行列式的性质及应用论文范文

华 北 水 利 水 电 学 院

行列式的性质及应用

课 程 名 称： 线性代数 专 业 班 级： 成 员 组 成： 联 系 方 式：

2012年11月 05

日

摘要： 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的

应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。

关键词： 递推法 行列式 三角化法 公式法 数学归纳法

英文题目: Determinantal properties and application

Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat,on our learning will bring very useful help.

Key words: Recurrence method Determinant triangularization method formula method mathematical induction 正文：

1 引言: 问题的提出

在实践中存在许多解n元一次方程组的问题，如

a11x1a12x2b1①

axaxb2112222

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb1212222nn2② an1x1an2x2annxnbn

运用行列式可以解决如②的n元一次方程组的问题。 2

2.1排列定义1 由1.2……n组成的一个有序数组称为一个n级排列。n级排列的总数为

。 n(n1)(n2)21n!（n的阶乘个）

定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，

那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 2.2行列式

定义（设为n阶）：n阶行列式

a11a12a1n

a21a22a2n

(j1j2jn)

A(1)a1j1a2j2anjn

j1j2jn



an1an2ann

是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由n项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，(j1j2jn)表示排列 j1j2jn的逆序数。 2.3 n阶行列式具有的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等.（DTD）

b11b12b1n

事实上，若记DT

b21b22b2nbn1bn2bnn

则bijaji(i,j1,2,,n)

DT(1)(p1p2pn)b1p1b2p2bnpn(1)(p1p2pn)ap11ap22apnnD.

说明：行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行(rirj)或两列(cicj)，行列式变号.

123

例如

123086

086351. 351

推论 若行列式D有两行（列）完全相同，则D0. 证明: 互换相同的两行, 则有DD, 所以D0.

性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于数k乘以此行列式，即

a11

a12



a1n

a11a12a1n

ai2ain 

kai1kai2kainkai1an1an2ann

an1an2ann

推论：(1) D中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；

(2) D中某一行(列)所有元素为零，则D0；

性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．

性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即

a11ai1bi1an1

a12an2



a1nann

a11an1

a12a1nai2

an2ann

a11

a12a1nbi2

bin. 

ai2bi2ainbinai1ainbi1

an1an2ann

证: 由行列式定义

D(1)(p1p2pn)a1p1a2p2(aipibipi)anpn

(1)(p1p2pn)a1p1a2p2aipianpn(1)(p1p2pn)a1p1a2p2bipianpn.

性质6 行列式D的某一行（列）的各元素都乘以同一数k加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变(DD)，即

rikrj

a11ai1an1

a12ai2

a1n

rikrj

a11an1

a12an2



a1nann

an2ann

ainai1kaj1ai2kaj2ainkajn

计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 2.4行列式的计算

2.4.1数字型行列式的计算

1. 三角化法

abbbbabb

例1 计算n阶行列式　Db

bab. 







bbba

解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，

n列都加到第1列上，行列式不变，得

a(n1)ba(n1)bDa(n1)b

a(n1)b

babb

bbab



bb

1babb

bbab



bbb a

1

　[a(n1)b]b　1a

1



1bbb0

　[a(n1)b]　(ab)n1]. 0　

0ab0

a(n1)b　　00ab

0

0



ab

13

例2 计算行列式 D2

1305

2747

3921410

151. 62

34

410

解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

D

231

32114310541

1020

21012

30452

12132

1120112

34052

112 32

00

23

000

200

0202

1-12

42

0000

0 000

11231

43

204-103041

523

00102 0-10-2

01-1200010022-200026

20100

34010

11

212(1)(1)(6)12 ．06

-31

11

524

2000

2.

2．递推法

a1

例3 计算行列式D5

a1a1

a1a1

a1a1

a1a

之值。

解 把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式

1D5

a1a1

a1a1

a1a1

a1a

4

3

D4a(1)51a4

继续使用这个递推公式，有D4D3a D3D2a 而初始值D21aa，所以 D51aaaaa

2

2

3

4

5

axxxy

axx例4 计算 Dny

yax. y

y

y



a

解：

ayxxxyx0

axxy

aDn

0yax　　y

y0

y

yay

y00ax0　　(ay)Dn1yyxaxyx

yx

(ay)Dn1n1y(ax).

同理

Dn(ax)Dn1

n1x(ay)Dx(ay）n

y(ax)n

nxy

,(xy),

当xy时,

xxxxax

y

a0 00

ax

,

联立解得　

Dn(ax)Dn1x(ax)n1(ax)2Dn22x(ax)n1

(ax)n2D2(n2)x(ax)n1(ax)n1a(n1)x

3．数学归纳法

当Dn 与 Dn1 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。

x0

例5 计算行列式 D

1x0an2

010



00x

00. 1a1x

0an

an3a2

解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解

当n2时，D2假设nk时，有

xa2

1xa2

　x(xa1)a2　　x2a1xa2

Dkxka1xk1a2xk2ak1xak

则当nk1时，把Dk1按第一列展开，得

Dk1xDkak1x(xka1xk1a2xk2ak1xak)ak1

xk1a1xkak1x2akxak1

由此，对任意的正整数n，有

Dnxna1xn1an2x2an1xan

4．公式法

a

例6 计算行列式 A

badc

2

cdab

dcba

之值。

bcd

解 由于AA(abcd)E,故用行列式乘法公式，得

T222

AAATAAT(a2b2c2d2)4

4

因A中，a系数是+1，所以A(abcd)。

2

2

2

22

2

2.4.2行列式的概念与性质的例题

例7 已知a23a31aija64a56a15是6阶行列式中的一项，试确定i,j的值及此项所带的符号。 解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标2,3,i,6,5,1 应取自1至6的排列，故i4，同理可知j2。

