矩阵在线性方程组求解的应用
09-13
矩阵在线性方程组A X b 求解的应用
一、利用克拉默法则
1. 若含有n 个变量和n 个方程的线性方程组
的系数行列式D 不为零，则该方程组有且仅有惟一解x j =D j /D,j =1,2,...,n
.
局限性:
(1)Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组；
(2)Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解；
即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数行列式等于零，则Crammer 法则失效。
(3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。
2. 改进:
当系数矩阵A 行列式不为零时，逆矩阵存在, 此时X=A-1. b
二、Gauss 消元法
一般的n 元线性方程组
(或写成矩阵形式AX =B ) 解法是首先将其通过化为，这样方程组就等价于一个阶梯形的方程组，然后再把不处于每行中第一个非零系数的变元x j 挪到方程的右边，令它们为任意参数，则方程组就可以解出了．
定理. 设A 与
程组无解；若秩当分别是n 元线性方程组系数矩阵与增广矩阵．若秩，则方程组有解．当，则方时，方程组有惟一解；时，有无穷多个解，且通解一定含n―r个任意常数．
在Mathcad 中求解, 我们首先利用上述定理判断是否有解, 有解时调用rref 函数，计算出
rref(
说明: rref(M) 返回对矩阵M 的行施行初等变换后化简的矩阵
问题:
1. 求解线性方程组
) , 所得结果最右面的列就是该方程组的解
2. 求解下列线性方程组
题
A
题B
.
题
C