中考数学专题:阴影图形面积经典例题解析

中考数学专题：阴影图形面积经典题解析

1. 如图，在半径为2 cm 的⊙O 中，点C 、点D 是AB 的三等分点，点E 是直径AB 的延长线上一点，连接CE 、DE ，则图中阴影部分的面积是( )

2π2π2πA. 222

3 cm B. 3 cm C. 33 cm D. 33 cm 2

︵

1. 【解】如图，连接OC 、OD 、CD ，∵点C 、点D 是AB 的三等分点， ∴∠DOB ＝∠COD ＝60°，又∵CO ＝OD ，∴CO ＝OD ＝CD ， ∴∠DOB ＝∠CDO ＝60°，∴CD ∥AB ，∴S △CED ＝S △COD ，

60π×222π

∴S 阴影＝S 扇形COD ＝3603cm 2.

2. 如图，正方形ABCD 的面积为12，点M 是AB 的中点，连接AC 、DM 、CM ，则图中阴影部分的面积是( ) A. 6 B. 4.8 C. 4 D. 3

2. 【解】如图，设DM 与AC 交于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，

AM 1

∴AM ∥CD ，AB ＝CD ，∴△AME ∽△CDE ，∵点M 是AB 的中点，∴CD ＝2， AE EM AM 11

∴CE ＝DE CD 2S 正方形ABCD ＝12，∴S △ABC 2正方形ABCD ＝6，

112

∴S △ACM ＝2S △ABC ＝3，∴S △AEM ＝3△ACM ＝1，S △CEM ＝3△ACM ＝2， ∴S △AED ＝2S △AEM ＝2，∴S 阴影＝S △CEM ＋S △AED ＝2＋2＝4，故选C. 3. 如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA ，ED 长为半径画AF 和DF ，连接AD ，则图中阴影部分面

5

积是( ) A. π B. C. 3＋π D. 8－π

4

︵

︵︵

3. 【解】如图，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，

∵∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，∴AB ＝OA ＋OB ＝13， 由旋转的性质知，OF ＝OA ＝3，OE ＝OB ＝2，DE ＝EF ＝AB ＝13， ∴AE ＝OA ＋OE ＝5，易证△DHE ≌△BOA ，∴DH ＝OB ＝2， ∴S 阴影＝S △ADE ＋S △EOF ＋S 扇形AOF －S 扇形

DEF

90π×OA 290π×DE 211

＝2AE ·DH ＋2OE ·OF ＋－

36036090×π×3290×π13）211

＝2×5×2＋2×2×3＋

360360＝8－π. 故选D

4. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝4，AB ⊥AC ，O 是对角线的交点，若

⊙O 过A 、C 两点，则图中阴影部分的面积之和为________．

4. 【解】如图，设BD 与⊙O 交于点E 和F 两点．

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，

∵⊙O 过A ，C 两点，∴扇形AOE 与扇形FOC 关于点O 成中心对称， ∴S 扇形AOE ＝S 扇形FOC ，

1111

∴S 阴影＝S △AOB ＝22·AB ＝224×4＝4.

5. 如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上，若AB ＝BC ， CD ＝DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为________．

5. 【解】如图，连接OC ，在半圆O 中，AB ＝BC ，CD ＝DE ， ∴AB ＝BC ，CD ＝DE ，∴∠AOB ＝∠BOC ，∠COD ＝∠DOE ，

2

1111π

×2

∴S 阴影＝S 扇形OAB ＋S 扇形ODE ＝2S 扇形AOC 2扇形COE ＝2半圆AOE ＝22＝π， ∴阴影部分的面积为π.

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6. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝23，则图中阴影部分的面积为________．

6. 【解】∵MC ＝6，NC ＝23，∠C ＝90°，∴S △CMN ＝63，由折叠性质得△CMN ≌△DMN ，∴△CMN 与△DMN 对应高相等，∵MN ∥AB ， ∴△CMN ∽△CAB 且相似比为1∶2，∴两者的面积比为1∶4，

从而得S △CMN ∶S 四边形MABN ＝1∶3，∴S 阴影＝S 四边形MABN ＝3.

7. 如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2， 圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________．

7. 【解】:连接BD ，设BE 交 AD 于点G ，BF 交CD 于点H ， ∵在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，∴BD ＝BC ＝2， 由题意知扇形圆心角为60°，∴∠DBG ＝∠CBH ，∠GDB ＝∠C ， ∴△DGB ≌△CHB ，

60×π×2212π

∴S 阴影＝S 扇形EBF － S △DBC ＝－×2×3＝3.

36023

8. 如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝16 cm2，S △BQC ＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为________cm2.

8. 【解】:连接EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ， 同理，S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ， ∵S △APD ＝16 cm2，S △BQC ＝25 cm2，

∴S 阴影＝S △EFP ＋S △EFQ ＝16＋25＝41 cm2.

9. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB 1E ，则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积是________．

9. 【解】:设CD 与AB 1交于点O ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝BE 2，由折叠性质得△ABB 1为等腰直角三角 1

∴S △ABB1＝2BA ·AB 1＝2，S △AB1E ＝1，CB 1＝2BE －BC ＝

2－2，

∵AB ∥CD ，∴∠OCB 1＝∠B ＝45°，又∵∠B 1＝∠B ＝45°，∴CO ＝OB 1＝2－

1

2，∴S △COB 1＝2CO ·OB 1＝3－22， ∴S 重叠＝S △AB1E －S △COB 1＝1－(3－22) ＝22－2.

10．已知：AB 是⊙O 的直径，直线CP 切⊙O 于点C ，过点B 作BD ⊥CP 于D ． （1）求证：△ACB ∽△CDB ；

（2）若⊙O 的半径为1，∠B CP=30°，求图中阴影部分的面积．

10解答：（1）证明：∵直线CP 是⊙O 的切线， ∴∠BCD=∠BAC ， ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， 又∵BD ⊥CP ∴∠CDB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90° ∴△ACB ∽△CDB ；

（2）解：如图，连接OC ，

∵直线CP 是⊙O 的切线，∠BCP=30°， ∴∠COB=2∠BCP=60°， ∴△OCB 是正三角形， ∵⊙O 的半径为1， ∴S △OCB =

，S 扇形OCB =

=π，

．

∴阴影部分的面积=S扇形OCB ﹣S △OCB =π﹣

11．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过C 点作CA ∥BD 交OD 的延长线于点A ，连接BC ，∠B=∠A=30°，

BD=2． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）求由线段AC 、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

11. 解答：（1）证明：连接OC ，交BD 于E ， ∵∠B=30°，∠

B=∠COD ， ∴∠COD=60°， ∵∠A=30°， ∴∠OCA=90°， 即OC ⊥AC ，

∴AC 是⊙O 的切线；

（2）解：∵AC ∥BD ，∠OCA=90°， ∴∠OED=∠OCA=90°，