平均不等式及其应用推广的研究
平均不等式及其应用推广的研究
数学专业学年论文
摘要
各种各类的平均值在我们生活之中的运用到处可见，本文主要介绍了几种常用的平均值的意义及应用，还有对平均值不等式以及与其相关的重要不等式的证明和推广作讨论，最后通过例题证明了解平均不等式的综合运用。
关键词 平均值 平均值不等式
Abstrat
All kinds of average value are used in our lives. This paper mainly introduces the meanings and applications of several common mean value, and discuss the promotion and extension about The Mean Value Inequality and its related important inequalities. Finally it lets us know the comprehensive use of average inequality through some examples.
Key words：Mean Value Inequality
目 录
1引言 ................................................................................................................................... 1 2几种常用的平均值 ........................................................................................................... 2 2.1算术平均值 ............................................................................................................... 2 2.2几何平均值 ............................................................................................................... 2 2.3调和平均值 ............................................................................................................... 4 2.4平方平均值 ............................................................................................................... 5 2.5对数平均与加权平均值 ........................................................................................... 6 3平均值不等式的介绍 ....................................................................................................... 8 3.1平均值不等式一般定理 ........................................................................................... 8 3.2平均值不等式一般表达式的证明 ........................................................................... 8 3.3加权平均不等式及其推广 ..................................................................................... 10 4. 与平均值不等式相关的几个重要结论 ........................................................................ 12 4.1柯西不等式 ............................................................................................................. 12 4.2切比雪夫不等式 ..................................................................................................... 13 4.3函数的凹凸性与Jensen 不等式 .......................................................................... 