我的定义新运算讲义
定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力,我们大家都习惯四则运算,定义新运算就打破了运算规则,要求我们要严格按照题目的规定做题.新定义的运算符号,常见的如
△、◎、※等等,这些特殊的运算符号,表示特定的意义,是人为设定的.解答这类题目的关键是理解新定义,严格按照新定义的式子代入数值,把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨
一 定义新运算
基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等.
如:2+3=5 2×3=6
都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.
二 定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型
【例 1】 若A*B表示A3BAB,求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A*B是这样结果这样计算出来:先计算A+3B的结果,再计算A+B的结果,最后两个结果求乘
积。
由 A*B=(A+3B)×(A+B) 可知: 5*7=(5+3×7)×(5+7) =(5+21)×12 = 26×12 = 312
【答案】312
【巩固】 定义新运算为a△b=(a+1)÷b,求的值。6△(3△4)
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 所求算式是两重运算,先计算括号,所得结果再计算。由a△b=(a+1)÷b得,3△4=(3+1)
÷4=4÷4=1;6△(3△4)=6△1=(6+1)÷1=7
【答案】7
【巩固】 设a△baa2b,那么,5△6______,(5△2) △3_____.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 5△6552613 5△25522,12△321216435 【答案】435
【巩固】 P、Q表示数,P*Q表示
PQ2372
,求3*(6*8)
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 3*(6*8)3*(
682
)3*7
5
【答案】5
【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,abab2,那么
4(68)(35).
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]4[13131]425425298 【答案】98
MN表示(MN)2,(20082010)2009____ 【巩固】
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2010年,第8届,走美杯,3年级,初赛 【解析】 原式200820102*20092009*20092009200922009
【答案】2009
【巩固】 规定运算“☆”为:若a>b,则a☆b=a+b;若a=b,则a☆b=a-b+1;若a
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年,希望杯,第七届,四年级,二试 【解析】 19 【答案】19
【例 2】 “△”是一种新运算,规定:a△b=a×c+b×d(其中c,d为常数),如5△7=5×c+7×d。如果1△
2=5,2△3=8,那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2006年,希望杯,第四届,六年级,二试 【解析】 1△2=1×c+2×d=5,2△3=2×c+3×d=8,
可得c=1,d=2 6△1000=6×c+1000×d=2006
【答案】2006
【巩固】 对于非零自然数a和b,规定符号的含义是:ab=
果14=23,那么34等于________。
mab2ab
(m是一个确定的整数)。如
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年,希望杯,第五届,六年级,二试 【解析】 根据14=23,得到【答案】
【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“△”:xy=
6xyx2y
m14214
m23223
,解出m=6。所以,34
634234
1112
。
1112
,求2△9。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】北京市 ,迎春杯 【解析】 根据定义xy=【答案】5
【巩固】 “*”表示一种运算符号,它的含义是:xy
21
121
1
2323
1xy
1
6xyx2y
于是有29
629229
5
25
25
x1yA
,已知
211A
1
,求19981999。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 根据题意得
211A
119981999
12
,
1
211A
1
16
,211A6,A1
,所以
20001998199819992000
19981999
3998
1
119981999
1998119991
119992000
【答案】
199819992000
1
1998000
1998000
【例 4】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:
([18][22])[7]= .
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为18232有(11)(21)6个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.
原式(64)25.
【答案】5
【巩固】 x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么
++××>的值是.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.为不超过的质数,共24个,易知=0,
所以,原式=+>===11.
【答案】11
【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】42
【例 5】 我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如:53=35=5,符号△表示选择两数
(0.6
15
中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3,计算:
(0.3
233499
)(0.625)(
116
2335
)
的结果是多少?
