用含时微扰方法求解态函数
微扰法求解态函数,时间演化算符及费曼图
2.2.1 时间演化算符
时间演化算符是微扰理论中处理问题的一个重要手段,费曼图是这一方法的较为直观的表达方式,在处理多光子过程中非常简捷且行之有效。本小节将详细讨论这一方法,并利用它得到双光子吸收系数。
处在电场中的原子其本征函数可由求解薛定谔方程
H ψ=i
∂ψ
∂t
(2.2-1)
或t b 时刻的本征函数ψ(t b ) 由时间演化算符U (t b , t a ) 作用到ψ(t a ) 上得到
这里u (t b , t a ) 满足
i
∂u (t b , t a )
=Hu (t b , t a ) ∂t b
ψ(t b ) =u (t b , t a ) ψ(t a )
(2.2-2)
(2.2-3)
如果H 与时间无关,那么由(2.2-3)可得
u (t b , t a ) =exp[-i
H
(t b -t a )]=∑m m exp[-i ωm (t b -t a )] (2.2-4) m
此处ωm =E m / ,m 是H 的本征函数,其本征能量为E m , 在(2.2-4)中,我们应用了归一化条件∑m m =1。在微扰理论中,
m
我们令哈密顿为
H =H 0+V (t )
(2.2-5)
H 0与时间无关,V(t)代表原子与场相互作用的含时微扰。由公式(2.2-2)可得u 是单位算符,满足
u +u =1
(2.2-6)
(2.2-7)
u 的另一个特性为
u (t b , t a ) u (t a , t c ) =u (t b , t c )
当H(t)由(2.2-5)给出时,
i t b (0)
u (t b , t a ) =u (t b , t a ) -⎰u (t b , t ) V (t ) u (t , t a ) dt
t a
(2.2-8)
其中
u 0(t b , t a ) =exp[-
iH 0
(t b -t a )]
(2.2-9)
是无微扰时的算符。
由公式(2.2-8)做递推展开
u (t b , t a ) =u (0) (t b , t a ) -
t b t 1
i t b (0) (0)
u (t , t ) V (t ) u (t 1, t a ) dt 1b 11⎰t a
i
+(-) 2⎰⎰dt 1dt 2u (0) (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t 2) V (t 2) u (t 2, t a )
t a t a
(2.2-10)
t b >t 1>t 2>t a
注意到u 出现在(2.2-10)式的末尾,所以我们可以应用同样
的程序得到 :
u (t b , t a ) =u (0) (t b , t a ) -
2
i t b (0) (0)
u (t , t ) V (t ) u (t 1, t a ) dt 1b 11⎰t a
⎛i ⎫t b t 1
+ -⎪⎰⎰dt 1dt 2u (0) (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t 2) V (t 2) u (0) (t 2, t a )
(2.2-11) ⎝ ⎭t a t a
t b t 1t 2i
+(-) 3⎰⎰⎰dt 1dt 2dt 3u (0) (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t 2) V (t 2) ⨯
t a t a t a
u (0) (t 2, t 3) V (t 3) u (0) (t 3, t a )
将上式写成
u (0) (t b , t a ) =u (0) (t b , t a ) +u (1) (t b , t a ) +u (2) (t b , t a )
+u
(n )
(t b , t a ) +
(2.2-12)
其中
⎡i H ⎤
u (0) (t b , t a ) =exp ⎢-0(t b -t a ) ⎥
⎣ ⎦
⎛i ⎫t b
u (1) (t b , t a ) = -⎪⎰u (0) (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t a ) dt 1
⎝ ⎭t a
⎛i ⎫
u (2) (t b , t a ) = -⎪
⎝ ⎭
2
⎰⎰
3
t b t 1
t a t a
dt 1dt 2u (0) (t b , t 1) V (t 1) ⨯
u (0) (t 1, t 2) V (t 2) u (0) (t 2, t a )
⎛i ⎫t b t 1t 2
u (t b , t a ) = -⎪⎰⎰⎰dt 1dt 1dt 3u (0) (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t 2) ⨯
⎝ ⎭t a t a t a
V (t 2) u (0) (t 2, t 3) V (t 3) u (t 3, t a )
(3)
(t b >t 1>t 2>t 3 >t n ) 。
(2.2-13)
例如,要得到ψ(t ) 含微扰V (t ) 三阶近似解,令t b =t ,
ψ(t ) =[u (0) (t , t a ) +u (1) (t , t a ) +u (2) (t , t a ) +u (3) (t , t a ) ]ψ(t a )
=ψ(t ) +ψ(t ) +ψ(t ) +ψ(t )
1
2
3
(2.2-14)
仔细检查一下(2.2-13)式中的各个u (n ) (t , t a ) ,我们不难发现,
u (n ) (t , t a ) 可以写成如下形式的通式:
u (0) (t , t 1) u (0) (t n -1, t n ) u (0) (t n , t a ) 中间插入微扰v(t)在t 1 t n 时刻的
值,时间参量是由右向左递增的。
下面以三能级原子与两个光场相互作用为例,讨论微扰方法的应用。
我们设光场为
1 i ω1t 1 i ω2t
E (t ) =E 1e +E 2e +c . c . (2.2-15)
22
相互作用哈密顿为
V (t ) =μ⋅E (t )
1 1
=μ⋅(E 1e i ω1t +E 2e i ω2t +c . c .)
