激光原理第六版补充参考答案

第一章

P23-1

解:由

c



,可得

d

c



d2



d 

考虑波长和频率变化的绝对值、,有











相干长度

LC1km时，有 可知在

在 500nm时， 在

3000MHzP23-3

解：（a）

， (c) 如

，可得

P23-4

解：题中Cr+3离子浓度

n21019cm3，对应激光跃迁的上下能级简并度相同，在Cr+3离子几乎全部激发到上能级时反转粒子数浓度nn2n121019cm3，

当损耗突然变小Q2

Lnn

变大时n21019cm3ntn2n10， c22

假设在巨脉冲宽度10ns时间内反转粒子数浓度从约21019cm3降到0，这一过程有约V

n

个上能级的Cr+3离子通过受激辐射跃迁至下能级并产生一个光子，因而可得激光2

输出能量

nd2

EVhv24

nc

16.8 J2

得脉冲功率 P

E16.89

81.71W0 t10

注：红宝石为三能级结构，激光跃迁下能级为基态，当上能级粒子数浓度为总粒子数浓度一半时反转粒子数浓度等于0，此后仍处于上能级的粒子将在～2时间内通过自发辐射跃迁和无辐射跃迁的形式回到基态下能级。

另外，即使对于四能级系统的调Q激光器，当调Q的巨脉冲持续时间很短时，激光跃迁的下能级粒子数浓度也不能近似为0来处理，这时在巨脉冲持续阶段接近三能级情形。巨脉冲消失后处于上能级的粒子将通过一定程度的放大的自发辐射（ASE）、自发辐射跃迁及无辐射跃迁等形式回到下能级。

P23－6

解：（1）能级E4的分子通过自发辐射跃迁到三个较低能级，有

dn(t)dndndn

n4(t)A43A42A41 dtdtspdtspdtsp

可得：

n4(t)n40e

A43A42A41t

n40e



t

s4

分子在E4的自发辐射寿命

s4

118

1.110s 777

A43A42A41510110310

（2）在对能级E4连续激发并达到稳态时，四个能级的分子数都保持动态平衡，即单位时间从E4能级跃迁到各下能级的分子数等于单位时间各能级减少的分子数，假设各能级简并度（统计权重）相等，对E1能级有：

n4A41n1

1

1

，

nA4113107510715 n4

同样可得：

nA422110761090.06 n4

n3

A433510711080.5 n4

nnn0.06

进一步可得 0.12

nn30.53n4

可知，在E2能级和E4能级、在E3能级和E4能级、在E2能级和E3能级之间有集居数反转。

参考书1 P12 1.10

（2）由题意“受激跃迁几率比自发跃迁几率大3倍”可知

W104A10

因此有B104A

10，则

P23－8

解：（1）损耗系数α为0.01mm-1，由

dI(z)1

可得

dzI(z)

I(z)Iez

有 I(10)Ie0.01100Ie10.368I

即光通过10cm长该材料后出射光强为入射光强的36.8%。 （2）假设增益系数恒定，有I(z)Ie

g0z

，由题有

I(1)Ieg12I

可得增益系数g0ln(2)0.693m1

P24－9

解：（1）每秒发出的光子数目

（2）由单模激光束单色亮度公式可得

B

P

2

As(0)

0.001

20.0013

10000.714102

2

7.95105Wm2ssr1

（3）单位时间在面积A上s频率间隔内黑体发射出的光子数由下式给出

N

Ac

h

1e

hkbT

8h3

其中 

C3

1

将（1）的结果代入可解得T1.5109K

第一章习题9

h6.631034

c310

8

0.632810c

6

第二章

P97-1

r2r1

证明：设在界面的入射光线由表示，出射光线由表示，有

21

r2r1

sin(1)2



sin(2)1

对傍轴光线有

sin()