直接计算行的逆序数与列的逆序数，有(2,3,4,6,5,1)(3,1,2,4,6,5)639。 亦知此项应带负号。

2.4.3抽象行列式的计算

例8 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为解 由A～B，知B的特征值是

1111

（ ）。 ,,,,则行列式B1E

2345

1111

,,,。那么B1的特征值是2，3，4，5.于是B1E的2345

1

特征值是1，2，3，4。有公式得，BE24。 2.4.4含参数行列式的计算

x3

例9 已知D

1x51

11x3

0，求x。

11

解 将第3行的-1倍加至第1行，有

x2D

11(x2)

1

0x51

2x1x32x4

1

(x2)1

1

0x51

11x3

1

(x2)1

1

0x51

02x4

x5

(x2)(x29x18)

所以x2,x3,x6。 2.4.5关于A0的证明

解题思路：

①设证法AA；

②反证法：如A0从A可逆找矛盾；

③构造齐次方程组Ax0，设法证明它有非零解； ④设法证矩阵的秩r(A)n； ⑤证明0是矩阵A的一个特征值。 2.4.6特殊行列式的解法

1 范德蒙行列式

1a1

定义：行列式da12

1a2

2a2

1a3

2a3

1

1an

2

称为n级的范德蒙行列式。 an

a1n1



n2

a2



1

x3(x31)之值。 2x3(x31)

n3n1

a3an

1

例10 计算行列式Ax1(x11)

x2(x21)

2

x2(x21)

x12(x11)

解 把1改写成xi(xi1)，第一行成为两数之和，A可拆成两个行列式之和，即

x1

Ax1(x11)

x12(x11)

x2x2(x21)

2

x2(x21)

x3

2

x3(x31)

(x11)x12(x11)

(x21)x2(x21)

2

x2(x21)

(x31)x3(x31)

2x3(x31)

x3(x31)x1(x11)

分别记这两个行列式为B和C，则由范德蒙行列式得，

1

Bx1x2x3x11

x12x11

x1x2x3x1

x12

3

1x21

2

x2x2

1x31

2

x3x3

1x2

2

x2

1

2x3

x3xi

i1

3

1ji3



(xixj)

C(xi1)

i1

1ji3

3

3



(xixj)

故A

1ji3

(xixj)xi(xi1)

i1

i1

2.4.7 拉普拉斯定理

设在行列式D中任意取定了k(1kn1)个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它

们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。

(其中：①k级子式：在一个n级行列式D中任意选定k行k列(kn)。位于这些行和列的交点上的k个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式。②余子式：在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的nk级行列式

2

M'称为k级子式M的余子式。③代数余子式：设D的k级子式M在D中所在的行、列指

'(i1i2ik)(j1j2jk)

标分别是i1,i2ik;j1,j2,jk.则M的余子式M前面加上符号(1)称为M的代数余子式)。

1

214例11 求行列式D

01211013。

1

31

解：在行列式D中取定第一、二行，得到六个子式：

M1214101,M21102,M301

,

M2

1

4

4

12

,M2

5

11

,M6

1421

它们对应的代数余子式为

A(12)(12)(1)(12)(13)M''

1(1)M''1M1,A22M2,A(1)(12)(14)M'2)(23)M''33M'3,A4(1)(14M4, A1)(12)(24)M'4)M''5(5M'5,A(12)(36(1)6M6

根据拉普拉斯定理

DM1A1M2A2M6A61

20113

31



1102

03

11

140101132113

12

01

2

4111114100321

01(1)(8)2(3)1(1)5163(7)186151877

3 结束语

后

老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘，严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。

感谢我的老师对我的关心、指导和教诲！

感谢我的学友和朋友对我的关心和帮助！

参考文献

[1] 孙亚飞 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数.高等教育出版社，1988，51-96。张贤科 许甫华.高等代数学.清华大学出版社，2000。

李正元 李永乐 袁荫棠.数学复习全书.国家行政学院出版社，2005，347-363。 高等数学[M].上海：高教出版社，2008:44-77.等。

[2]张 帅 高等数学[M].上海：高教出版社，2008:44-77.等。

[3]郎建强 高等数学[M].上海：高教出版社，2008:44-77.等。

[M]表示参考的是书

[J] 表示参考的是杂志上的论文

分工情况

第一部分由孙亚飞完成。

第二部分由张帅完成。

第三部分由郎建强完成。

注意事项

1. 完成时间

1-4周：数学教师搜集、整理、汇总创新实践题目；

5-6周：公布教师题目，学生酝酿、分组，并将选题和分组结果报送给授课教师； 7-14周：学生在教师的辅导下完成题目，形成论文或报告；

15-16周：教师对学生进行考核，评定实践成绩。

2.考核方式

学生必须提交一篇纸质的论文或报告，报告字数不能少于3000字。作为成绩评定的主要依据。有条件的可以安排学生进行分组演讲与答辩，演讲出色的学生可以适当提高其成绩。

教师根据学生论文的情况给分，此成绩占总成绩的70%，安排学生相互评分，相互评分的结果占总成绩的30％。

3.成绩评定

成绩评定由任课教师根据学生的完成情况和学生相互的打分情况以百分制的形式给出。工科各专业高等数学（二）的成绩构成为：期末考试卷面成绩占80％，实践环节成绩占15%，平时作业与考勤成绩5%。

发现实践报告抄袭重复率超过达50%，数学课程考核成绩直接判定为不及格。