22
(2.2-16)
这里,μ是偶极动量算符的负值。假设微扰在t 0=-∞时作用于基态n 上的原子,那么在t 时刻原子的本征函数为
ψ(t ) =ψ(0) (t ) +ψ(1) (t ) + ψ(m ) (t ) + 其中
ψ(m ) (t ) =u (m ) (t , t 0) n
(2.2-17)
用(2.2-13)我们可以写出
ψ(0) (t ) =exp ⎢-i
H 0⎤(t -t 0) ⎥n ⎣⎦
=exp [-i ωn (t -t 0) n
⎡
ψ(1) (t ) =-
i t ⎡H 0⎤⎡H 0⎤
exp -i (t -t ) V (t ) exp -i (t -t ) dt 1n 1110⎰⎢⎥⎢⎥t 0 ⎣⎦⎣⎦t i
=-∑⎰m m exp [-i ωm (t -t 1) ]V (t 1) ⨯exp [-i ωn (t 1-t 0) ]dt 1n m t 0
(2.2-18)
由(2.2-16)式,V (t 1) 是四项之和,被积函数包括四项,我们以其中的一项,E 1*exp(-i ω1t ) 为例
(1) ψ-ω(t ) =
1
t i *
(μ) E exp i (ωmn -ω1) t 1⨯∑1mn 1⎰t →-∞02 m
(2.2-19)
exp(-i ωm t ) exp(i ωn t 0) dt 1m
μ1是μ沿E 1的投影,ωmn =(E m -E n ) / ,完成上述积分可得
ψ
(1) -ω1
i e i (ωmn -ω1) t -e i (ωmn -ω1) t 0*
(t ) =(μ1) mn E 1exp(-i ωm t ) m ∑2 m ωmn -ω1
其中的ex p i (ωn t 0) 被忽略了,因为在计算可观测量的物理量时,它都将与自己的复共扼相乘。在t 0→-∞时,ex p i (ωmn -ω1) t 0为零。考虑到自然线宽γ,将分母中的ωm 以ωm -i γ代替,有
(1)
ψ-ω(t ) =
1
[i (-ω1-ωn ) t ]m i *exp (μ) E ∑1mn 1ω-ω-i γ
2 m mn 1
*
应用同样的方法,我们可以计算出E 1exp(i ω1t ) ,E 2exp(-i ω2t ) 及
E 2exp(i ω2t ) 等项对ψ(1) (t ) 的贡献,最后可得:
(1) (1) (1) (1) ψ(1) (t ) =ψ-ω(t ) +ψω(t ) +ψ-ω(t ) +ψω(t )
1
1
2
2
⎧E 1*exp [i (-ω1-ωn ) t m i ⎪
=∑⎨(μ1) mn
2 m ⎪ωmn -ω1-i γ⎩+(μ1) mn +(μ2) mn +(μ2) mn
E 1exp [i (ω1-ωn ) t m
ωmn +ω1-i γ
*
E 2exp [i (-ω2-ωn ) t m
(2.2-20)
ωmn -ω2-i γ
E 2exp [i (ω2-ωn ) t m ⎫
⎬
ωmn +ω2-i γ⎭
用(2.2-13)我们写出波函数的二阶项ψ(2) (t ) :
ψ(2) (t ) =u (2) (t , t 0) n
⎛i ⎫= -⎪⎝ ⎭
⎡H 0(t -t 1) ⎤
dt dt exp -i ⎰t 0⎰t 012⎢⎥V (t 1) ⨯ ⎣⎦
⎡H (t -t ) ⎤⎡H (t -t ) ⎤exp ⎢-i 012⎥V (t 2) exp ⎢-i 020⎥n
⎣⎦⎣⎦(2.2-21)
t
t 1
22
t t 1>t 2⎛i ⎫
= -⎪∑∑⎰⎰exp [-i ωs (t -t 1) s s ⨯⎝ ⎭m s t 0t 0
V (t 1) exp [-i ωm (t 1-t 2) ]m m (t 2) ⨯
exp [-i ωn (t 2-t 0) n dt 1dt 2
由于V (t ) 在(2.2-21)中出现两次且包含四项,所以积分结果将
*
是16项之和,我们以包含μ1E 1*exp(-i ω1t 2) 和μ2E 2exp(-i ω2t 1) 项为例,
计算出:
**
⎛i ⎫E 1E 2(μ2) mn (μ1) sm exp [i (-ωn -ω1-ω2) t ](2)
ψ-ω1, -ω2(t ) =∑∑ ⎪s
4(ωmn -ω2-i γ)(ωsn -ω1-ω2-i γ) m s ⎝ ⎭
