C数列数列的概念
设fx是定义在D上的函数,若对D中的任意两数x1,x2(x1x2),恒有
2121fx1x2fx1fx2,则称fx为定义在D上的C函数. 3333
(Ⅰ)试判断函数fxx2是否为定义域上的C函数,并说明理由;
(Ⅱ)若函数fx是R上的奇函数,试证明fx不是R上的C函数;
(Ⅲ)设fx是定义在D上的函数,若对任何实数0,1以及D中的任意两数恒有fx11x2fx11fx2,则称fx为定义在D上的Cx1,x2,
函数. 已知fx是R上的C函数,m是给定的正整数,设anfn,n0,1,2,,m,且a00,am2m,记Sfa1a2am. 对于满足条件的任意函数fx,试求Sf的最大值.
答案:
(Ⅰ) fxx是C函数, 2
证明如下:
对任意实数x1,x2(x1x2)及0,1, 有f2121x1x2fx1fx2 3333
22121x1x2x12x22 3333
22x1x20. 9
即f2121x1x2fx1fx2. 3333
∴fxx2是C函数.
(Ⅱ)假设fx是R上的C函数,取x11,x21,. 则有f(11
3212(1))f(1)f(1). 333
fx是奇函数,
∴f(1)f(1),f()f(). ∴f()13131
31f(1). (#) 3
1
31f(1). 3同理,取x11,x21,可证f()
与(#)式矛盾.
∴fx不是R上的C函数.
(Ⅲ)对任意0nm,取x1m,x20,n0,1. m
fx是R上的C函数, anfn,且a00,am2m
∴anfnfx11x2fx11fx2
那么Sfa1a2am212mmm. 2n2m2n. m
可证fx2x是C函数,且使得an2n(n=0,1,2,,m)都成立,此时Sfm2m. 综上所述,Sf的最大值为m2m.
来源:09年北京海淀月考一
题型:解答题,难度:较难
定义在R上的函数,对任意实数,都有fx3fx3和fx2fx2,且f12,记anfnnN*,则a2008______.
答案:
2009
来源:09年广东月考一 题型:填空题,难度:较难