比例税条件下的乘数
在3部门经济循环中，若消费函数为C=a+bYd，可支配收入
Yd=Y-T+TR，税收函数为T=T0+tY（T0：定量税或自发税收；t 边
际税率）同时假定G ，TR ，I 为外生变量，推导该情况下的税收乘数
以及平衡预算乘数。
答：
比例税条件下3部门中均衡国民收入为：
a +i +g -bT 0+bTR y = 1-b (1-t )
如果进一步求税收乘数的话，不可使用求导的方式进行
税收乘数考察的是税收对国民收入（Y ）的影响，而非对可支配收入
（DPI ）的影响
我们可以通过实例来进行说明
假设C=100+0.75Yd，T=40+0.2Y，I=200，G=130，TR=0
求若减税800后变动的国民收入（∆y ）。
首先：
y =a +i +g -bT 0+bTR 400==1000 1-b (1-t ) 0.25+0.75*0.2
其次：
若减税800，消费（国民收入）就会增加800吗？——NO
我们在此可以考虑第1轮的变化：
由于t=0.2——所以800*0.2=160部分又要交给国家——人们的可支配
收入（DPI ）增加800-160=640——因此人们消费支出会增加
640*0.75=480（800*(1-0.2)*0.75=480*(0.8*0.75)） 0
第2轮的变化：
因为上一轮消费支出增加480且（Y=C+I+G）——国民收入增加了
480——由于t=0.2——所以480*0.2=96部分又要交给国家——人们的
可支配收入（DPI ）增加480-96=384——因此人们消费支出会增加
384*0.75=288（800*[(1-0.2)*0.75]
第3轮的变化：
因为上一轮消费支出增加288且（Y=C+I+G）——国民收入增加了
288——由于t=0.2——所以288*0.2=57.6部分又要交给国家——人们
的可支配收入（DPI ）增加288-57.6=230.4——因此人们消费支出会增
加230.4*0.75=172.8（800*[(1-0.2)*0.75]=480*(0.8*0.75)2） 32=480*(0.8*0.75)1）
消费支出的增加=国民收入的增加
在第1轮变化中——消费支出增加——480*(0.8*0.75)
在第2轮变化中——消费支出增加——480*(0.8*0.75)1
在第3轮变化中——消费支出增加——480*(0.8*0.75)2
以此类推，则
n -1480*(0.8*0.75)若在第n 轮变化后变化完毕——消费支出增加——0
（800*[(1-0.2)*0.75]n ）
消费支出一共增加了多少呢？
∆Y =480*(0.8*0.75)+480*(0.8*0.75)+480*(0.8*0.75)+⋅⋅⋅⋅⋅+480*(0.8*0.75) 012n -1
∆Y =480(1+0.6+0.6+⋅⋅⋅⋅+0.62n -1
这是一个无穷递缩等比数列
1∆Y =480*=1200 1-0.6
这表明减税800后最终使得国民收入增加1200，则kT=1200/800=1.5 我们可以进一步抽象∆Y 这一计算数列（从数字到经济学符号） 在第1轮中：
消费的增加为480=800*（1-0.2）*0.75
=∆T *(1-t )*b
在第2轮中：
消费的增加为288=800*[(1-0.2)*0.75] 2
=∆T *[(1-t )*b ] 2
以此类推
在第n 轮中：
消费的增加=
（
=国民800*[(1-0.2)*0.75]n n =∆T *[(1-t )*b ]收入增加+ ）消费2量的增加量∆T *(1-t )*b
n ∆T *[(1-t )*b ]+…………+∆T *[(1-t )*b ]
=∆T *b *(1-t ) *1+b (1-t ) +⋅⋅⋅⋅⋅+[b (1-t ) ]
1=∆T *b *(1-t ) *1-b (1-t )
{n -1}
∆Y b (1-t ) K T ==∆T 1-b (1-t )
方向相反，所以前面加负号
b (1-t ) K T =-1-b (1-t )
比例税条件下政府转移支付乘数的求解与KT 的求解一致。 K TR b (1-t ) =1-b (1-t )
而三部门中Ki 和Kg 可以直接求导（原因在于比例税的条件下，投资和政府购买的变化将直接形成社会AD 进而影响国民收入，而税收和政府转移支付先形成可支配收入，再按照边际消费倾向一轮轮形成消费需求，进而进而影响国民收入）
1K g =K i =1-b (1-t )
三部门比例税条件下平衡预算乘数
∆Y =K g ∆G +K T ∆T
1-b (1-t ) =∆G +∆T 1-b (1-t ) 1-b (1-t )
=∆T (∆T =∆G )
所以：
∆Y K B ==1 ∆T