希腊数学兴衰原因

述希腊数学兴衰的原因及其特色和局限性

希腊数学发展的历史可分为三个阶段：第一阶段从公元前700年到公元前323年，又称为古典时期或雅典时期，即从泰勒斯的伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止；第二阶段是亚历山大时期，从公元前323年起到公元前30年；第三阶段从公元前30年到公元600年，又称为亚历山大后期，即罗马人统治下的时期。下面我将从各个发展阶段述说希腊数学兴衰的原因及其数学特色和局限性。

一、 兴起

原 因：希腊数学的兴起正是在雅典时期，该时期人们在学术上的辩论风气较浓，唯理

论的学术风气很盛，另外，人们信奉多种宗教，思想自由，可以充分发挥想象力，有助于科学和数学从宗教的神学中分离出来，所以一时学派林立，百花齐放，出现了泰勒斯为代表的伊奥尼亚学派以及毕达哥拉斯学派和其他学派。 特 点：从初始概念和公理出发，诞生了演绎体系的论证数学（或几何），故从研究思

想方法看，希腊人重于理论，善于使用形式逻辑，后来的《几何原本》为典型代表。

1、 泰勒斯学派（伊奥尼亚学派）

泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。

他曾发现了不少平面几何学的定理，诸如：“直径平分圆周”、“三角形两等边对等角”、“两条直线相交、对顶角相等”、“三角形两角及其夹边已知，此三角形完全确定”、“半圆所对的圆周角是直角”等，这些定理虽然简单，而且古埃及、古巴比伦人也许早已知道，但是，泰勒斯把它们整理成一般性的命题，论证了它们的严格性，并在实践中广泛应用。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

2、 毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯(公元前560-前500), 是论证数学的另一位创始人。该学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理) 闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。

该学派最大的特点是宣称宇宙万物的主宰者(上帝) 用数来统御宇宙, 认为万物包含数, 即:“万物皆数”（仅指整数和分数）。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。

毕氏学派很注意数与形的结合，他们发现了“形数”的奥秘，“形数”是毕氏学派“数是万物之本”的重要组成部分，并用它去说明“一切形体都是由数派生出来的”这一哲理，虽然他们的观点存在不当之处，但从数学角度讲，毕氏却奉献出一颗璀璨的数学明珠。然而由于之后的“无理数”的发现，动摇了毕氏学派的“万物皆数”的哲学基础，从而发生了数学史上的发现无理数惨案，并由此产生了第一次数学危机。

第一次数学危机激起了许多数学家研究解决，后来由柏拉图的学生欧多克索斯用公理化方法修改了量度和比例理论微妙的处理与解决了可公度和不可公度，其方法被欧式

《几何原本》收录。直到19世纪被两位德国数学家等人建立了现代实数理论后才彻底解决。第一次数学危机告诉我们推理和证明才是可靠的，从此希腊开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理建立了几何体系，并坚持合乎逻辑的演绎推理，建立完备的公理体系，使数学成为一门抽象的演绎性的科学，为现代科学奠定了基础。

3、 其他学派

希腊学派林立，分别有以芝诺为代表的埃利亚学派，他研究了物质世界的连续性、运动性和无限性等性质，并创造了“辨证术”；以德谟克利特为代表的原子论学派，提出“物质世界是由大量不可分割的原子所组成”的观点，并由此观点计算出某些图形的面积和体积；以希比亚斯和安提丰为代表的诡辩学派，提出限制尺规为作图工具，主要研究了几何三大作图问题；以柏拉图为代表的柏拉图学派特别推崇几何，主要研究无理数理论、正多面体和圆锥曲线等；以亚里士多德为代表的亚里士多德学派讨论过数学的一些基本原理，成员欧德莫斯写过的《算术史》、《几何学史》、《天文学史》成为最早科学史的先驱。

这些学派在数学上的贡献主要有：几何三大作图问题，分别是倍立方体、化圆为方和三等分角，此时还产生圆锥曲线论及三次、四次代数曲线等数学分支。还有早期的无限概念，他们接触到了无限性和连续性等概念人，如芝诺四个著名的悖论：两分法，阿基里斯追不上乌龟，飞箭不动说和运动场问题。还有数学中逻辑演绎化的发展，归功于柏拉图和亚里斯多德，柏拉图坚持准确的定义, 清楚的假设和严格的推理, 重视数学的作用, 促进了数学的科学化. 最早使用反证法。亚里斯多德是形式逻辑的奠基人，著名的“三段论”的创始人。为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。