14 5平均不等式的综合运用 ................................................................................................. 15 5.1 Schur不等式 ......................................................................................................... 15 5.2 内斯比特不等式 .................................................................................................... 16 5.3外森比克不等式与佩多不等式 ............................................................................. 16
[10]
5.4加权平均不等式的应用 ..................................................................................... 16 6 总结 ................................................................................................................................ 18 参考文献 ............................................................................................................................ 18
1引言
平均的概念在日常生活和生产实际中是经常遇到的，而平均值却有很多种类，其中包括常用的有算术平均值、几何平均值、调和平均值等，本文开篇将对常用的几个平均值作较详细的介绍，结合其定义域实际应用来探讨。另外，这些平均值中又存在着不等关系，常常在不等式的证明中, 经常要用到一些重要不等式, 平均值不等式就是其中一个。
平均值不等式是数学中最重要的基本不等式之一, 也是人们最为熟悉的不等式。因此, 它在数学的很多领域中都有着广泛的应用。本文对其进行全面的介绍和证明，并且列举了几个与其相关的重要不等式，通过利用平均值不等式的知识对这些定理进行辅助证明。
最后本文还列举了几个代表性的新颖的例子，通过证明充分了解平均值不等式与其推广公式的综合应用。
2几种常用的平均值
平均值根据不同的利用或物理化学意义，会有不同的类型，它的分类一般包括有算术平均值，几何平均值，平方平均值（均方根平均值，rms ），加权平均值等。接下来，讲简单介绍几种典型的平均值的求法，及其物理意义或实际应用。
2.1算术平均值
算术平均值是最常用的平均值，通常用于计算一系列测量值的算术平均以代表平均水平。
...... 、a n 为各次测量值，n 代表测了次数，则算术平均定义1：设a 1、a 2、
值为
A (n ) =
a 1+a 2+ +a n
n
应用：最为常见的就是班级平均分的求算，平均年龄等等，日常生活中处处可见。
2.2几何平均值
几何平均值是一个比较特殊的平均值，生活中它的使用具有很大的实际意义。它适合于计算指数型增长的数列的平均值，即在对数意义上可加的数列的平均值，如金融资产的的复利增长，人口增长等。
通常我们看到的人口增长率，金融资产复利增长等，这些增长率的平均值是否还可以使用算术平均值来代表呢？这时候几何平均值，它代表的结果是不一样的。算术平均值是历史增长率的中值，而几何平均值则考虑
了复利计算的影响。显然后者更加准确地反映了历史盈利的真实增长，尤其是当每个增长是无规律的时候。
定义2：对于一个正数数列，a 1、a 2、...... 、a n , 其几何平均值就是把这个数列乘起来，再开 N 次方，即 G (n ) =n 于算术平均值。
应用：
1、当预测某一对象逐期发展速度（环比速度）大致接近时，可采用几何平均法进行预测。以第 n 期的观察值X n 乘以预测期的发展速度
v =
n a 1a 2 a n
，且知道几何平均值不大
v 2v 3...... v n
（观察期内预测对象的逐期环比发展速度v i ）就可以得到第
=X n ∙v 。（根据实际情况，几何平均值还需加权调
n+1 期的预测值：X n +1
整，所以一般会用加权几何平均值代替简单几何平均值来进行预测）。
2、几何平均值在灰色预测[1]里面还可以代替传统的累加生成法，提高预测的精度。其实它的原理就是在坐标轴上的几何图形，几何平均值的面积的误差比累加生成法的更少。
即假设有一原始序列x (0)
生成数据序列为：x (1)
x =(a
(1)
=(a
(1)
(0)
(1), a
(0)
(2), , a (n ))
(0)
(n )) ，且为增数列；累加
(1), a
k
(2), , a
(1)
。其中：
(1)
(k ) =
∑x
i =1
(0)
(i ) (k =1, 2, , n )
（1）
(1)
n
然后用
x
(1)
(n )
S =
近似累加值
⎰x
1
(0)
(k ) dk +x
(1)
，用几何平均生成法来近
似与之进行对比，作几何平均生成序列
x
(2)
=(a
(2)
(1), a
(2)
(2), , a
(2)