2.25)
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算
(0.6
15
【解析】1
3538241
1119312
(0.3)(2.25)
9963412
2334
)(0.625
23
)
2
531
【答案】
2
【巩固】 规定:符号“&”为选择两数中较大数的运算,“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式:[(7
◎3)& 5]×[ 5◎(3 & 7)]
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的,要先计算小括号里的,再计算中括号里的。
[(7◎6)& 5]×[ 5◎(3 & 9)]=[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]=6×5=30
【答案】30
【巩固】 我们规定:A○B表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数。则
10△86△511○13+15△20=【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年,第4届,走美杯,3年级,决赛
【解析】 根据题目要求计算如下:
【答案】56
【例 6】 如果规定a※b =13×a-b ÷8,那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2003年,第1届,希望杯,4年级,1试 【解析】 17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】218
【巩固】 若用G(a)表示自然数a的约数的个数,如:自然数6的约数有1、2、3、6,共4个,记作G
10△86○511○13+15△20=861315=228=56
(6)=4,则G(36)+G(42)= 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2003年,第1届,希望杯,4年级,1试 【解析】 36的约数有:1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有:1、2、3、6、7、14、21、42。所
G(42)9817。 以有G(36)【答案】17
【巩固】 如果a&bab10,那么2&5 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2004年,第2届,希望杯,4年级,1试
【解析】 2&5=2+5÷10=2.5 【答案】2.5
【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”,将“华杯赛”的编码取为
[1**********]8,如果这个编码从左起的奇数位的数码不变,偶数位的数码改变为关于9的补码,例如:0变9,1变8等,那么“华杯赛”新的编码是________.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年,第十二届,华杯赛,六年级,决赛 【解析】 偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8,它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1,所以“华杯赛”新的编码是:[1**********]1 【答案】[1**********]1
【例 8】 羊和狼在一起时,狼要吃掉羊.所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示:羊△羊=
羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼,以上运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算,用符号☆表示:羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼,这个运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法规是从左到右,括号内先算.运算的结果或是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第五届,华杯赛,复赛 【解析】 因为狼△狼=狼,所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何,最后一步羊△狼或者狼△
狼总等于狼,所以 原式=狼
【答案】狼
【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁,谁好像是有危险的,下面的规则同学们能看懂吗
规定:警察小偷警察,警察小偷小偷.
(猎人小兔)(山羊白菜) . 那么:
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年,学而思杯,4年级 【解析】 谁握着枪就留下谁,结果应该是 白菜 【答案】白菜
模块二、反解未知数型
【例 10】 如果a△b表示(a2)b,例如3△4(32)44,那么,当a△5=30时, a= .
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 依题意,得(a2)530,解得a8. 【答案】8
【巩固】 规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为4※1=342110,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9. 【答案】9
【巩固】 如果a⊙b表示3a2b,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由5x-25=5,解得x=6. 【答案】6
【巩固】 对于数a、b、c、d,规定,=2ab-c+d,已知=7,求x的值。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据新定义的算式,列出关于x的等式,解出x即可。 将1、3、5、x代入新定义的运算得:2×1×3
-5+x=1+x,又根据已知=7,故1+x=7,x=6。
【答案】6
【例 11】 定义新运算为ab
a1b
,⑴求2(34)的值;⑵若x41.35则x的值为多少?
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴因为34
⑵x4
x14
314
1,所以2(34)21
211
3
1.35,x141.355.4,x4.4,所以x的值为4.4.
【答案】⑴3 ⑵4.4
【巩固】 对于任意的两个自然数a和b,规定新运算:aba(a1)(a2)(ab1),其中a、b表示
自然数.如果(x3)23660,那么x等于几?
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 方法一:由题中所给定义可知,b为多少,则就有多少个乘数.36606061,即:6023660,
则x360;60345,即3360,所以x3. 方法二:可以先将(x3)看作一个整体y,那么就是y23660,y2y(y1)36606061,所以y60,那么也就有x360,60345,即3360,所以x3. 【答案】3
【例 12】 定义ab为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数,例如:
714=(7+9+11+13)4=10,1810=(18+16+14+12+10)5=14 .在算术(1999)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立,那么所填的数是多少?
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 1999=(19+99)2=59,所以方格中填的数一定大于80.如果填的是个奇数,那么只能是
80259101;如果填的是个偶数,那么这个数与80260100.因此所填的数可能是
60的平均数应该是80,所以只能是
100和101.
【答案】100和101
【巩固】 如有a#b新运算,a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如;2#7=1,8#3=2,9#16=7,21#2=1.如(21#(21#x))=5,则x可以是________(x小于50)
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】101中学,入学测试 【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的
方法.
第一步先把(21#x)看成一个整体y.对于21#y5,这个式子,一方面可把21作被除数,则y
等 于(21-5)16的大于5的约数,有两个解8与16;另一方面可把21作除数,
这样满足要求的数为26,47…,即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑,这些解都是由y所 代表的式子(21#x)运算得来,而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的,也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行,因此大于21的那些y的值都得舍去.现在只剩下8,与16.
第二步求:(21#x)8与(21#x)16.对于(21#x)8可分别解得,把21作被除数时:x13, 把21作除数时为:x29,50,…形如21N+8的整数(N是正整数).
对于(21#x)16 ,把21作被除数无解,21作除数时同理可得:x37,58……所有形如21N+16 这样的整数.(N是正整数). 所以符合条件的答案是13,29,37. 【答案】13,29,37.