，因而有，可得21，用矩阵表示有

sin(2)2212

10

r2r1 ＝021

2

10

可知傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为1。

02

P97-2

r1

证明：设在1介质到2介质界面的光线坐标为，经2介质到1介质界面的光线

1r2

坐标为，有

2

1010

r21d＝00012

12



r11dr1＝2 1011



1

1d即光线通过厚度为d的平行平面介质的变换矩阵为。 201

P98-3

证明：对称共焦腔中R1=R2=L，设开始光线从镜面1出发，可得往返矩阵T

1010

1LAB1L10T20120101 CD11

LL

r2r1

设光线初始坐标参数为，经两次往返后为，则有

21r21010r1r1

＝01＝ 01112

即两次往返后光线自行闭合，这说明共焦腔为稳定腔。

P98-4

解：设腔长为L，根据共轴球面腔稳定条件0g1g21来分析。 （1）平凹腔，设R1、R2分别为平面镜、凹面镜的曲率半径，有

R1,g11,R20,g21

L

R2

由0g1g21，可得01由此推得 R2L

L

1， R2

（2）双凹腔，设R1、R2分别为两个凹面镜的曲率半径，R1>0,R2>0,g11

由0g1g21可得

(R1L)(R2L)0



LLL2

11RRRR2112

R1L，R2L

由上式可推得

或RL，RL且RRL1212

LL

,g21 R1R2

另外，在R1＝R2＝L时双凹腔为对称共焦腔也是稳定腔。

（3）凹凸腔，设R1、R2分别为凹面镜、凸面镜的曲率半径，R1>0,R2

g11

LL

,g211。由0g1g21可得 R1R2

11

L

0R1

LLL2

1R2R1R1R2

由上式可推得 R1LR 1R2

P98-5

解：谐振腔如下图所示，由题2知光线通过厚度为d的平行平面介质的变换矩阵为

11d。

201

设光线从镜面1到镜面2的变换矩阵为T12，则有

1

d1l11l1l21d1l21

2 T122

01010101

同样可得光线从镜面2到镜面1的变换矩阵T21

1lld12

2 T21

10

可知从镜面1到镜面2或从镜面2到镜面1的光线变换等效于光线通过l1l2

1

d长2

度均匀空间的变换，令等效腔长L'l1l2

d，由共轴球面腔稳定性条件2

0g1g21，可得

L'L'0111

RR12

将R1＝－1m，R2＝2m代入上式，解得1mL'2m 由此可得1ml1l2

1

d2m 2

解得： 0.671ml1l21.671m

因而腔长Ll1l2d应在（1.171m，2.171m）范围内为稳定腔。

P98－6

解：三镜环形腔如下图所示

下图为其等效透镜序列图

光线在三镜环形腔运行一个周期的变换矩阵为T，有

ll2

10101522

ff12l1l1T121

01f101f12l



f2f按稳定性条件1

l2

3l2

f l1

f

1

AD1可得

2

ll2

11321

ff

解上式可得

0

l1f

or2

l

3 （1） f

因而有 flor

ll

f （2） 32

对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，有f

R

cos()，代入式（2）可得

2

R

or

R

（3）

对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，有f

R

，代入式（2）可得

2cos()

Ror

R

（4） 同时满足式（3）和式（4）的腔才是稳定腔，取式（3）和式（4）的交集，得

R

or

R

l （5） 2

P98－7

解：由题L＝30cm，2a＝0.12cm，λ＝632.8nm ，可得菲涅耳数

a2

N1.9

L

由图2.5.5可知，此时对TEM00模、TEM01模、TEM10模、TEM11模等低阶模衍射损耗很小可忽略。因而可得单程损耗因子：δ＝δr＋0.003＝－0.5ln（r1·r2）＋0.003≈0.0234.

假设氦氖激光器放电管长度和腔长相等，则得单程小信号增益因子

g0lln(13104

l

)0.0723 d

显然有g0l0.04890

因而，此时TEM00模、TEM01模、TEM10模、TEM11模等低阶模都可以运转，不是单模运转。

假设在镜面附近加一个方形小孔阑来减小菲涅耳数，增大衍射损耗，可使得只有

TEM00满足振荡条件，而TEM01模及更高阶模因衍射损耗大而不能运转。此时有

g0lr0.003000

0

glr0.003010即满足000.0489

and010.0489，对比图2.5.5可知有

0.48N0.7

可得 0.030cma0.036cm

即在小孔边长取0.030cma0.036cm范围时可使得只有TEM00模运转。

注：用书中图2.5.5曲线作粗略估计，按小孔阑是在两个镜子上同时加的来考虑。

P98-8

解：节线位置由厄米特多项式决定，对TEM30模有

2

H3

os

2

x8os

2

x12x0 os

3

可解得x

3os,2

0,

3

os 2

上述三点即为节线位置，是等距分布的。

2H对mos

x0节线一般不均匀，中心区域节线较密。 

P98-10

今有一球面腔，R1=1.5m,R2=-1m,L=80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数,在图上画出等价共焦腔的具体位置。 解：由题意：

即f＝0.5m。

f2

由稳定性条件：

0.80.8(1-)(1)0.8411.51

满足稳定条件，所以该腔为稳定腔。

z1z2

L(R2L)

1.31

(LR2)(LR1)L(R1L)

0.51

(LR2)(LR1)

L(R1L)(R2L)(R1R2L)

