大值、最小值的方法即可求得
即解方程组:
⎧A (x , y ) =2(y -⎪⎪x
⎨⎪A y (x , y ) =2(x -⎪⎩2) =0x 2 2) =02y
得:
x =2, y =2
根据题意可知,水箱所用材料面积A 的最小值一定存在,且在开区域D {(x , y ) x >0, y >0}内取得,同时函数在D 内只有唯一驻点(2, 2) ,因此可以肯定当x =2, y =2,A 取得最小值,即当水箱长、宽、高分别为2m 、2m 、2m 时,水箱所用材料最省.
3.4.2 约束最优化问题
在约束最优化问题中,约束条件又可分为等式约束条件和不等式约束条件,在此我们只讨论等式约束条件的情形. 这时对应的最优化问题的数学表达式就是:在自变量的
***取值范围D 上,求一组满足约束条件ϕ(x 1, x 2 x n ) =0的x 1,使, x 2, x n
***f (x 1, x 2 x n ) =***m a x f (x 1, x 2 x n ) 或f (x 1, x 2 x n ) =(x 1, x 2 x n ) ∈D (x 1, x 2 x n ) ∈D min f (x 1, x 2 x n ) ,这也是一个有条件地求函数f (x 1, x 2 x n ) 在D 上的最大值或最小值问题.
求解有约束最优化问题有两种方法:一种方法是利用约束条件,将有约束最优化问题化为无约束最优化问题再求解. 令一种方法是拉格朗日乘数法.
例3. 11 求表面积为a 2而体积最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高分别为x , y , z
则问题就是求函数
V =xyz , (x >0, y >0, z >0)
在条件
ϕ(x , y , z ) =2(xy +yz +zx ) -a 2=0
下的最大值
利用拉格朗日乘数法,构造拉格朗日函数
F (z , y , z , λ) =xyz +λ2(xy +yz +zx ) -a 2
对x , y , z , λ分别求导,并令其同时为零,得方程组: []
⎧F x (x , y , z , λ) =yz +2λ(y +z ) =0⎪F (x , y , z , λ) =xz +2λ(x +z ) =0⎪y ⎨F (x , y , z , λ) =xy +2λ(x +y ) =0⎪z
2⎪⎩ϕ(x , y , z ) =2xy +2yz +2xy -a =0
解此方程组得x =y =z =6a ,这是唯一可能的极值点,因为由问题本身可知,最6
大值一定存在,所以最大值就在这个可能的极值点处取得,即表面积为a 2的长方体中,以棱长为63a 的正方体的体积最大,最大体积为V =a . 636
结 论
本篇文章主要介绍的是隐函数定理及其应用,重点在于应用,难点在于如何将理论知识更深刻、更具体、更形象的运用在实际解题中.绪论中主要介绍了隐函数的历史发展、隐函数定理在数学分析中的重要地位,以及在现代生活中人们对隐函数的具体认识及其主要用途.
本文介绍了隐函数存在性定理、连续性定理及可微性定理,并予以严谨的证明。在这些定理的基础上我们得出了反函数定理。隐函数的应用十分广泛,特别是在计算导数上使问题更加简便,本文就隐函数的导数问题做了简单的研究,并举例说明了隐函数一阶导数及高阶导数的计算方法。隐函数求偏导数是数学分析的重要内容之一,它在数学的分支有广泛的应用(如数学物理方程、微分方程等) 。利用隐函数求偏导数可以求平面曲线、空间曲线的切线和空间曲面的切平面等。本文针对隐函数极值存在的必要、充分条件进行了论述并给出了应用实例。并介绍了条件极值中的拉格朗日乘数法及其严格的证明。
隐函数定理的应用也体现在现实生活中,在最优化问题中,它为我们解决了“效益最高”、“成本最低”等问题。本文中我们将其分为无约束最优化问题和约束最优化问题两个方面进行研究。
本文主要讲述了用隐函数定理解决问题,事实上,隐函数定理用途颇广,它已成为国内外很多学者的研究对象,根据实际问题的需要会加快这门学问的发展速度.
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[18] 冯秀红,隐函数的极值求法[J].,2010,30 (3),17-19.
致 谢
我衷心地感谢我的指导老师xx 教授. 本文从最初的选题、酝酿构造,直到最后的修改、定稿始终得到我的导师的悉心指导和帮助. 在本文工作过程中遇到了很多困难,x 老师给我指明了研究方向,并给我提供了大量的资料同时给予耐心的指导,x 老师渊博的知识,敏锐的思想和严谨治学的态度必将使我受益终身. 同时感谢在本文工作过程中给予我帮助的老师、同学,感谢他们对我的关心与支持.