2
(2.2-22)
2.2.2
应用费曼图可以简捷地写出公式(2.2-22), 如图(2-1), 时间由下至上递增,每个实线代表原子的一个本征态。原子在t a 时刻处于初态n ,在t 2时刻吸收一个频率为ω2的光子而到达态m ,这
*-i ω2t
一过程可由(2.2-22)中(μ2) mn E 2e /(ωmn -ω2-i γ) 表示。下一步跃
费曼图
迁发生在t 1时刻,原子由m 态跃迁至s 态,与此同时吸收一个频率为ω
1的光子。频率前面的负号代表吸收一个光子,在费曼图
t
t
1
t a
(c )
ωω2
t a
(a )
ωt a
(b
)
ω3
上用一个终止于节点处的箭头来表示,频率前面为正号时,代表发射一个光子,在费曼图上表示为一个开始
图2-1 费曼图
于节点的箭头。
例如图(2.1-b)表示了一个原子从n 态跃迁到s 态,在t 2时刻吸收一个频率为ω2的光子,在t 1时刻发射一个频率为ω1的光子的情形。此过程对ψ(2) (t ) 的贡献可表示为
*
⎛i ⎫E 1E 2(μ2) mn (μ1) sm exp [i (-ωn +ω1-ω2) t ](2)
ψ+ω1-ω2(t ) =∑∑ ⎪s
4(ωmn -ω2-i γ)(ωsn +ω1-ω2-i γ) m s ⎝ ⎭
2
(2.2-23)
我们注意到,每次吸收或发射光子,即费曼图中的每个顶
(2)
点,都可以体现为分母上的一个因子。其余14项ψ±ω, ±ω, i , j =1, 2可
i
j
以通过各微扰项的各种组合来得到。例如, ψ(+2ω) , -ω对应在t 2时
1
2
2)
ψ(刻发射一个ω1光子,在t 1时刻吸收一个ω2光子。因此,t 1>t 2,-ω, ω
j
i
(2)
不等于ψ+ω, -ω。
i
j
用费曼图,我们可以写出到微扰的任意阶的波函数。例如,考虑这样一个过程:原子从态n 跃迁到态s ,吸收一个频率为ω3的光子,再吸收一个频率为ω2的光子,发射一个频率为ω1的光子。如图(2-1c),于是我们得到
(3) ψ-ω3, -ω2, ω1
**
-E 3E 2E 1(μ3) mn (μ2) km (μ1) sk exp [i (-ωn -ω3-ω2+ω1) t ]
=∑∑∑s 3
(ω-ω)(ω-ω-ω)(ω-ω-ω+ω) m k s 8 mn 3kn 32sn 321
(3)
ψ±ω, ±ω
i
j , ±ωk
总共有216项(63) 。用费曼图来表示的最大好处是
我们可以在给定的条件下,简单地写出我们感兴趣的项。
用含时微扰方法求解态函数
处在电场中的原子其本征函数可由求解薛定谔方程
H ψ=i
∂ψ
∂t
(2-35)
得到。或者由t b 时刻的本征函数ψ(t b ) 由时间演化算符U (t b , t a ) 作用到ψ(t a ) 上得到
ψ(t b ) =u (t b , t a ) ψ(t a )
这里u (t b , t a ) 满足
(2-36)
∂u (t b , t a ) i =Hu (t b , t a )
∂t b
如果哈密顿与时间无关,那么由(2-37)可得
(2-37)
u (t b , t a ) =exp[-i
H
(t b -t a )]=∑m m exp[-i ωm (t b -t a )] (2-38) m
此处ωm =E m / ,m 是H 的本征函数,其本征能量为E m ,在式(2-38)中,我们应用了归一化条件∑m m =1。在微扰理论中,我们令哈密顿为
m
H =H 0+V (t )
(2-39)
H 0与时间无关,V (t )代表原子与场相互作用的含时微扰。由公式(2-36)可知u 是单位算符,满足
u +u =1
u 的另一个特性为
(2-40)
u (t b , t a ) u (t a , t c ) =u (t b , t c )
当H (t )由(2-39)给出时,
(2-41)
u (t b , t a ) =u 0(t b , t a ) -
其中
i t b (0)
u (t b , t ) V (t ) u (t , t a ) dt ⎰t a
(2-42)
u 0(t b , t a ) =exp[-
是无微扰时的算符。
iH 0
(t b -t a )]
(2-43)
由公式(2-42)做递推展开