(n ))
k -1
其中：
x
(2)
(k ) =x
(0)
(1) +
∑
i =1
x
(0)
(i ) ∙x
(0)
(i +1)
(k =1, 2, , n ) （2）
对比（1）（2）式与S 近似，显然是（2）更精确。
2.3调和平均值
定义3：设a 1, a 2, , a n 是n 个正数，令H (n ) =
n
1a 1
+1a 2
+ +
1a n
，则H (n ) 一
般称为调和平均值，调和平均值具有很强的实际意义。
应用：表示平均速度 设一个蚂蚁沿着一正四面体的一个面走一圈（见下图），蚂蚁甲从A 点出发，以A →B →C 的顺序走了一圈，其中已知AB=BC=CA=l，其中由于跋涉路径的难易程度，蚂蚁在不同的边上爬行的速度也不一样，在边AB 上的速度为V 1、BC 边上为V 2、CA 边上为V 3。问：蚂蚁走完一圈的平均速度？
此时不可以再用简单的算术平均值代替之，即V 准确的答案。
=(V 1+V 2+V 3) /3是不
合理的求法应该是这样的，用总路程除以总时间，总路程是3l ，总时间是
l V 1
+l V 2
+l V 3
，所以平均速度应该是这样的
V =
l V 1
+
3l l V 2
+
l V 3
⇒
1V
=
1
3V 1
(
1
+
1V 2
+
1V 3
) ，即平均速度的倒数等于总路程中各个速度倒数和的平
均值，成为调和平均速度。
另外，常见的调和平均值还有溶液的平均浓度，并联等效电阻（常见如：
1R =1R 1
+1R 2
）。可见调和平均值的广泛应用性，涉及了物理化学等众多
领域。
2.4平方平均值
定义4：设
a 1, a 2, , a n
是n 个正数，令Q (n ) =
a 1+a 2+ +a n
n
222
，则Q (n ) 一
般称为平方平均值。
应用：平方平均值的直接使用比较少，不过我们熟悉的标准差（也称
n
标准偏差），D
∑(X
=
i =1
i
-X )
2
n
就是一种平方平均值，标准差能反映一个数
据集的离散程度，平均数相同，标准差未必相同。
另外，在数学建模上经常遇到的误差检验里面，有一个叫均方根误差（root-mian-square error）亦称标准误差，其定义为σ
=
∑d ，其中
n =
2
i
i=1、2、„、n 。在有限测量此书中，均方根误差常用以下式表示σ
∑d ，
i
n -1
式子当中n 为测量次数，di 为一组测量值与平均值的偏差。如果误差统计
分布是正态分布，那么随机误差落在正负σ以内的概率为68%[2]。
2.5对数平均与加权平均值
2.5.1对数平均值表达式如下：
x 对数=
x 1-x 2ln x 1-ln x 2
=x 1-x 2ln x 1x 2
应用于推广：
对数平均值的研究有很多，它主要应用于工程计算方面的为多。其中，E.H. 施宾曾建议采用以下近似公式来进行对数平均值的计算：
x 对数=
x 1-x 2ln x 1x 2
≈
1⎛x 1+x 2⎫
+2x 1x 2⎪
3⎝2⎭
或
x 对数=
x -1ln x
≈
1⎛x +1⎫
+2x ⎪
3⎝2⎭
实践证明，采用上式当x=20时误差仅在2%左右[3]。根据计算方法的插值计算，其实很容易验证，另外上面施宾的近似公式很容易用matlab 软件实现并验算，下面给出一个简单的matlab 图: 容易列出误差表达式：ε误差用matlab 编译如下：
g='(((x+1)/2+2*sqrt(x))/3-(x-1)/log(x))/((x-1)/log(x))';
ezplot(g,[0,30])
⎛1⎛x +1⎫x -1⎫x -1= +2x ⎪ ⎪- ⎪/
⎭ln x ⎭ln x ⎝3⎝2
运行结果如下图
由上图可见，除了在接近零的地方出现异常，误差一直到30都保持在3.5%一下，而且一般实际的工程计算，x=30的情况较少，实际用度高。 2.5.2加权平均值简易表达式如下：
x 加权=
w 1x 1+w 2x 2+ +w n x n
w 1+w 2+ +w n
=
∑w x
∑w
i
i i
...... 、x n ，其中w 1、w 2、...... 、w n 为各个相对应数据的权重。 数据列为x 1、x 2、
应用推广：
加权平均值比一般平均值在实际生产生活中应用更加广泛，举个金融数学的马考勒久期（Macaulay duration）。马考勒久期就是指未来现金流到期时间的加权平均值，权数为每个现金流的现值在总现值中所占的比率，其定义式如下：
∑tR
MacD =
t >0t >0
t
e
-δt
∑tR
=
t >0
t
(1+P
y m
-mt
)
∑R e
t
-δt
式中t 时间，P 是未来付款的总现值（也就是资产的价格），R t 现金流，y 是年复利m 次的年名义收益率[4]。这里的序列是t(t>0),而权重就是
P t =R t e
-δt
，所以是一个加权平均值。
3平均值不等式的介绍
3.1平均值不等式一般定理
定理1 设a 1, a 2, , a n 是n 个正数，令
H (n ) =
n
1a 1
+1a 2
+ +
1a n
（调和平均值）， G (n ) =a 1a 2 a n
（几何平均值），
A (n ) =
a 1+a 2+ +a n
n
Q (n ) =，
a 1+a 2+ +a n
n
222
，
则有 H (n ) ≤G (n ) ≤的充要条件是a 1
这些不等式又统称为均值不等式. 等号成立A (n ) ≤Q (n ) ，
.
