函数的表示法(2)-解析式
2.2 函数的表示法(2)-解析式
教学目的:1. 掌握求函数解析式的几种常见方法.
教学重点: 求函数解析式的方法.
教学难点: 求复合函数的解析式.
教学过程:
一、复习引入
1、常用的函数的表示方法有哪些?(解析法、列表法、图象法. )
2、什么叫函数解析式?(把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析式.
3、函数解析式有什么优点?(函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值).
函数解析式只表示一种对应关系,与所取的字母无关,如y =x 2+2x +3与u =t 2+2t +3是同一个函数. 本节将通过具体例子来说明求函数解析式的几种常用方法.
二、讲解新课
求函数解析式的常用方法有:
1、待定系数法
例1、(1)已知二次函数f (x ) 满足f (1)=1,f (-1) =5,图象过原点,求f (x ) ;
(2)已知二次函数f (x ) ,其图象的顶点是(-1, 2) ,且经过原点,f (x ) . 解:(1)由题意设 f (x ) =ax 2+bx +c ,
∵f (1)=1,f (-1) =5,且图象过原点,
⎧a +b +c =1⎧a =3⎪⎪ ∴⎨a -b +c =-5 ∴⎨b =-2
⎪c =0⎪c =0⎩⎩
∴f (x ) =3x 2-2x .
(2)由题意设 f (x ) =a (x +1) 2+2,
又∵图象经过原点,
∴f (0)=0,∴a +2=0 得a =-2,
∴f (x ) =-2x 2-4x .
说明:(1)已知函数类型,求函数解析式,常用“待定系数法”;
(2)基本步骤:设出函数的一般式(或顶点式或两根式等),代入已知条件,通过解方程(组)确定未知系数。
2、代入法
例2、根据已知条件,求函数表达式.
(1)已知f (x ) =x 2-4x +3,求f (x +1) .
(2)已知f (x ) =3x 2+1,g (x ) =2x -1,求f [g (x )]和g [f (x )].
解:(1)∵f (x ) =x 2-4x +3
∴f (x +1) =(x +1) 2-4(x +1) +3=x 2-2x .
(2)∵f (x ) =3x 2+1,g (x ) =2x -1
∴f [g (x )]=3[g (x )]2+1=3(2x -1) 2+1=12x 2-12x +4
∴g [f (x )]=2[f (x )]-1=2(3x 2+1) -1=6x 2+1
说明:已知f (x ) 求f [g (x )],常用“代入法”.
基本方法:将函数f(x)中的x 用g(x)来代替,化简得函数表达式.
3、配凑法与换元法:
例3、(1)已知f (x +1) =x 2-2x ,求f (x ) .
(2
)已知f 1) =x +f (x +1) .
解:(1)法一配凑法:
∵f (x +1) =(x +1) 2-2x -1-2x =(x +1) 2-4x -1=(x +1) 2-4(x +1) +3
∴ f (x ) =x 2-4x +3.
法二换元法:
令x +1=t ,则x =t -1,
f (t ) =(t -1) 2-2(t -1) =t 2-4t +3
∴ f (x ) =x 2-4x +3.
(2
)设u =1≥1,则x =u -1,x =(u -1) 2
于是f (u ) =(u -1) 2+2(u -1) =u 2-1(u ≥1)
∴f (x ) =x 2-1(x ≥1)
∴f (x +1) =(x +1) 2-1=x 2+2x (x +1≥1)
即f (x +1) =x 2+2x (x ≥0) .
说明:已知f [g (x )]求f (x ) 的解析式,常用配凑法、换元法;换元时,如果中间量涉及到定义域的问题,必须要确定中间量的取值范围.
4、构造方程法
1例3、已知f(x)满足2f (x ) +f () =3x ,求f (x ) . x
1解:∵2f (x ) +f () =3x --------① x
将①中x 换成1得 x
112f () +f (x ) =3() -------② x x
①×2-②得 3f (x ) =6x -
1 x 3 x ∴f (x ) =2x -
1说明:已知f (x ) 与f (-x ) ,或f (x ) 与f () 之间的关系式,求f (x ) 的解析式,可通x
1过“互换”关系构造方程的方法,消去f (-x ) 或f () ,解出f (x ) . x
三、课堂练习:
⑴若f(1/x)=1/(1+x),则f(x)= ;
⑵已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则f(x)= ; ⑶已知g(x)=1-2x,f[g(x)]=(1-x2)/x2(x≠0), 则f(1/2)= ;
(4)已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)= . 解:⑴令u=1/x,则x=1/u,f(u)=u/(1+u),∴f(x)=x/(1+x);
⑵设f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,∵f(0)=1,∴c=1,又f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-ba-1=2x,即2ax+a+b=2x,比较系数得2a=2且a+b=0,∴a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1.
⑶由g(x)=1-2x=1/2,得x=1/4,∴f(1/2)=[1-(1/4)2]/(1/4)2=15.
⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]=2(p+q).
四、小 结
1、函数解析式是函数与自变量之间的一种对应关系,与所取的字母无关.
2、求函数解析式的方法一般有待定系数法、代入法、换元法和构造方程法等.
3、实际操作中要学会灵活应用这些方法.
五、布置作业
⒈填空:
⑴若f(x)=2x+1,则f[f(2)]= ;f(-x)= ;f[f(x)]= . ⑵若f(x+1)=x2-2x+5,则f(x)= .
⑶若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)= .
⑷若3f(x)+2f(1/x)=4x,则f(x)= .
⑸若f(x)=x2-mx+n,f(n)=m,f(1)=-1,则f(-5)= .
2、已知函数f(x)=4x+3,g(x)=x2, 求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]. 答案与提示:
⒈⑴f[f(2)]=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,f[f(x)]=2f(x)+1=4x+3;
⑵f(x)=x2-4x+8;
⑶g(x)=2x-1;
⑷f(x)=(12x2-8)/5x(x 0) ;
⑸将f(n)=m与f(1)=-1并成方程组,解得m=1,n=-1,可知f(x)=x2-x-1
∴f(-5)=29.
2、 f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15;
f[g(x)]=4g(x)+3=4x2+3;
g[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x2+24x+9;
g[g(x)]=[g(x)]2=(x2) 2=x4.
六、板书设计(略)