0.25

[(LR1)(LR2)]2

按上述参数如下画出等价共焦腔的具体位置

P98－11

解：平凹腔L＝50cm，凹面镜的R＝2m，2a＝1cm，λ＝10.6um，由公式

可得

s10.171cms20.197cm

由平凹腔和对应共焦腔的关系可知，束腰位置在平面镜处，平面镜上的光斑半径既是腰斑半径，有

00.171cm

进而可得

其中

Nef22.04可得 Nef12.72

0010.9104.94N可得， 由

1 0010.9104.942.723.81013

20010.9104.942.04

8.91010

P99-13

解：R1=∞，R2＝1m，由公式

可知，在满足稳定性条件L

根据上述公式可画出光束发散角θ0与腔长L的关系曲线，如下所示

P99－14

解：R1=∞，R2>0，稳定性条件为

R2>L，可得g

参数 g1=1, g2=1-L/R2>0. 由公式

可得：

（1）由上述公式，画出R2=100cm时，ωs1、ωs2随L变化的曲线如下：

（2）由上述公式，画出L=100cm时，ωs1、ωs2随R2变化的曲线如下：

P99－18

解：平凹腔腔长L＝0.75R2，g1＝1，g2＝0.25，假设腔内介质折射率为η，对TEM00

模可得谐振频率

注：也可由高斯光束在腔内传输的相位变化来确定，从平面镜到凹面镜相位变化为 －[kL-arctg(L/f)],f可计算得到

由谐振条件

计算谐振频率可得到和上面相同的结果。

P99-15

解：因腔是半共焦腔，可知基模高斯光束的共焦参数f＝R/2=L=1m，

10.6106

远场发散角0223.67103rad

f3.141

10.6106

光束束腰半径0束腰在腔的平面镜1.837mm，

3.14

镜面位置。

注：对半共焦腔，在平面镜上的光斑半径即是束腰半径，凹面镜上的光斑半径

s220

P99-17

解：由q(z)zq0zif，及f



＝ m 9632.810

20

230.310

0.447

可得：（1） 束腰处 q(0)q0i0.447m

（2）与束腰相距30cm处 q(0.3m)0.3i0.447 m （3）与束腰相距无限远处 q()i0.447 m

P99－19

解：（1） 在稳定谐振腔内存在自再现的高斯光束，自再现高斯光束在球面镜镜面处的等相位面曲率半径就等于镜面的曲率半径100cm。

（2）对TEMmnq模，高斯光束在腔内一次往返相移为

由谐振条件往返相移应为2π的整数倍，可得

由此可得谐振频率

P99－23

解：由公式

可得经F1透射后的高斯光束束腰位置和腰斑半径 l2cm，

经F2

透射后的高斯光束束腰位置和腰斑半径

注：可按高斯光束变换规律来求，在束腰处q＝if来确定束腰位置和腰斑半径。

参考书1 P75－2.44

解：（1）q(z)zq0zif，及f

0.510＝ m 1.241

9632.810

2

3

2

可求得光束入射到透镜表面时的q参数 q(d3)1i1.241 m

由

11

i q(d3)R(d3)2(d3)

可得：R(d3)2.54m，(d3)0.64mm

(2) 设通过透镜后光束等相位面曲率半径为R'，则有

111111

3.606m '

R(d3)F32.540.25R

可得 R'0.277m

注：也可按高斯光束光斑半径双曲线变化公式和高斯光束等相位面曲率半径变化公式来求解。

P99-21

（第1问的结果要分析是否正确）

（4）当l0时

w(l)w01.2mm

显然，在第一种情形下，高斯光束传输至透镜表面时光斑尺寸已经大于透镜的横向尺寸（与透镜的焦距相当）

，此时必须考虑衍射效应，因此这种情形的结果不合理；对于其他三种情形，高斯光束传输至透镜表面时光斑尺寸远小于透镜的横向尺寸，计算所得结果合理。

P99-22

值已舍）

因此透镜应放在距离光腰1.39m的位置。

P100-24 （即 参考书1 P76 习题2.46）

解：由题意和准直倍率的计算公式知

该望远镜系统对图中高斯光束的准直倍率为50.9。

P100－26

解：双凹腔的自再现高斯光束束腰位置在腔内，假设束腰和镜面1、镜面2的距离分别为z1、z2，自再现高斯光束的共焦参数为f。设束腰位置、镜面1、镜面2处的q参数分别为q0、q1、q2，则有

q0＝if （1） q1＝q0＋z1 （2） q2＝q0＋z2 （3） z1＋z2＝0.5 （4） 由式（1）～（3）可得

自再现高斯光束在镜面1、镜面2处的等相位面曲率半径分别等于镜面1、镜面2的曲率半径，即有

111z1f2iq1q0z1ifz1fz12f2z12111z2f2iq2q0z2ifz2fz22f2z22

1z11Re22 R1q1fz1

将R1＝1m、R2=2m带入可得

1z21Re22

R2q2fz2

z1f2z12（5） 2z2f2z22（6）

由式（4）～（6）可求得

z1=0.375m, z2=0.125m, f=0.484m. 对波长10.6um二氧化碳激光器，高斯光束束腰腰斑

P99－20（未布置）

f

0



1.278mm

解：以小孔中心为原点建立极坐标系，TEMmn模透过小孔的功率百分比可按下式来计算

2rcos()22rcos()2r2/22

HneHrdrd00m T

2rcos()22rcos()2r2/22

2

HneHrdrd00m

对TEM00模有

2

a

a22

121e2a

2r2/2

erdrd200

T2

2r2/2erdrd200

2

2



a221e

对TEM01模有

aa222a2a222rcos()2r/21e22e2erdrd00a2a222221e2ae2

T222

2222rcos()2r/

2rdrd00e

2

2

2

TEM00模和TEM01模透过小孔的功率百分比随a/ω变化曲线如下图所示。

P100-25 （未布置）

解：（1）通过基模高斯光束横截面上光斑的光功率占总功率的86.5％，据此可确定光斑半径，进而由光斑半径的变化规律可求出共焦参数。

出射光束为基模高斯光束，观测镜面输出光斑的大小，选取半径大于镜面处光斑孔径的合适光阑，选用一合适的光功率计（量程、精度、探测面尺寸合适）。先将功率计直接放在凹面镜输出端测得激光器的输出功率P0。然后，将孔阑放在腔的轴线上并沿腔

的轴线方向移动，同时紧贴孔阑后方测光功率，直到测得功率P＝86.5％P0，此时用卷尺测出孔阑距离对称腔中心的距离Z，以腔中心为原点建立坐标系，Z位置处的高斯光束光斑半径即为孔阑的半径a。

由 可得 可解得

z2fz2

2(z)2o1()1()ff

a2

fz2

1()f2af2fz20

a2a22

4z

2

2

f

上式中的±号要根据实际情况来确定。由高斯光束的传输特性知道，在0f时，光斑半径>20，因而可知

Z

Z>f时， 在得到z和a后可

2

a2a22

4z

f

2

f

a2a22

4z

2

先按±号计算得到两个f值，再根据

z和f值的大小按上述关系取其中一个。

（2）基模高斯光束透过孔阑的功率比（透过孔阑的功率与总功率的比值）与a/ω（a为孔阑半径，ω为光斑半径）的关系为 1e

2a2

，据此在测得功率比和a后可确定

光斑半径ω，进而由光斑半径的变化规律可求出共焦参数。

出射光束为基模高斯光束，观测镜面输出光斑的大小，选取半径小于镜面处光斑孔径的合适光阑，光阑的半径为a，选用一合适的光功率计（量程、精度、探测面尺寸合适）。先将功率计直接放在凹面镜输出端测得激光器的输出功率P0。然后，将孔阑放在输出端后面（或一定距离处），将功率计紧贴孔阑后方测光功率P1，用卷尺测出孔阑距离对称腔中心的距离Z，以腔中心为原点建立坐标系，假设Z位置处的高斯光束光斑半径为ω。有