=a 2= =a n
3.2平均值不等式一般表达式的证明
（I ）首先证明不等式 G (n ) ≤
A (n ) 。证明这个等式，有好多有趣的方法，一
般最常用的是归纳法，这里通过构造解条件值问题，然后利用拉格朗日乘数法求解证得不等式。
首先，我们记定数a =∑a i (约束条件) （*）
i =1n
我们来证明n 维空间边长分别为a i （i=1,2,„,n ）的长方体值体积
V =f (a 1, a 2, , a n ) =a 1a 2 a n
（目标函数）
当且仅当a 1=a 2= =a n 时有最大值
V max
⎛ n
⎛a ⎫
= ⎪=
⎝n ⎭
⎝⎫a ∑i ⎪i =1⎪
n ⎪
⎪⎭
n
n
从而在一般情况下，有
⎛n
∑a i
a i ≤ i =1
n ⎝
⎫⎪⎪
⎪（2） ⎪⎭
n
n
0≤
∏
i =1
现在用Lagrange 乘数法证，首先设
n
L =a 1a 2 a n +λ(∑a i -a ) (称：“lagrange 函数”)
i =1
则 L a i =
'
∏a
i ≠j
j
+λ=0
(i=1, 2 , , n )
（i ）
将式（i ）乘以a i 相加，即（注意式（*））
n
n ∏a j +λa =0
j =1
n
，故当且仅当a i 相等
由此得λ
=-
a ，代回（i ）式得a ∏a
j
j =1
n
i
=
a n
(i =1, 2, , n )
时体积最大[5]。
由（2）式可得G (n ) ≤（II ）有上述证明G (n ) ≤
1H (n )
A (n ) 。
A (n ) 可得
1=a 1
+
1a 2
+ +n
1a n
≥
11
a 1a 2
1a n
=
1G (n )
∴
1H (n )
≥
1G (n )
⇔H (n ) ≤G (n )
而A (n ) ≤Q (n ) 显然成立。（比较易证，这里就不加以讨论） 所以有平均值不等式：H (n ) ≤G (n ) ≤
A (n ) ≤Q (n )
3.3加权平均不等式及其推广
3.3.1加权平均不等式：
一般的表述形式是，首先设a i 、w i
n
>0(i =1, 2, , n )
，且∑w i
i =1
n
=1 。则有
∑
i =1
w i a i ≥
∏
i =1
a i
w i
，
当且仅当a 1=a 2= =a n 时等号成立。
a
1-a
例1 设a 、b 、c>0，且a+b+c=1.求证：亚数学奥林匹克）[6]
分析：只要注意到证。证明略。
3.3.2加权平均不等式的推广[7]
1-a 2
+1-b 2
+1-c 2
b
1-b
c
1-c
≤
13
。（2008，澳大利
=1，结合加权平均值不等式容易得
加权平均不等式还可以推广到函数积分的方面，下面介绍几个定理，但由于实际应用比较少，所以只做简单介绍和证明。 定理1 设a i ，w i ∈R
+
(i =1, 2, , n ) ，∑w i =1，则
i =1
n
n
∞
∏
i =1
a
w i
i
≤
⎰
1
⎛ ⎝
n
∑
i =1
1
w i a i x
2
x
⎫⎪⎭
x
n
≤
∑
i =1
w i a i
当且仅当a 1=a 2= =a n 时等号成立。
（证明略）
定理2 设a i ，w i ∈R 则 ∏
i =1n
+
(i =1, 2, , n ) ，∑w i =1，函数F (x ) =
i =1
n n
∏(x +a
i =1
i
)
w i
，（x ≥0）
时
n
a
w i
i
≤F (x ) -x ≤
∑
i =1
w i a i
，当且仅当a 1
=a 2= =a n
等号成立。下面对定理2进行证明： 根据题意容易得F (0) =∏a i w , 对F(x)求导得
i
n
i =1
n
F (x ) =F (x ) ∑w i (x +a i )
i =1
n
‘-1
（x ≠0）
时成立） （*）
⇒F (x ) ≥F (x ) ∏((x +a i ) -1)
i =1
'
w i
=1 （等号当且仅当a 1=a 2= =a n
（由加权平均不等式易证） 接着由拉格朗日中值定理，可得 结合（*）式可得