二、全盛

特 点：亚历山大时期是古希腊数学的全盛时期，该时期的特点是几何脱离哲学而独立

成为真正的演绎科学，公理化方法在几何中取得相当不错的成就，代数也取得一些成就，希腊数学达到高峰，杰出的数学家有欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯。

1、 欧几里得的《几何原本》

它是古希腊数学成果、思想、方法和精神的结晶。是整个科学史上发行最广使用时间最长的书，成为数学的“圣经”。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。

《几何原本》主要内容有平面几何、初等数论、无理量理论、立体几何。其优点有对命题作了公理化的演绎。从定义，公理、公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。一直以来成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。不足是很多定义叙述不准确，较含糊；有些证明缺少理论依据；第5公设表述不够简明直观等。

2、 数学之神阿基米德

阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。在应用数学方面，他提出了著名的杠杆原理、阿基米德浮力定理；在几何方面，他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，采用了“穷竭法”、“平衡法”已经包含积分学的初步思想。其他数学成就是计算圆周率、利用阿基米德螺线的性质去解决三等分任意角和化圆为方的问题。

3、阿波罗尼奥斯

其主要贡献是对圆锥曲线进行了深入研究，完成了传世著作《圆锥曲线论》，并且他的圆锥曲线的切线问题成为微积分发展的动力之一，对17世纪数学发展起了重要作用。

欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯的成就，标志着希腊几何学的顶峰，他们凭着有限的技巧，已经得到使用这些技巧所得到的绝大多数成果。

三、衰落

特 点：亚历山大后期是古希腊数学的衰落时期。这时期特点是，几何学主要是在《几

何原本》等著作的基础上做增补工作在代数与三角学方面成就大一些。著名数学家有海伦、托勒密、梅内劳斯、塞瓦、丢番图、帕普斯和希帕蒂娅。

海伦的主要贡献是在《度量论》中给出三角形面积计算公式，在《镜面反射》中发现“光反射定理”；托勒密定理常选编在古今几何学课内外书中，用法甚广；梅内劳斯定理可推广，如将三角形推广到凸多边形、空间图形和球面三角形等，梅氏在三角学方面被称为希腊三角术顶峰，又是世界上首次明确定义球面三角形表达者；希腊数学家丢番图将符号引入代数，对不定方程作了广泛、深入的研究，使算术和代数成为独立的学科，被称为“代数学之父”；帕波斯的《数学汇编》是古希腊数学的安魂曲；希帕蒂娅注释了丢番图的《算术》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，是历史上第一位女数学家，可由于其不信奉基督教，惨遭杀害，她的死也标志着希腊数学的衰落。

尽管希腊数学成就颇多，其也是存在缺点和局限性的，从各学派研究数学方面的特点来看，可总结出如下几点局限性：

第一个局限性是，不能掌握无理数的概念，消极逃避；

他们不能掌握无理数，对其心存疑惧，消极逃避，还发生了数学史上的无理数惨案。这也迷糊了后世好几代人的视野，他们看不出几何与算术在概念上和运算上的相应之处，硬把数和量区别开来，结果把几何和代数看成是不相干的学科。

第二个局限性是，过于重视几何，而偏废了算术和代数；

与第一个局限性紧密相关，希腊人不能掌握无理数的概念，从而使他们转向更加强调几何，专注于几何，因为几何思想可以让他们免于明确碰到无理数是否为数这个问题。这必定限制了算术和代数的发展，如果他们能正视无理数，也许就能推进代数与算数，甚至不阻碍后代在算术与代数方面的发展。

第三个局限性是，过于注重逻辑和严密性；

希腊研究学者坚持概念必须明确，必须无矛盾，坚持必须要有准确的概念和证明这一“美德”，从数学的创造发明来看却是个缺陷。试想如果希腊人不那么关心逻辑和严密性，他们也许会向巴比伦人或后继文明中的人那样无意中承认并使用无理数。

第四个局限性是，把几何图形限制于尺规作图；

希腊人强调几何图形必须是存在的，强调尺规作图的可信性。但由于禁止使用其它器具，将抽象思维与实用分开，一定程度上限制了数学的发展，它狭隘了人们的视界，是人们的头脑接受不到新思想和新方法，

第五个局限性是，希腊的哲学思想限制了数学发展；

在整个古典时期，他们相信数学事实不是人创造的，而是先于人存在的。人只要肯定这些事实并记录下来就行了，但对于数学性质的这种信念并没有为人所赞同，他们认为只有那些限定而分明的东西才有其本性可言。