P1

1eP0

2

a2

2

2

2a可得 P0

lnPP

10

1/2

这样就求得Z处的光斑半径，接下来求共焦参数f的过程同上面（1）相应过程。

按上面两种方法可测量共焦参数f，参照实验原理写出实验步骤（略）。

P100-30 （未布置）

B4C0解：题目要求从式（2.14.12）推导得到式（2.14.13），并证明对双凸腔

2

由式（2.14.13）

第一项可得：

将上式代入式（2.14.13

）第二项可得

将上式整理可得：

R1l1R22l1LR1R2l1LLR22l1L2l1R2l1LLR22l1L

l122R12R24Ll14L24R2L2L2R12LR1R20

因而可得 其中

由B和C的表达式可得



2LR1R2l122LLR2l1LR1LR20

l12Bl1C0

上述三式即为式（2.14.13）

对双凸腔，L>0,R1

B24C0

P100-31

解：（1）对虚共焦腔

由题R1=1m, L=0.25m, 可得 R2=-0.5m，可得 m1=1，

m2=2,

由a1=2.5cm, a2=1cm, 可得

可得 由

可得 因而有

由

得

（3）若a2不变，从M2单端输出，即从M2到M1的单程损耗为0.即有

21

由于应满足

11,21

21

12＝

1122m1m2

10.25

1单程110.752单程120

单程1120.5

往返＝1－12＝0.75

(2)

若a1不变，从M1单端输出，即从M1到M2的单程损耗为0.即有

11

a2m1a12.5cm

因而可知若a1不变，从M1单端输出应选择

a22.5cm

由

得 a12 因而可知若a2

cm

（4）改变镜的横向尺寸不影响非稳腔的几何放大率m1、m2，由

11

12＝22往返＝1－12单程112

m1m2

可知，在上述两种单端输出的条件下，往返损耗和平均单程损耗不改变，仍是

往返＝1－12＝0.75单程1120.5

参考书1 P83－2.62

解：

（1）z0和zd处的光场分布如下图所示：

（2）由题意可知：R1100cm1m，R2300cm3m，L100cm1m

发现满足

则平均单程损耗为

g0l

为得到振荡，增益物质的单程增益G0应满足G(1single)1，其中G0

e的长度，则

，l0.8为增益物质

eg0l(1single)1

所以

P158-1

解：由0

z/c 及z c

 可得 0

1z/c1z/c

10.1

572.4nm

10.1

在氖原子分别以0.1c、0.4c和0.8c的速度向观察者运动时，代入上式可得：

632.8

632.8632.8

10

.4

414.3nm

10.4

10.8

210.9nm

10.8

P158－2

解：右图为迈克耳逊干涉仪光路示意图，设动镜M1以速度Vz匀速运动，在Δt时间内移动距离L，有

t

LVz

以接收屏为参考系来观察，设光源S发出光的频率为ν0，则到达静止镜M2又反射回来到达接收屏的光频率仍为ν0。

由于动镜M1以速度Vz运动，在镜M1上观察接收到的光频率为

'0(1Vz/c)

镜M1将接收到的光发射回去，在镜M1上观察反射回去的光频率仍是

'0(1Vz/c)

迈克耳逊干涉仪光路示意图

由于镜M1以速度Vz运动此时在接收屏上观察 镜M1的反射光频率为 频，有

'''(1Vz/c)0(12Vz/c)

这样在接收屏上观察来自镜M2和镜M1的两束发射光存在一个频率差Δν，称为拍

''0

2Vz

0c

动镜M1以速度Vz运动时，在接收屏上将观察到干涉图案按拍频Δν周期性地变化，在Δt时间内M1移动距离L，干涉光强周期性变化数为

P158-3 在激光器

Nt

L2Vz2L0Vzc

86

Kr出现以前，低气压放

电灯是很好的单色光源．如果忽略自然加宽和碰撞加宽,试估算在77K温度下它的605.7nm谱线的相干长度是多少,并与一个单色性/10的氦氖激光器比较.

解: 忽略自然加快和碰撞加宽，多普勒加宽宽度

8

相干长度

336

MHz

Lcctc/0.89m

对He - Ne 激光器如

/108，有

Lcctc/2/63m

P158-4

解：CO2气体在室温（300K）下的多普勒线宽

代入数据计算得到D5.29107Hz

碰撞线宽与气压成正比，实验测得比例系数 49kHz/Pa 可知在P

D



1080Pa时，有LD

当压强远大于1080Pa时以均匀加宽为主。

注：可由书上公式和数据来估算碰撞线宽与气压的比例系数，但书中给出的碰撞截面有效位数只一位估算精度会较低。这里直接用书中给出的实验测得的比例系数。

P158－5

氦氖激光器有下列三种跃迁,即3S22P4的632.8nm,2S22P4的1.1523m,和3S23P4的3.39m的跃迁.求400K时他们的多普勒线宽,分别用GHz, 所求结果你能得到什么启示.