F (0) ≤F (x ) -x
F (x ) -F (0) ≥x
F (x ) -F (0) =F (ξ) ∙x
'
（x>0 ，ξ∈(0, x ) ）
，即
=a 2= =a n
n
（等号当且仅当a 1
n
n
w i
时成立） （1）
i
另外，F (x ) =∏(x +a i )
i =1n
≤
∑w
i =1
i
(x +a i ) =
∑w a
i
i =1
+x
时成立） （2）
∴F (x ) -x ≤
∑w a （等号当且仅当a
i
i
i =1
1
=a 2= =a n
综上（1）、（2）得证。
a i ，w i ∈R 例2 用上述定理2证明下面定理：设P ，
n
+
(i =1, 2, , n ) ，∑w i =1
i =1
则
n
∏
i =1
a
w i
i
⎧⎪≤⎨P
⎪⎩
⎰
∞
⎡n
⎢∏⎣i =1
(x
+a i
)
w i
⎤⎥⎦
-p -1
⎫⎪dx ⎬
⎪⎭
-
1p
n
≤
∑
i =1
w i a i
等号当且仅当a 1
=a 2= =a n
时成立。
分析：根据定理2令F (x ) =∏(x +a i ) w 容易得到
i
n
i =1
⎡n ⎤
wa +x ⎢∑⎥⎣i =1⎦
-p -1
≤F (x )
-p -1
⎡n w i ⎤
≤⎢∏a +x ⎥⎣i =1⎦
-p -1
，接着对不等式各项在区间（0，+∞）
上积分，移项整理得定理2。证略。
4. 与平均值不等式相关的几个重要结论
4.1柯西不等式
柯西不等式应该是我最早接触的不等式定理之一，在初中高中的数学竞赛里面，经常会遇到与它相关的不等式证明，下面就对此作简单介绍并给出高等代数的二次型法证明。
，a n 和b 1，b 2， ，b n ，有 定理3（柯西不等式）对任意实数a 1，a 2，
n
2
n
(∑a i b i ) ≤(∑a i )(∑b i )
i =1
i =1
i =1
2
n
2
，
等号成立的条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得对于i =1, 2, , n , 有
λa i =μb i ，即a 1，a 2， ，a n 与b 1，b 2， ，b n 对应成比例。
证明：（证明有很多方法，这里采用高等代数的正定二次型） 由∑(a i x +b i y ) 2设
=(∑a i ) x +2(∑a i b i ) xy +(∑b i ) y ≥0
2
2
2
2
2
2
2
2
f (x , y ) =(∑a i ) x +2(∑a i b i ) xy +(∑b i ) y
，则f (x , y ) 是一个实二次型，且对
于任意一组不全为零的实数c 1、c 2，都有f (c 1, c 2) ≥0即关于x 、y 的二次型半正定[8]（非负定），所以有
∑∑
n i =1
a i
2
a i b i
n
2
∑a b ∑b
i 2i 2
n
i =1
i =1
i
≥0
，
即得： (∑a i b i )
≤(∑a i )(∑b i )
2
容易证，当存在实数λ和μ，使得对于i =1, 2, , n , 有λa i 成立。得证。 分析联系：
如果我们令
n
2
n
2
=μb i
时，等号必然
b i =1
n
（
1n
i =12, , n
n
），柯西不等式就可以化为
(∑a i ) ≤n (∑a i ) ⇒(∑a i ) ≤
i =1
i =1
i =1
(∑a i )
i =1
2
，而这个就是平均不等式之一。所以
可以得出：柯西不等式其实就是算术平均平方平均不等式（A (n ) ≤Q (n ) ）的推广。
4.2切比雪夫不等式
定理4 （切比雪夫不等式）设a 1, a 2, , a n 与b 1, b 2, , b n 是两组实数，且
a 1≤a 2≤ ≤a n ，b 1≤b 2≤ ≤b n ，则
1n
n
∑a b
i
i =1
i
≥(
1n
n
∑a
i =1
i
)(
1n
n
∑b
i =1
i
) ≥
1n
n
∑a b
i
i =1
n +1-i
等号成立的充要条件是a 1证明：
