高数|定积分的几何应用
明天就要开始总复习了，你们做好准备了么？谁敢坚持每天跟着我们复习，把每一个例题和练习题都做得很熟练，叔就敢保证你能在期末考出非常理想的成绩，不信你试试！
今天要讲这学期的最后一部分内容，定积分的几何应用。叔只讲利用定积分求平面图形的面积、求旋转体的体积、和求平面曲线的弧长。叔叔的图文部分会用公式直接讲，由于是涉及图形的问题，可能文字表达不是很清楚，所以最好还是看视频，姑姑在视频中会用一个不同的角度去讲，流量充足的同学一定要看看哦！
今天的内容有点多，各位少年一定要耐心看下去，因为这部分内容真的很重要，期末一定会考！
一、平面图形的面积
（1）直角坐标系的情形
我勒个去，看见这个标题大家是不是局部一紧，似乎有种不详的预感，直角坐标系的情形，莫非还有别的坐标系！是滴，一会再讲那个。利用定积分在直角坐标系的情形下求平面图形的面积，一般分为两种情况：
1.? 图形是由连续曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 所围成的，其中 x 的取值是从 a 到 b ，则图形面积 A 为：
做题时候基本操作就是三步：确定积分限，去掉绝对值，计算定积分！
例一
2. 图形是由连续曲线 x=f(y) 和 x=g(y) 所围成的，其中 y 的取值是从 c 到 d，则图形面积 A 为：
其实这种情况和上一种情况的本质区别是，积分变量的选取不同，至于选择 x 还是 y 做积分变量，要看谁的积分限比较好确定。
例二
（2）极坐标的情形
直角坐标系对于描述平面内一个点的位置那是嗷嗷好用，两条相互垂直的数轴，x轴和y轴，交点为原点，平面内的任何一点都可以由一组数值 (x,y) 表示。
今天叔要介绍另一种描述平面内一个点的方式——极坐标，极坐标其实就像是飞机轮船上的雷达扫描图一样，没见过的也可以想想雨刮器：一条由原点出发沿 x 轴正方向的射线，它以原点为轴逆时针360度旋转扫描平面区域，而要确定平面上任意一个点的位置，则可以用该点到原点的距离 ρ，以及扫描到该点时的射线离开 x 轴正方向的角度 θ 来表示，当然 θ 的范围是在一个周期 2π 范围内，这样 (ρ,θ) 就称作以极坐标形式描述的平面上的一个点。
我们很容易就能看出，对于极坐标表示的一个点 (ρ,θ) ，与其在直角坐标系中同一点 (x,y) 之间有如下关系（参考下图）：
当图形是圆形或者是圆的一部分时，利用极坐标表示是很方便的，比如一个圆：
对应的极坐标方程为：
再比如这样一个圆:
对应的极坐标方程为：
下面我们看极坐标情形下，如何利用定积分求平面图形面积：
如果图形是由曲线 ρ=ρ(θ) 所围成的，其中 θ 的取值是从 α 到 β，也就是扫描线扫描到图形的最小角度是 α ，最大角度是 β，则图形面积 A 为：
例三
具体计算过程不写了，大家自己做一下！
二. 旋转体体积
旋转体就是一个平面图形绕这个平面内一条线旋转一周形成的立体。这里有两类情况：
1.若平面图形如下：
此图绕 x 轴旋转形成的立体体积：
此图绕 y 轴旋转形成的立体体积：
2.若平面图形如下：
此图绕 y 轴旋转形成的立体体积：
例四
—— 定积分的几何应用 ——
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三. 求弧长
求弧长这部分在下学期要学的曲线积分中非常有用！
1.直角坐标系
a. 从 a 到 b 的曲线 y=f(x)，其弧长为：
b. 从 c 到 d 的曲线 x=g(y)，其弧长为：
2. 参数方程
如果曲线方程是由参数方程
表示的，则弧长为：
3. 极坐标
曲线方程为 ρ=ρ(θ) ，θ 是从 a 到 b 的一段弧长为：
例一
例二
例三
—— 弧长 ——
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手留余香
AND
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