i t b (0)
u (t b , t a ) =u (t b , t a ) -⎰u (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t a ) dt 1
t a
i 2t b t 1(0) (0)
+(-) ⎰⎰dt 1dt 2u (t b , t 1) V (t 1) u (t 1, t 2) V (t 2) u (t 2, t a )
t a t a
(0)
其中t b >t 1>t 2>t a
(2-44)
注意到u 出现在(2-44)式的末尾,所以我们可以应用同样的程序得到:
i t b (0)
u (t b , t a ) =u (t b , t a ) -⎰u (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t a ) dt 1
t a
(0)
⎛i ⎫t b t 1
+ -⎪⎰⎰dt 1dt 2u (0) (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t 2) V (t 2) u (0) (t 2, t a ) ⎝ ⎭t a t a
i 3t b t 1t 2
+(-) ⎰⎰⎰dt 1dt 2dt 3u (0) (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t 2) V (t 2) ⨯
t a t a t a
u (0) (t 2, t 3) V (t 3) u (0) (t 3, t a )
将上式写成
(2-45)
2
u (0) (t b , t a ) =u (0) (t b , t a ) +u (1) (t b , t a ) +u (2) (t b , t a )
+u (t b , t a ) +
其中
(n )
(2-46)
⎡i H ⎤
u (0) (t b , t a ) =exp ⎢-0(t b -t a ) ⎥
⎣ ⎦
⎛i ⎫t b (0)
u (t b , t a ) = -⎪⎰u (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t a ) dt 1
⎝ ⎭t a
(1)
⎛i ⎫t b t 1(2)
u (t b , t a ) = -⎪⎰⎰dt 1dt 2u (0) (t b , t 1) V (t 1) ⨯
⎝ ⎭t a t a u (0) (t 1, t 2) V (t 2) u (0) (t 2, t a ) ⎛i ⎫(3)
u (t b , t a ) = -⎪
⎝ ⎭
3
2
⎰⎰⎰
t b t 1t 2
t a t a t a
dt 1dt 1dt 3u (0) (t b , t 1) V (t 1) u (0) (t 1, t 2) ⨯
V (t 2) u (0) (t 2, t 3) V (t 3) u (t 3, t a )
其中(t b >t 1>t 2>t 3 >t n ) 。
例如,要得到ψ(t ) 含微扰V (t ) 三阶近似解,令t b =t ,
(2-47)
ψ(t ) =[u (0) (t , t a ) +u (1) (t , t a ) +u (2) (t , t a ) +u (3) (t , t a ) ]ψ(t a )
=ψ(t ) +ψ(t ) +ψ(t ) +ψ(t )
1
2
3
(2-48)
仔细检查一下(2-47)式中的各个u (n ) (t , t a ) ,我们不难发现,u (n ) (t , t a ) 可以写成如下形式的通式:
时间u (0) (t , t 1) u (0) (t n -1, t n ) u (0) (t n , t a ) 中间插入微扰V (t )在t 1 t n 时刻的值,参量是由右向左递增的。
下面以三能级原子与两个光场相互作用为例,讨论微扰方法的应用。 我们设光场为
1 i ω1t 1 i ω2t
E (t ) =E 1e +E 2e +c . c .
22
相互作用哈密顿为
(2-49)
V (t ) =μ⋅E (t )
1 i ω1t 1 i ω2t
=μ⋅(E 1e +E 2e +c . c .)