根据柯西不等式(∑a i b i )
i =1n
2
=a 2= =a n
或b 1=b 2= =b n 。
≤(∑a i )(∑b i ) ，容易证
2
2
i =1
i =1
n
i
n n
(
1
n
i
a ∑n
i =1
)(
1
b ∑n
i =1
) ≤
1
n
i i
a b ∑n
i =1
（1）
另外，用排序不等式易证∑a i b n +1-i
n
i =1
1
n
≤(
1
n
i
a ∑n
i =1
)(
1
n
i
b ∑n
i =1
) （2）
综合（1）、（2）定理4得证。
4.3函数的凹凸性与Jensen 不等式
（1）函数的凹凸性
定义 设函数f (x ) 在区间I 上定义，若对I 中的任意两点x 1和x 2，和任意λ∈(0, 1) ，都有f (λx 1+(1-λ) x 2) ≤λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) ，则称f (x ) 是I 上的下凸函数。若不等号严格成立，则称f (x ) 在I 上是严格下凸函数。（类似可以给出上凸函数和严格上凸函数的定义）[9] 。 （2）Jensen 不等式
琴生（Jensen ）不等式（也称为詹森不等式）：若 f (x ) 为区间I 上的下凸（上凸）函数，则对于任意x i ∈I 和满足∑λi
i =1n
=1的λi >0(i =1, 2, , n ) ，
成立
n n
f (∑λi x i ) ≤
i =1
∑λ
i =1i
i
f (x i ) （f (∑λi x i ) ≥
i =1
n n
∑λ
i =1
i
。 f (x i ) ）
特别地，取λ
f (1n
n
=
n
1n
(i =1, 2, , n ) ，就有
∑λ
i =1
i
x i ) ≤
1n
∑
i =1
f (x i ) （f (
1n
n
∑λ
i =1
i
x i ) ≥
1n
n
∑λ
i =1
i
。 f (x i ) ）
[9]
上述式子等号当且仅当x 1
分析联系：
=x 2= =x n 时成立
。
x 1+x 2+ +x n
n
∴n x 1x 2 x n ≤
得证。
5平均不等式的综合运用
5.1 Schur不等式
例3 （Schur 不等式）设a
n
n
n
jk
≥0 ，x k ≥0
，∑a jk
j =1
n n
=
∑a
k =1
jk
=1 ，则有
∏
k =1
x k ≤
∏
k
(∑a jk x k ) 。等号当且仅当x 1=x 2= =x n 时成立
j =1
[10]
。
+ +w n =1。
分析：只要注意到，x k
=x k
w 1+w 2+ +w n
=x
w 1
x
w 2
x
w n
，其中w 1+w 2
则可以用加权平均不等式求证。 证明：由加权平均不等式可以得x k （其中a
j 1
=x k
a j 1+a j 2+ +a jn
n
=
∏x
i =1
a ji k
n
≤
∑a
i =1
ji
x k
+a j 2+ +a jn =1。）
又因为a
jk
≥0 ，x k ≥0 ，∑a jk =
j =1
n n
∑a
k =1
jk
=1
所以x 1x 2 x n
n n n
≤(∑a ji x 1)(∑a ji x 2) (∑a ji x n ) ⇔
i =1
i =1
i =1
∏
k =1
n n n
jk
x k ≤
∏(∑a
k
j =1
x k )
不等式得证。
5.2 内斯比特不等式
例子4 内斯比特不等式是一条比较简单的不等式，对于任何正数a 、b 、c ，都有：
a b +c
+
b a +c
+
c a +b
≥32
。
分析：利用调和平均不等式（H (n ) ≤G (n ) ）只需注意到
(a +b ) +(b +c ) +(c +a )
3
≥
3
1a +b
+
1b +c
+
1c +a
则容易得证。 证明（略）。
5.3外森比克不等式与佩多不等式
下面介绍一个几何里三角形的不等式，首先是外森比克不等式，另外一个是其推广的佩多不等式。
例5（外森比克不等式） 若a,b,c 为三角形三边长，S 是三角形面积, 则有不等a 2
