立体几何考前指导及有关找高求体积问题

考前立体几何提醒(找高求体积问题)

1．弄清楚球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球的3半径为2a .

2．搞清几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所在底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积．

3．立体几何中，平行、垂直关系可以进行以下转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面，线⊥线⇔线⊥面⇔面⊥面，这些转化各自的依据是什么？

4. 平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”．

5．立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，不能只“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节．

6. 注意分布作答. 如求体积, 可把求底面积作为其中一步.

找高求体积问题---

---等积转化

---发现面面垂直有面面垂直性质找高(面面垂直后在其中一面内作交

线的垂线段即可)

例题1．如图a ，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，F 为AD 的中点，E 在BC 上，且EF ∥AB . 已知AB ＝AD ＝CE ＝2，沿线EF 把四边形CDFE 折起如图b ，使平面CDFE ⊥平面ABEF .

(1)求证：AB ⊥平面BCE ；

(2)求三棱锥C -ADE 体积．

(1)证明 在题图a 中，EF ∥AB ，AB ⊥AD ，

∴EF ⊥AD ，在题图b 中，CE ⊥EF ，又平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ，

CE ⊥平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，∴CE ⊥AB ，又∵AB ⊥BE ，BE ∩CE ＝E ，∴AB ⊥平面BCE ；

(2)解 ∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ，AF ⊥FE ，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面CDEF ，∴AF 为三棱锥A -CDE 的高，且AF ＝1，又∵AB ＝

1112CE ＝2，∴S △CDE ＝22×2＝2，∴V C -＝·S ·AF ＝×2×1＝ADE 3△CDE 33.

例题2．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB .

(1)求证：平面P AB ⊥平面PCB ；

(2)求证：PD ∥平面EAC .

解 (1)∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BC ，

又AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .(3分)

又BC ⊂平面PCB ，

∴平面P AB ⊥平面PCB .(6分)

(2)∵P A ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，

∴P A ⊥AD .

又∵PC ⊥AD ，又PC ∩P A ＝P ，∴AD ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，

∴AC ⊥AD .

π在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB ＝BC ，得∠BAC ＝4，

π∴∠DCA ＝∠BAC ＝4又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形．(4分)

∴DC ＝2AC ＝2(2AB ) ＝2AB .

DM DC 连接BD ，交AC 于点M ，则MB ＝AB ＝2.

PE DM 在△BPD 中，EB MB 2，

∴PD ∥EM

又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，

∴PD ∥平面EAC .(14分)

例题3在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝4，E 为边DC 的中点，如图1. 将△ADE 沿AE 折起到△AEP 位置，连PB 、PC ，点Q 是棱AE 的中点，点M 在棱PC 上，如图2.

(1)若P A ∥平面MQB ，求PM ∶MC ；

(2)若平面AEP ⊥平面ABCE ，点M 是PC 的中点，求三棱锥A -MQB 的体积．

图1 图2

解 (1)连AC 、BQ ，设AC ∩BQ ＝F ，连MF

.

则平面P AC ∩平面MQB ＝MF ，因为P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，所以P A ∥MF .(2分)

在等腰梯形ABCD 中，E 为边DC 的中点，所以由题设，AB ＝EC ＝2.

所以四边形ABCE 为平行四边形，则AE ∥BC .(4分)

从而△AFQ ∽△CFB ，AF ∶FC ＝AQ ∶CB ＝1∶2.

又P A ∥MF ，所以△FMC ∽△APC ，所以PM ∶MC ＝AF ∶FC ＝1∶2.(7分)

(2)由(1)知，△AED 是边长为2的正三角形，从而PQ ⊥AE .

因为平面AEP ⊥平面ABCE ，交线为AE ，所以PQ ⊥平面ABCE ，PQ ⊥QB ，且PQ ＝3. 因为PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面ABCE ，交线为QC .(9分)

过点M 作MN ⊥QC 于N ，则MN ⊥平面ABCE ，所以MN 是三棱锥M -ABQ 的高． 因为PQ ⊥平面ABCE ，MN ⊥平面ABCE ，所以PQ ∥MN .

13因为点M 是PC 的中点，所以MN ＝2＝2分)

3由(1)知，△ABE 为正三角形，且边长为2. 所以，S △ABQ ＝2.

1331三棱锥A -MQB 的体积V A -＝V ＝××MQB M -ABQ 3224分)

例题4在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为23的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=2，M 、N 分别为AB 、SB 的中点……

（1）

（2） 证明：AC ⊥SB ； 求B-CMN 的体积．

（1）证明：取AC 中点D ，连接SD ，DB ．

因为SA=SC，AB=BC，所以AC ⊥SD 且AC ⊥BD ，

因为SD ∩BD=D，所以AC ⊥平面

SDB

．

又SB ⊂平面SDB ，所以AC ⊥SB ；

（2）解：因为AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ，所以平面SDC ⊥平面ABC ． 过N 作NE ⊥BD 于E ，则NE ⊥平面ABC ，