解:

由

T1/2

D7.161070(

M

)取T＝400K，M＝20，分别计算 对632.8nm波长跃迁有

D1.518GHz



D

D



C

2

2.026106um 1D1D

2C0.051cm1

对1.1523um波长跃迁有

D0.83GHz



D

D



2

3.6897106C

um 1D1D1

2C0.028cm

对3.39um波长跃迁有

D0.28GHz



D

D



C

2

10.9106um 1D1D20.0094cm1

C

m,cm1为单位表示.由

由上述结果可得：

D0



11 

P158-6

解：（1）由题可知能级E2上的原子数随时间变化关系为

dN2(t)11

N2(t)N(t) dts2nr2

解得：N2(t)N2(0)e其中

1



t



Vn2(0)e



t







1

s2



1

nr2

可得t时刻自发辐射功率为

P(t)A21N2(t)h

1

s2

Vn2(0)e



t



h

（2）总自发辐射光子数为

N



A21N2(t)dt



1

s2

Vn2(0)edtVn2(0)





t

nr2

Vn2(0)

s2s2nr2

（3）显然有总自发辐射光子数与初始时刻能级E2上的粒子数之比

2

nr2

s2nr2

参考书1 P110 习题3.6

解：2

N0.87 n2(0)

dn(t)11

n2(t)/2n2(t)( dts2nr2

(

1

n2(t)n2(0)e

s2nr2



1

)t

单位体积单位时间内自发辐射光子数

dN

n2(t)/s2 dt

→单位体积自发辐射总数

Nall[n2(t)/s2]dt



→2

1

s1nr

1

0.87

2

2

又

1

s



2

nr



2

1

2



1 5ns

→s25.75nsnr238.64ns

参考书1 P111 习题3.7

v2A21

解： 21 2

420HH195GHz

A21

1

S

2

由3.6可知2

1

s

1nr

0.42

2

2

1

2



1

s



1

2

nr

2

1

230us

→nr2396.55uss2547.62us

又0

c



v

c n

1.06um

代入计算得到

218.0461023m28.0461019cm2

P158-8

解：红宝石对694.3nm光透明，即在能量密度为入射时出射光能量密度也为，由光子数密度方程可得＝0。在稳态时还有

dN0，不计光的各种损耗又f1＝f2＝4，可知有n2－n1

dt

dn3dn2

0，由速率方程可得 dtdt

n1W13n3(S32A31)0 （1）

(n2

f2

n1)21(,0)vNln2(A21S21)n3S320 （2） f1

由于n2－n1＝0代入式（2）可得

n2(A21S21)n3S320 （3）

AS21

由式（3）可得 （4） n321n2

S32

将式（4）代入式（1）可得

n3n2A21S21A21S21

W13(S32A31)(S32A31)(S32A31)

n1n1S32S32

（5）

将 S32≈0.5×107/S，A31≈3×105/S，A21≈0.3×103/S，S21≈0，代入上式解得 W13

习题：P159－9 参考教材第五章P162-163

习题：P159－10

解：光腔中存在频率为ν的单模光波场，假设光波在光腔内正反两方向运行，多普勒加宽气体基态离子数按速度的分布n1(z)受单模光波场影响，下面定性画出不同情况下的

318S1

n1(z)

（1）0，n1(z)不受光波场的影响；

1

1cc2200 （2）0

11D1D

D，此时速度在c附近的基态粒子因受激吸收跃c22020

迁有明显减少，远离这两个速度的粒子基本不受影响。

（3）0，此时速度在0附近的基态粒子因受激吸收跃迁有明显减少，速度远大于0的粒子基本不受影响。

习题：P159－12

解： 假设能级简并度f1＝f2，则峰值吸收截面

1221

2Ag(0,0) 2

80

4

A21

在主要加宽机构为自然加宽时，

g(0,0)4s

因而有

1221

P159－13

22A42

22

80A21202

解：吸收系数对应反转粒子数为负的情形，即

()n21(,0)(n2

f2

n1)21(,0) （1） f1

一般对应弱吸收 n2n1、n1n，代入式（1）可得

()

f2

n21(,0)n12(,0) f1

在中心频率处取最大值，(0)n12 （2）

由题 (0)0.4cm1，n

3.980.05%193

21.57710cm24

1521.6610

代入式（2）可得，122.541020cm2 P159－14

解：实验方框图如下

实验方框图

实验程序为：

（1） 按方框图所示，将长度为l的红宝石样品放在单色仪和光电倍增管之间，让

光通过样品，调节各测试设备到稳定工作状态； （2） 粗调单色仪，使输出光在694.3nm附近，然后观测微安表细调单色仪得到一

个电流极小值I； （3） 将样品移开，记录微安表的电流I0； （4） 根据得到的I、I0可计算得到吸收系数

ln

1l

I

 I1

（5） 根据红宝石中的铬离子数密度可得到峰值吸收截面

12



n

（6） 由于上下能级简并度相同，可得发射截面

2112

（7） 红宝石的谱线加宽主要是均匀加宽，假设均匀加宽服从洛伦兹线型，有 21

A212

2

420F

s2

122n

22

A21420F21420F

可得荧光寿命 P159－19

解：对均匀加宽二能级工作物质存在饱和吸收现象，吸收系数对应反转粒子数为负的情

形，即

()n21(,0)

在稳态时，有

dn2f2n

n2n121(,0)Nl20

f12 dt



n1n2n

由上式可解得

n2

fnf1

f112

f1221(,0)Nl

f2

n

ff nn2(nn2)

vf1

1221(,0)Nl1

f1Is()