+b +c
2
2
≥43S
成立。
例6 （佩多不等式） 若第一个三角形的边长为a 、b 、c, 面积为f ，第二个三角形的边长为A 、B 、C ，面积为F ，那么：
A (b +c -a ) +B (a +c -b ) +C (a +b -c ) ≥16Ff
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
, 等号成立当且仅当两
=b B =c C
个三角形为一对相似三角形，对应边成比例：
下证例6：
a A
。
由海伦公式可得
16f =(a +b +c )(a +b -c )(a -b +c )(-a +b +c ) =(a +b +c ) -2(a +b +c )
16F =(A +B +C )(A +B -C )(A -B +C )(-A +B +C ) =(A +B
2
2
222444
+C ) -2(A +B +C )
2444
由柯西不等式得
16fF +2a A +2b B +2c C
2
2
2
2
2
2
≤(16f
2
+2a +2b +2c ) F
2
2
2
2
2222
+2A +2B +2C
222
=(a 2于是有
+b +c )(A +B +C )
2
16fF ≤A (a +b +c ) -2a A +B (a +b +c ) -2b B +C (a +b +c ) -2c C
[***********]
=
A (b +c -a ) +B (a +c -b ) +C (a +b -c )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
其中，等号成立时当且仅当
a A
=
b B
=
c C
=
f F
（即两个三角形相似）。
5.4加权平均不等式的应用[10]
例7 设a i
>0
，b i
>0
，q i
q i i
n
>0
，i =1, 2, , n ，∑q i
i =1
n
n
=1，则成立
n
∏a
i =1
+
∏b
i =1
q i i
≤
∏(a
i =1
i
+b i )
q i
。
分析提示：结合加权平均不等式的定义，容易求证。 证明（略）。 推广与联系：
令q
i
=
1n
， i =1, 2, , n 则有一个很多书上都出现的不等式证明题目
n
a 1a 2 a n +
n
b 1b 2 b n ≤
n
(a 1+b )(a 2+b 2) (a n +b n )
6 总结
平均值不等式及其推广，还有大量著名不等式，在整个数学学习中都有重要地位，不管数学分析还是高等代数等等，每一个分支都有提及相关证明，显然是不可或缺。并且平均不等式运用广泛，在生活中有较高的实际用途。其中，必需注意的是，不等式等号成立的充要条件是什么，还有不等式的前提条件也很重要。
由平均值不等式及其推广和相关不等式的广泛应用可知，此不等式在数分高代及其后继课程里具有举足轻重的地位，应引起我们的足够重视。
参考文献
[1] 黄淑贞. 几何平均生成G （1,1）预测模型及其应用. 《集美航海学院学报》13（1）：63~68,1995 [2] 茆诗松. 程依明. 濮晓龙. 《概率论与数理统计教程》. 高等教育出版社 [3] 儒豪. 对数平均值的近似公式. 《数学通报》1962.11.10 第11期 [4] 孟生旺. 《金融数学》. 中国人民大学出版社.
[5] 裴礼文. 《数学分析中的典型问题与方法》(第二版). 高等教育出版社 [6] 张宏. 加权平均值不等式的应用. 《中等数学》. 2010年第 3期
[7] 刘小平. 与平均不等式有关的几个不等式. 《六盘水师范高等专科学校学报》1991年04期 [8] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 《高等代数》（第三版）. 高等教育出版社 [9] 陈纪修. 於崇华. 金路. 《数学分析》（第二版上）. 高等教育出版社
[10] 钱小燕. 刘浩. 数学分析中一些著名不等式和极限式的概率证法. 《山东轻工业学院学报》2003.3第15卷第1期