22
(2-50)
这里,μ是偶极动量算符的负值。假设微扰在t 0=-∞时作用于基态n 上的原子,那么在t 时刻原子的本征函数为
ψ(t ) =ψ(0) (t ) +ψ(1) (t ) + ψ(m ) (t ) +
其中
(2-51)
ψ(m ) (t ) =u (m ) (t , t 0) n
用(2-47)我们可以写出
(2-52)
ψ(0) (t ) =exp ⎢-i
H 0⎤
(t -t 0) ⎥n ⎣⎦
=exp [-i ωn (t -t 0) n
⎡
i t ⎡H 0⎤⎡H 0⎤
ψ(t ) =-⎰exp ⎢-i (t -t 1) ⎥V (t 1) exp ⎢-i (t 1-t 0) ⎥dt 1n
t 0 ⎣⎦⎣⎦
t i
=-∑⎰m m exp [-i ωm (t -t 1) ]V (t 1) ⨯exp [-i ωn (t 1-t 0) ]dt 1n m t 0
(1)
(2-53)
由(2-50)式知道,V (t 1) 是四项之和,被积函数包括四项,我们以其中的一项,
E 1*exp(-i ω1t ) 为例加以说明
ψ
(1) -ω1
t i *
(t ) =(μ) E ωmn -ω1) t 1⨯∑1mn 1exp i (⎰t →-∞2 m 0
(2-54)
exp(-i ωm t ) exp(i ωn t 0) dt 1m
μ1是μ沿E 1的投影,ωmn =(E m -E n ) / ,完成上述积分可得
i (ωmn -ω1) t i (ωmn -ω1) t 0
i e -e (1)
ψ-(μ1) mn E 1*exp(-i ωm t ) m ∑ω1(t ) =
2 m ωmn -ω1
(2-55)
其中的exp(i ωn t 0) 被忽略了,因为在计算可观测量的物理量时,它都将与自己的复共扼相乘。在t 0→-∞时,exp i (ωmn -ω1) t 0为零。考虑到自然线宽γ,将分母中的ωm 以ωm -i γ代替,有
(1)
ψ-ω(t ) =
1
[i (-ω1-ωn ) t ]m i *exp (μ) E ∑1mn 1ω-ω-i γ
2 m mn 1
(2-56)
*
应用同样的方法,我们可以计算出E 1exp(i ω1t ) ,E 2exp(-i ω2t ) 及E 2exp(i ω2t ) 等
项对ψ(1) (t ) 的贡献,最后可得:
(1) (1) (1) (1) ψ(1) (t ) =ψ-ω(t ) +ψω(t ) +ψ-ω(t ) +ψω(t ) 1122
⎧E 1*exp [i (-ω1-ωn ) t m i ⎪=⎨(μ1) mn ∑2 m ⎪ωmn -ω1-i γ⎩
+(μ1) mn
+(μ2) mn
+(μ2) mn E 1exp [i (ω1-ωn ) t m ωmn +ω1-i γ*E 2exp [i (-ω2-ωn ) t m (2-57) ωmn -ω2-i γE 2exp [i (ω2-ωn ) t m ⎫⎬ωmn +ω2-i γ⎭
用(2-47)写出波函数的二阶项ψ(2) (t ) :
ψ(2) (t ) =u (2) (t , t 0) n
⎛i ⎫= -⎪⎝ ⎭⎡H 0(t -t 1) ⎤dt dt exp -i V (t 1) ⨯ ⎰t 0⎰t 012⎢⎥ ⎣⎦
⎡H (t -t ) ⎤⎡H (t -t ) ⎤exp ⎢-i 012⎥V (t 2) exp ⎢-i 020⎥n ⎣⎦⎣⎦t t 12
t t 1>t 2⎛i ⎫= -⎪∑∑⎰⎰exp [-i ωs (t -t 1) ]s s ⨯⎝ ⎭m s t 0t 0
V (t 1) exp [-i ωm (t 1-t 2) m m V (t 2) ⨯2(2-58)
exp [-i ωn (t 2-t 0) n dt 1dt 2
由于V (t ) 在(2-58)中出现两次且包含四项,所以积分结果将是16项之和,我
*们以包含μ1E 1*exp(-i ω1t 2) 和μ2E 2exp(-i ω2t 1) 项为例,计算得出: **i E ⎛⎫(2) 1E 2(μ2) mn (μ1) sm exp [i (-ωn -ω1-ω2) t ]ψ-(t ) =s ∑∑ ⎪ω1, -ω24(ωmn -ω2-i γ)(ωsn -ω1-ω2-i γ) m s ⎝ ⎭2
(2-59)