其中 Is()

h0f1



22(1,)0f1f

h0



21

f2

nf2

在中心频率有 Is

2

f1

ff12

本题中f1f2，发射截面等于吸收截面，根据已知数值计算可得

Is

h0



f1hc8.03106Wcm2 f1f2220

221

P159－21

解：设准单色光频率为中心频率，光强为I，可写出稳态速率方程

dnnI

n200 （1） dth02

dn1n2n1

0 （2） dt2110

n0n1n2n （3） 由式（2）可得 n1

10n2

（4） 21

由题知KbTh10、1021可知，n10，代入式（3）得到

n0n2n （5）

又 nn2

fn0 （6） f0

n

由式（4）、（5）可得 n2

f2

nf0

（7） 1

f0

将式（7）代入式（1），可得

n20

I1fnfn

0 (8) h02f0f2

n

20

f2nff

2n2n

2f0f2f0f0

 (9) I1I

11220

Ish02f0f2f0h01

f0h0f0hf1012上式中 Is

f0f2220f0f2202120ffnfn20进而可得 (0,I)

1

Is

1h01

 （10） f02022120

02

n

1

Is

P159－22

解：设非均匀加宽为多普勒加宽，定义Z轴正方向与光强为I1的光束运行方向一致，粒子沿Z轴正向运动时速度为正，反之为负。



粒子的速度远远小于光速，速度为z的原子表观中心频率为1z

c中心频率与入射光频率接近的上能级粒子会发射受激辐射跃迁。



0。只有表观

（1）对于（a）的情形，和频率为0光束发生作用的粒子速度满足关系z



c，0

和频率为0光束发生作用的粒子速度满足关系z

c，因受激辐射跃迁导致相0

应的粒子数减少产生烧孔，光越强烧孔越深，如下所示为反转粒子数按速度分布曲线



z

n(z)

  cc

00

（2）对于（b）的情形，仍是满足关系z



c的粒子和频率为0光束发生作用，0



c，这样两束光和同0

但和频率为0光束发生作用的粒子速度也是满足关系z

一部分粒子发生作用导致更多的粒子数减少，产生更大的烧孔，如下所示为反转粒子数按速度分布曲线

c

0

z

P182－1

解：设谐振腔中光束体积为VR，工作物质中光束体积为Va，设谐振腔工作在第l个模式上，工作物质内光子数密度为N，在工作物质外光子数密度为N,有N/N/，则总光子数为VaNVRVaNVaNVRVaN可写出总光子数的速率方程

dVaNVRVaNVaNVRVaN

n21(,0)NVa

dtRl





假设光束直径沿腔长均匀分布，则上式可写为

dNdt

lLln21(,0)NlN

lLl





Rl

可得：

dN

n21(,0)Ndt

l

n21(,0)

c

Rl

lLl



llLl



N



N





NLc

n21(,0)cN

lcNLL

其中 LlLl)

注：有些同学假设谐振腔内折射率均匀分布是不对的，一定要依题列出总光子数微分方程，另外有些同学最后结果错写为 P182－2

解：（1）对中心频率

2

420H

nt＝

21lA212l

dnlc

。 n21(,0cN)N

dtLL

将

0.2,

113108c31085

l10cm,A21,m/s,Hz,210MHz， 0H39

s2410s1.76694.310

23

代入得 214.9271024m,2nt4.0610m

注：有些同学作业结果为nt4.061017cm3，也是正确的（有些被批改错了，重看又改过来了）。

（2）要使模可以振荡，必须g0()n021(,0)gt

即：n021(,0)1.2nt21(,0)

nt21



21(,0)1

211.2H2

()





(0)2()2

2|0|4.4721010Hz

11.2

可得振荡线宽 osc24.4721010Hz8.9441010Hz 纵模间隔 q

cc5.435108Hz 2L2[1.760.10.1)]

osc

164.6有 q

所以有164或165个纵模可以振荡。

P182－4

解：对四能级激光器有 Ept()Vhp将

1

Ad25.027105m2

4

11,p0.8m

c

Ah 121lp121

21

A21

2

420H

2

(3108/1.836)2

2

1

4

31081141.95109

106410

1.8971022m2

ln(10.5)0.347

12

代入可得：Ept0.023J

注：此题《激光原理学习指导》一书的参考答案（习题4.4）为0.073J，应是印刷错误，很多同学作业上抄了此错误结果。

P182－6

解： 设工作物质为四能级，折射率＝1，中心频率处阈值反转集居数密度为nt，激励速率是中心频率处阈值激励速率2倍时反转集居数密度n应满足g

要使模式振荡2nt，

()n021(,0)gtnt21，由n02nt，可得

21(,0)

21

2A212

又21(,0)2g(,0) 可得

80

g(,0)1



g(0,0)2

H

所以 0，即在谱线线宽内，满足振荡条件的频带宽度为50MHz，要使

2

c

50MHz，可得 激光器单纵模振荡，应有纵模间隔q2L

3108

L3m 7

2510

即腔长应小于3m。 P183－7

解：（1）A01时增益曲线及反转粒子数密度的轴向速度分布曲线如下所示

A＝01时增益曲线及反转粒子数密度的轴向速度分布曲线如下所示

A01时，（2）因两束光传播方向不同，消耗不同表观中心频率的反转粒子（高

能级粒子），两束光不存在反转粒子的竞争，因而两束光能共同存在；A01时，两束光形成的烧孔重合，消耗同一表观中心频率的反转粒子（高能级粒子），因而产生竞争，一束光加强，另一束光则会熄灭。

（3）充两种气体时，当A0，则对Ne，，分别在0与2010处形成两个烧孔，而对于Ne，，分别在0与2020处形成两个烧孔。不会共用同一部分反转粒子（高能级粒子），因而不存在竞争不会出现一束光变弱另一束光熄灭的现象。