【例 13】 已知x、y满足x[y]2009,{y}y20.09;其中[x]表示不大于x的最大整数,{x}表示x 的
小数部分,即{x}x[x],那么x 。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2008年,学而思杯,6年级,第3题 【解析】 根据题意,[y]是整数,所以x2009[y]也是整数,那么{x}x[x]0,由此可得
y20.09{x}20.09020.09,所以[y]20,x2009[y]2009201989。
【答案】1989
【例 14】 规定:A○B表示A、B中较大的数,A△B表示A、B中较小的数.若(A○5+B△3)×(B○5+
A△3)=96,且A、B均为大于0的自然数,A×B的所有取值为 .(8级)
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年,第4届,走美杯,6年级,决赛 【解析】 分类讨论,由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数,则对于A或者B有3
类不同的范围,A小于3,A大于等于3,小于5,A大于等于5。对于B也有类似,两者合起来
共有3×3=9种不同的组合,我们分别讨论。
1) 当A<3,B<3,则(5+B)×(5+A)=96=6×16=8×12,无解; 2) 当3≤A<5,B<3时,则有(5+B)×(5+3)=96,显然无解; 3) 当A≥5,B<3时,则有(A+B)×(5+3)=96,则A+B=12.
所以有A=10,B=2,此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。 4) 当A<3,3≤B<5,有(5+3)×(5+A)=96,无解; 5) 当3≤A<5,3≤B<5,有(5+3)×(5+3)=96,无解;
6) 当A≥5,3≤B<5,有(A+3)×(5+3)=27,则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种;
7) 当A<3,B≥5时,有(5+3)×(B+A)=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种; 8) 当3≤A<5,B≥5,有(5+3)×(B+3)=96。此时有B=9.不符;
9) 当A≥5,B≥5,有(A+3)×(B+3)=96=8×12。则A=5,B=9,乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27,36,45共五种
【答案】11,20,27,36,45
模块三、观察规律型
【例 15】 如果 1※2=1+11 2※3=2+22+222 3※4=3+33+333+333+3333
计算 (3※2)×5。
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过观察发现:a※b中的b表示加数的个数,每个加数数位上的数字都由a组成,都由一个数位,
依次增加到b个数位。(5※3)×5 =(5+55+555)×5=3075
【答案】3075
【巩固】 规定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415. 【答案】86415
【例 16】 有一个数学运算符号,使下列算式成立:
3351,1972,求573? 248,531,
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过对248,5313,3511,9725这几个算
式的观察,找到规律:
,因此
【答案】17
【巩固】 规定a△ba(a2)(a1)b, 计算:(2△1)(11△10)______. 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦,需要套用10次,然后再求和.但是我们注意到要求
的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-1,所以,我们不妨把b=a-1代入原定义.
a△ba(a2)(a1)b就变成了a△ba(a2)(a1)(a1)a2.所以2△122,3△
232,……,3△2112,则原式22+32+42+…+112这里需要补充一个公式:12223242n2
111223
6
n(n1)(2n1)
6
1505.
.
【答案】505
【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为Sn,为偶数的那些数字的和记为En,例如
S134134,E1344.
S1S2S(100) ;E(1)E(2)E100=
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年,第5届,走美杯,5年级,决赛 【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次,在十位出现10次,在百位出现1次,共21次。
数字2到9中的每一个在个位出现10次,在十位也出现10次,共20次。 所以,1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501; 所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】400
模块四、综合型题目
【例 18】 已知:10△3=14, 8△7=2,
58
34
△
14
1,根据这几个算式找规律,如果
△x=1,那么x= .
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年,第12届,华杯赛,五年级,决赛 【解析】 规律是 a△b=(a-b)×2, 所以
18
58
△x=
1
x21,即 x
885
【答案】
【例 19】 如果a、b、c是3个整数,则它们满足加法交换律和结合律,即
⑴abba;⑵(ab)ca(bc)。
现在规定一种运算"*",它对于整数 a、 b、c 、d 满足: (a,b)*(c,d)(acbd,acbd)。
例:(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13) 请你举例说明,"*"运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2003年,希望杯,第一届,四年级,二试 【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4-1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3-2×1)=(11,5) 所以“*”满足交换律
[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69)
所以“*”不满足结合律
【答案】 “*”满足交换律
“*”不满足结合律
【例 20】 用
a表示
a的小数部分,
a
表示不超过a的最大整数。例如:记
f(x)
x22x1
0.30.3,0.30;4.50.5,4.54
11
f,f;f1,f1的值。 33
,请计算
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2004年,希望杯,第二届,四年级,二试 【解析】 代入计算结果分别为:0.4,1,0,1 【答案】0.4,1,0,1
【例 21】 在计算机中,对于图中的数据(或运算)的读法规则是:先读第一分支圆圈中的,再读与它相连
的第二分支左边的圆圈中的,最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的,也就是说,对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如:图A表示:2+3, B表示2+3×2-1。图C中表示的
式子的运算结果是________ 。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2003年,希望杯,第一届,四年级,二试 【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2,原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2,第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2 【答案】2
64222222表示成f646;24333333表示成g2435. 【例 22】
试求下列的值: (1)f128
(2)f(16)g() (3)f()g(27)6;
(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:f(xy)f(x)f(y).