因为平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，所以SD ⊥平面ABC ．

又因为NE ⊥平面ABC ，所以NE ∥SD ．

33132×2=4

例题5 如图，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AA 1=4，AB=2

中点，

（Ⅰ）求证：CN ⊥平面ABB 1A 1；

（Ⅱ）求三棱锥B 1-AMN 的体积。

（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，

又因为

所以

因为

以CN ⊥AB ，

为， 平面ABC ， ， ，N 是AB 中点， 所因所2，M ，N 分别是棱CC 1，AB 以CN ⊥平面ABB 1A 1。

（Ⅱ）证明：取AB 1的中点G ，连结MG ，NG ， 因

为N ，G 分别是棱AB ，AB 1中点， 所以， 又因为

所以CM ∥NG ，CM=NG， ，

所以四边形CNGM 是平行四边形，

所以CN ∥MG ， CN ⊥平面ABB 1A 1。

所以MG ⊥平面ABB 1A 1。MG 为三棱锥M-AB 1N 的高

。

例题6如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD=AB=4，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点．

（1）求证：PA ∥平面EFG

（2）求三棱锥P-EFG 的体积

（3）求点P 到平面EFG 的距离．

证明：（1）∵E 、G 分别是PC 、BC 的中点

∴EG 是△PBC 的中位线

∴EG ∥PB

又∵PB ⊂平面PAB ，EG ⊄平面PAB

∴EG ∥平面PAB

∵E 、F 分别是PC 、PD 的中点

∴EF ∥

CD

又∵底面ABCD 为正方形

∴CD ∥AB

∴EF ∥AB

又∵AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB

∴EF ∥平面PAB

又EF ∩EG=E

∴平面EFG ∥平面PAB

∵PA ⊂平面PAB

∴PA ∥平面EFG

（2）∵底面ABCD 为正方形

∴GC ⊥CD

∵PD ⊥平面ABCD

∴GC ⊥PD

又∵CD ∩PD=D

∴GC ⊥平面PCD

∴GC 为三棱锥G-PEF 的高

∵PD=AB=4

114•2PD •CD ＝2

42×2＝3

（3）取AD 的中点M ．连接MF 并延长，过P 作PN ⊥MF=N．

∵EF ⊥PD ，EF ⊥AD ，PD ∩AD=D

∴EF ⊥平面PDA ，∵PN ⊂平面PDA ，

∴EF ⊥PN ，又∵PN ⊥MN ，MN ∩EF=F

∴PN ⊥平面FEMG

即PN 是点P 到平面EFG 的距离，

在△PNF 中，PF=2，∠PFN=45°

∴PN ＝2

例题7如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 为棱CC 1上的动点．

（1）求证：A 1E ⊥BD ；

（2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD ；

（3）在（2）的条件下，求V

A 1− BDE ．

证明：（1）连AC ，A 1C 1．∵正方体AC 1中，AA 1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥BD ． ∵正方形ABCD ，AC ⊥BD 且AC ∩AA 1=A．∴BD ⊥平面ACC 1A 1 且E ∈CC 1．∴A 1E ⊂平面ACC 1A 1．∴BD ⊥A 1E ．

（2）设AC ∩BD=O，则O 为BD 的中点，连A 1O ，EO ．

由（1）得BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥A 1O ，BD ⊥EO ．

∴∠A 1OE 即为二面角A 1-BD-E 的平面角．

∴A 1O 2+OE2=A1E 2．∴A 1O ⊥OE ．∴∠A 1OE=90°．

∴平面A 1BD ⊥平面BDE ．

，

例题8如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截

得的几何体，四边形EFGH 为截面，且AB ＝BC （Ⅰ）证明：截面四边形EFGH 是菱形；

（Ⅱ）求几何体C-EFGH 的体积．

解：（Ⅰ）证明：因为平面ABFE ∥平面CDHG ，且平面EFGH 分别交

平面ABFE 、平面CDHG 于直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ．

同理，FG ∥EH ．

因此，四边形EFGH 为平行四边形．

因为BD ⊥AC ，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以EG ⊥BD ．

因为BF=DH，所以FH ∥BD ．因此，FH ⊥EG ．所以四边形EFGH 是菱形． （Ⅱ）连接CE 、CF 、CH 、CA ，则V C-EFGH =V-VC-ABFE -V C-ADHE

∵AE=1，BF=DH=2，CG=3且几何体是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱的一部分，∴该几何体的体积为V ＝22×2＝4，

1V C −ABFE ＝3×S BC ＝四边形ABFE ×1132AE +BF )•AB ×BC ＝1

同理，得V C-ADHE =1所以，V C-EFGH =V-VC-ABFE -V C-ADHE =4-1-1=2，

即几何体C-EFGH 的体积为2．

例题9．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点．

(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)求证：CF ∥平面BAE .

证明 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，(2分)

又AC ⊥CD ，且AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ，(4分)

又CD ⊂平面PCD ，所以平面P AC ⊥平面PCD .(7分)

(2)取AE 中点G ，连接FG ，BG .

1因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝2AD .(9分)

在△ACD 中，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，

11所以AC ＝2，所以BC ＝2AD .(11分)

在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB ＝60°，

从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC . 综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF ∥BG .(13分) 又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE .(14分)