注：许多同学按《激光原理学习指导》书的参考答案从速度分布进行解释，更易理解。 使用zc(002)/02的Ne22原子以及zc(001)/01的Ne20原子。使用

22

20

zc(002)/02的Ne22原子以及zc(001)/01的Ne20原子，两个模式使用不同

高能级原子。因而不存在竞争不会出现一束光变弱另一束光熄灭的现象。

（4）为使混合气体的增益曲线对称，应使Ne、Ne

20

20

22

各自的中心频率处的小信号

增益系数相等，假设Ne、Ne激光跃迁能级的A21相等，则有

22

2A21ln2000

g101n121n1 2

40D1

1/2

2Aln2000

g202n221n22

40D2

1/2

01) 由g1(

0g002)可得 2(

n10n20



D1D2

对多普勒加宽

2KTT

D202ln27.161070

mcM

1

212

n10 因而有

1.05

n20 即欲使混合气体增益曲线对称，Ne应该多一些。 P183－9

解：（1）输出功率 PATI

20

12

Ad， T0.02， P0.5mw

4

可得：I 由I N



P

1.273105wm2 AT

2INhc ，可得



2I

2.7021015m3 hc

腔内总光子数 nNV5.3107

（2）粗略估算，用小信号增益g0(0)代替g(0，I0)，假设腔长和工作物质长度相等，腔内光子数速率方程为

dn0ncccg(0)cn1nn ndtRLLL

c

0.t

L

又t＝0时，n(0)=1，可得 n(t)e

e310t

6

腔内光子数自1噪声光子/腔模增至稳态n5.3107的时间由上式计算可得：

ln(5.3710)6

5.9310su6 t s 6

310

注：粗略估算可用上面的近似处理，求准确解可参考下面的结果。

P183－11

解：设激光器为均匀加宽单模激光器，驻波腔的腔长为L，透射镜的透射率为T，小信

(q)，号增益系数为gH除透射损耗外的往返净损耗率为a，则2Ta，T1,a1，

1

输出功率为 PATIs(q

2

2gH(ql)

)1aT



设单向运行的环行激光器腔长（指环行一周的光程）和驻波腔的单程腔长相同，透

射镜的透射率、小信号增益系数也和驻波腔相同，除透射损耗外的单程净损耗率为a，

则Ta，稳定时

gHq,Iq



0gHq



1Iq/Is(q)

gt



l

00

gHgH(q)l(q)l

输出功率 PATIATIs(q)1ATIs(q)1

aT

gH(q)

注：很多同学给出的光强表达式不对， IIvqIs(q)1；



在a、T相情况下驻波激光器的输出光强要稍大些。 P183－12

解：(1)已知一反射镜的透射率为0.01，另一输出反射镜的透过率可调设为T，其它损耗可忽略不计，有20.01ln(1T)，由于单程小信号增益g0l0.001800.08较小，满足振荡条件要求

1

ITITIs(0

2

2g(l))0.01T

0.01T

，可得中心频率的2

1 

将Is(0)30W/cm2,l80cm,gH(0)0.001cm1代入可得

120.001800.16IT301＝15T1

20.01T0.01T

注：有些同学上式结果中将0.16写成0.016了，但下面求输出功率时又写对了。

(2)假设光斑面积为1mm2，可得输出功率

0.16PATI0.0115T1

0.01T

将上式对T微分，求

dP

010 得最佳透射率 TmdT

0.01 0.03

0.16

113.5mW 此时有最大输出功率 P0.01150.03

0.010.03

P183－13

解：设激光器为均匀加宽单模激光器，驻波腔的腔长为L，工作物质长度为l，透射镜的透射率为T，除透射损耗外的往返净损耗率为a，中心频率小信号增益系数为gm，实验可测出阈值透射率Tt和最佳透射率Tm， 在阈值透射时有 gml

aTt

（1） 2

在最佳透射时有

(2)

将式（1）代入式（2）可得：(Tma)2(aTt)a (3)

2

Tm

可解得 a

Tt2Tm

2Tm

Tt

2

Tt2Tm(TtTm)再代入式（1）可得 gm

2l2lT(tT2)m

注：此题今年未布置，但有少数几个同学将此题作为11题做了。

P183－14

（1） 输出功率 Ps(ppppt) s

0.024， ppt2.2kw，可得P0.024(102.2)0.187kw

（2）反射镜换成平面镜后，光束有效截面积A发生变化，有

11

Ad2(0.00635)23.167105m2

44

图5.3中工作物质长7.5cm，远小于腔长50cm，忽略其对光束传播的影响，设工作于TEM00模，可得在镜面2上的光斑半径为

1/4

s2

R1L

L

7.128104m

可得在工作物质光束的有效截面积为As221.596106m2

ppppA

由Pp1sppt1可知，斜效率与A成正比，在将镜1换

ppS01pptpptpt

3.167105

0.02419.840.476 成平面镜后，斜效率变为 0.0246

1.59610

注：部分同学计算有效截面积时将A

1/21/2写成L（RL）AL（RL）11，2

部分同学得到的有效截面积是15.96mm2，但计算斜效率时又变成了1.596mm2。

ppA

（3）输出功率Psppt1，其中s001p，0

ppSpt 往返净损耗率 20.0057.50.075，



TT

 2T

0.15

0.667，斜效率s0.024 在T＝0.15时， 0

0.150.0750.1

0.571， 在T＝0.10时，0

0.10.075

0.571

0.0206 可得斜效率s0.024

0.667

阈值输入电功率 ppt

hpV

pF21(,0)s2l

正比于损耗，

在T＝0.15时，

T

0.1125，ppt2.2kw， 2

T

0.0875，ppt1.711kw， 可得T＝0.1时，2

因而在pp10kW时的输出功率 P0.0206(101.711)0.171KW171W 注：上面计算单程衍射损耗时对透射引起的损耗用的是近似表达式光原理学习指导》书给出更准确结果。 单程损耗为－(1/2)ln(1－T1)ail， 计算得到原单程损耗为0.119。