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)f(128)f277;
(2)f(16)f244g34g(81);
(3)因为6g(27)6g33633f23f(8),所以f(8)g(27)6;
(4)略
【答案】(1)7 (2)81 (3)8
(4) 令x2m,y2n,则f(x)m,f(y)n.
mn
2 f(xy)f2
f2
m
n
mnf()x
f()y.
【例 23】 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”,规定:x※y=axbycxy,其中的a,b,c表示已知数,等式
右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 由题设的等式x※y=axbycxy及x※m=x(m≠0),得 a0bmc0, 所以bm=0,又m≠0,m0
故b=0.因此x※y=ax-cxy. 由1※2=3,2※3=4,得
a2c32a6c4
解得a=5,c=1. 所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4. 【答案】4
【巩固】 x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m、n、k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m、n、k均为自然
数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
分析 我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根 据“△”的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后, l△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.
(1△2)*3=a*3,按“*”的定义: a*3=ma+3n,在只有求出m、n时,我们才能计算a*3的值.因此 要计算(1△2)* 3的值,我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值, 通过(2*3)△4=64求出 k的值. 因为1**2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数,所以解出:
m2m1m3
, 2(舍去)
n2n1n
3
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k 有32k=64,解出k=2. ②当m=3,n=1时: (2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k
有36k=64,解出k1,这与k 是自然数矛盾,因此m=3,n=1,k1这组值应舍去。
9
9
7
7
所以m=l,n=2,k=2. (1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3 =1×4+2×3=10.
【答案】10
【例 24】 对于任意的两个自然数a和b,规定新运算: aba(a1)(a2)(ab1),其中a、b表示自然数.⑴求1100的值;⑵已知x1075,求x为多少?⑶如果(x3)2121,
那么x等于几?
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴11001234(11001)5050
⑵x10x(x1)(x2)(x3)(x101)10x4575,解得x3
⑶方法一:由题中所给定义可知,b为多少,则就有多少个加数.1216061,即:602121,
则x360;60192021,即19360,所以x19. 方法二:可以先将(x3)看作一个整体y,那么就是y2121,y2y(y1)121,1216061
所以y60,那么也就有x360,60192021,即19360,所以x19.
【答案】19
【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. (8
级) (1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3; 由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x
(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.
方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
当y=7时,分两种情况解19☉x=7.
1) x
2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x
当y=14时,分两种情况解19☉x=14.
1) x
2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x
总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解, x=12,26,33,45.
【答案】(1)9;3;1 (2) x=3,9,13. (3) x=12,26,33,45.
【例 25】 设a,b是两个非零的数,定义a※ba
bb
a.
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).
(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1)按照定义有2※3
13413
[1**********]52332136,3※434432512.于是(2※3)※42522524136※[***********]14=.2※(3※4)=2※. 60012
a3
a32
a(2)由已知得a① 3
a2若a≥6,则≥2,从而33
745
312与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检1201600查知,只有a=3符合要求. 【答案】(1) (2※3)※4;2※(3※4).
(2) a=3
【巩固】 定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.
比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,
因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.
(2)略
(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为
6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的 倍数,可见 6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到3036x.
所以x15.
【答案】(1)81;10
(2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小
公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.
如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,
整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.
(3)x15
【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号,已知:2⊙3234;7⊙278:3⊙534567,……
按此规则,如果n⊙868,那么,n ____.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则:⊙表示几个连续自然数之和,⊙前面的数表示第一个加数,
⊙后面的数表示加数的个数,于是n(n1)n即(2)n(,
n5 (n3)n(4) .6
【答案】n5
【例 26】 国际统一书号ISBN由10个数字组成,前面9个数字分成3组,分别用来表示区域、出版社和
书名,最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如:
某书的书号是ISBN 7-107-17543-2,它的核检码的计算顺序是:
①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2=207;
②207÷11=18……9;
③11-9=2。这里的2就是该书号的核检码。
依照上面的顺序,求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2006年,希望杯,第四届,六年级,二试
【解析】 7×10+3×9+0× 8+3×7+0×6+7×5+6×4+1×3+8×2=196;
19611179;
1192。
所以该书号的核检码是2.
【答案】2
【例 27】 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发,沿着一段一段的横线、竖线爬行到B,图1
中的路线对应下面的算式:121221216.请在图2中用粗线画出对应于算式:
21222111的路线.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2003年,希望杯
【解析】 如图3所示,通过图1分析知道向上前进一格要加上1,向下前进一格要减1,向左前进一格要
减去2,向右前进一格要加上2.
【答案】