反射镜1透过率改成0.1后的单程损耗'－(1/2)ln(1－T1')ail0.09。 阈值输入电功率p'ptppt('/)，计算得到p'pt1.67kW

T

，很多同学按《激2

AIsT1'T1'ppt

另＝0.021 s'

2p'ptpptT1

s

可得输出功率Psppt(

ppp

'

pt

1)175W

但绝大部分同学抄参考书时将公式也错写成：Pp(

pptp'pt

1)了，按参考书上的公式

求解此题的同学中仅一人将公式Psppt(

pptp

'

pt

1)中多的ｔ划去了！

P184-15

解：对激光线宽进行数量级的估算，假设输出激光波长为850nm，功率为5mw，激光二极管一个端面的反射率r～0.3，假设平面反射镜为全反镜，其它损耗忽略不计，则有

由公式

可得：

组成外腔使腔长大大增加，从而大大减小了无源腔的谱线宽度，由此组成的外腔半导体激光器的线宽极限约为几十Hz量级。 P184-16

解：设无源腔的相邻纵模频率差为

有源腔的相邻纵模间的拍频频率为

有 由公式 可得 因而有

可得：

c31080.68

c310Hz6

2R2L2(3.5200100.1)

1

000

qq1q

qq1-q

00000

qq(q1q)(q)()(1qq1q1qq)

qqHq0

q1q1Hq10

P207－2

解：放大增益为

G

(1s)2ssin2[(c)]

v

(1r1)(1r2)Gs

设r1r2r，则放大增益为

G

(1rGs)4rGssin[(c)]

v

2

2

(1r)2Gs

可知放大增益的最大值和最小值分别为

Gmax

(1r)2Gs(1r)2Gs

 Gmin

(1rGs)2(1rGs)2

由题意可知放大器小信号增益的波动不超过10%，则

(1r)2Gs(1r)2Gs



GmaxGmin(1rGs)2(1rGs)2

10% (1r)Gss(GmaxGmin)1[(1r)G2]22(1rGs)(1rGs)2

化简得

r2Gs240rG10

其中Gs25dB316.23 解方程可得r7.91105。

P207－5

解：（1）（2）

据题意知：

当I01W/cm2时，G10dB10； 当I02W/cm2时，G9dB100.97.94； 又因为GG0exp[(G1)

I0

]，则 Is()

(101)10

10Gexp[]Is()



7.94G0exp[(7.941)2]Is()

解方程组得：

2

Is()21.22W/cm

0

G15.2911.84dB

00

又因为G0exp[gH()llnG0ln15.292.728 ()l]，则gH

（3）由于

gH()dI(z)

I(z)dz1

Is()

因为工作物质增益系数随着光强的增大而不断减小，则当I0Is()时，必有，此时方程可简化为 I(z)I()s

()Is()dI(z)gH

 I(z)dzI(z)

即

0dI(z)gH()Is()dz

积分得I(l)I0gH()Is()l。

输入光越强，自放大器提取的光功率越大。当I0Is()时单位面积上提取的光功率达到最大，为

PmaxA[I(l)I0]A[gH()Is()l]12.72821.2257.8(W)

g()dI(z)（4）由得

I(z)dz1

Is()

ln

当P则

I(l)I(l)I00

gH()l I0Is()

2

，gH()l2.728，

11

Pmax57.828.9W时I(l)I028.9。又Is()212./Wcm22

ln

I(l)28.9

2.728 I021.22

解得

I(l)

3.92结合I(l)I028.9，进一步解出输入光强为 I0

I09.9W/cm2

P207－6

解：在激光器中（除输出镜透射损耗外的损耗忽略不计），光经过工作物质光强增强，经过输出镜光强减弱，稳定时满足经过一次往返光强不变(即稳定运转时的自洽条件）。

（1）依题画出如下图所示的单向输出驻波腔激光器，

II

I1I1

I2

I2

L

Z

驻波腔激光器腔内光强示意图

可列出如下关系式

0gq)dI(z)H(

=I(z)

I(z)I(z)dz

1

Is(q)

（1）

dI(z)

=(-)I(z)

dz

由（1）式和（2）式可得 则

由（1）式和（4）式可得 dI(z)



gH(q)

I(z)I(z)1

Is(q)

（2）

dI(z)I(z)

dz

=0

（3）

2

I(z)I(z)IC

（4）

解得

dz

=I(z)

0gH(q)2I(z)IC/I(z)1

Is(q)

（5）

I2lnI1

2

I2I11IC1



Is(q)Is(q)I1I2

0

=gH(q)l（6）

同理可解得

I1lnI2

2

I1I21IC10

=gH(q)l

Is(q)Is(q)I2I1（7）

（6）式和（7）式相加可得

I2

0gH(q)l

Is(q)

1e2



 （8）

由此可得输出功率

0 gH(q)l

PATI2ATIs(q)

1e2







（9）

T

在T

2

则 0

g(q)lT/2H0 PATIs(q)AIs(q)gH(q)lT/2T 

（2）对附有光隔离器的单向运转环形激光器，假设只有I+方向运行的光，有 0

g(q)dI(z)H =I(z)

I(z)dz（10） 1

Is(q)

可得



110

dI(z)=gH(q)dz （11） I(z)Is(q)

则

Il

lnI0

IlI00=gH(q)lIs(q) （12）

，代入（12）式可得

gH(q)l

Is(q)1e



I=Ie稳定时有0l

Il

由此可得输出功率





（13）