第十七章 反比例函数教案全章

第十七章 反比例函数

17．1．1反比例函数的意义

一、教学目标

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点

1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 3．难点的突破方法：

（1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解

（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式y =

k

，等号左边是函数y ，等x

号右边是一个分式，自变量x 在分母上，且x 的指数是1，分子是不为0的常数k ；看自变量x 的取值范围，由于x 在分母上，故取x ≠0的一切实数；看函数y 的取值范围，因为k ≠0，且x ≠0，所以函数值y 也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y ＝kx （k ≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。

（3）y =

k -1

（k ≠0）还可以写成y =kx （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 x

三、课堂引入

1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 四、例习题分析

例1．见教材P47

分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设y =常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。

例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）y =（6）y =

k

，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出x

x 532 （2）y =- （3）xy ＝21 （4）y = （5）y =- 3x +22x x

1

+3 （7）y ＝x －4 x

k

（k 为常数，k ≠0）x

1+3x

的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是y =，

x

分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成y =分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式

例2．（补充）当m 取什么值时，函数y =(m -2) x 分析：反比例函数y =

3-m 2

是反比例函数？

k -1

（k ≠0）的另一种表达式是y =kx （k ≠0），后一种写法x

中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。 解得m ＝－2

例3．（补充）已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5

（1） 求y 与x 的函数关系式

（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值

分析：此题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k ，要用不同的字母表示。

略解：设y 1＝k 1x （k 1≠0），y 2=k 2＝2，则y =2x +

k 2k

（k 2≠0），则y =k 1x +2，代入数值求得k 1＝2， x x

2

，当x ＝－2时，y ＝－5 x

五、随堂练习

1．苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为

2．若函数y =(3+m ) x 8-m 是反比例函数，则m 的取值是3．矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为 4．已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是， 当x ＝－3时，y ＝ 5．函数y =-

2

1

中自变量x 的取值范围是x +2

六、课后练习

已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x ＋1成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y 的值

答案：y ＝4

17．1．2反比例函数的图象和性质（1）

一、教学目标

1．会用描点法画反比例函数的图象

2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质

3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法 二、重点、难点

1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质

2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 3．难点的突破方法：

画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数y =

k

（k ≠0）自变量的取值范围是x ≠0，所以x

取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。

在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。 四、课堂引入

提出问题：

1．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？

2．画函数图象的方法是什么? 其一般步骤有哪些？应注意什么？ 3．反比例函数的图象是什么样呢? 五、例习题分析

例2．见教材P48，用描点法画图，注意强调：

（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴

例1．（补充）已知反比例函数y =(m -1) x 指出在每个象限内y 随x 的变化情况？

分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y =kx （k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件

略解：∵y =(m -1) x m

2

m 2-3

的图象在第二、四象限，求m 值，并

-1

-3

是反比例函数 ∴m 2－3＝－1，且m －1≠0

又∵图象在第二、四象限 ∴m －1＜0 解得m =±2且m ＜1 则m =-2

例2．（补充）如图，过反比例函数y =

1

（x ＞0）的图x

象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）

（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2

（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定

k

（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，x

1

与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S =xy =k ，由此可得S 1＝S 2 ＝ ，故选B

2

分析：从反比例函数y =五、随堂练习

1．已知反比例函数y =

3-k

，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 x

（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数y ＝－ax ＋a 与y =

-a

（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

x

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数y =

k

（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、x

y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 七、课后练习

1．若函数y =(2m -1) x 与y =2．反比例函数y =-

3-m

的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 x

2，当x ＝－2时，y ＝当x ＜－2时；y 的取值范围是； x

a 2-6

当x ＞－2时；y 的取值范围是

3． 已知反比例函数y =(a -2) x

求函数关系式 答案：3．a =-5, y =

，当x >0时，y 随x 的增大而增大，

-5-2

x

17．1．2反比例函数的图象和性质（2）

一、教学目标

1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法 二、重点、难点

1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 2．难点：学会从图象上分析、解决问题 3．难点的突破方法： 在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。

三、课堂引入

复习上节课所学的内容 1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？ 四、例习题分析

例3．见教材P51

分析：反比例函数y =

k

的图象位置及y 随x 的变化情况取决于常数k 的符号，因此x

要先求常数k ，而题中已知图象经过点A （2，6），即表明把A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k ，这样解析式也就确定了。

例4．见教材P52

例1．（补充）若点A （－2，a ）、B （－1，b ）、C （3，c ）在反比例函数y =

k （k x

＜0）图象上，则a 、b 、c 的大小关系怎样？

分析：由k ＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，因为A 、B 在第二象限，且－1＞－2，故b ＞a ＞0；又C 在第四象限，则c ＜0，所以 b ＞a ＞0＞c

说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y 随x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k ＜0时y 随x 的增大而增大，就会误认为3最大，则c 最大，出现错误。

此题还可以画草图，比较a 、b 、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。

例2． （补充）如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y =A （－2，1）、B （1，n ）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围

分析：因为A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式y =-

m

的图象交于x

2

，又B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出x

n 的值，最后再由A 、B 两点坐标求出一次函数解析式y ＝－x －1，

第（2）问根据图象可得x 的取值范围x ＜－2或0＜x ＜1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。 五、随堂练习

1．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则函数y =

kb

的图象在（ ） x

（A ）第一、三象限 （B ）第二、四象限 （C ）第三、四象限 （D ）第一、二象限

k 2+1

2．已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线y =-上，则下列关系

x

式正确的是（ ）

（A ）y 1＞y 2＞y 3 （B ）y 1＞y 3＞y 2 （C ）y 2＞y 1＞y 3 （D ）y 3＞y 1＞y 2 六、课后练习

1．已知反比例函数y =

2k +1

的图象在每个象限内函数值y 随自变量x 的增大而减小，x

且k 的值还满足9-2(2k -1) ≥2k －1，若k 为整数，求反比例函数的解析式

2．已知一次函数y =kx +b 的图像与反比例函数y =-点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2 ， 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB 的面积

答案：

1．y =

2．（1）y ＝－x ＋2，（2）面积为6

8

的图像交于A 、B 两点，且x

135或y =或y = x x x

17．2实际问题与反比例函数（1）

一、教学目标

1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力 二、重点、难点

1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式 3．难点的突破方法： 用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。 三、课堂引入

寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，

小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理

吗？

四、例习题分析

例1．见教材第57页 分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S ，深度为d ，满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，由题意知S 是函数，d 是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S 的值，求自变量d 的取值，（3）问则是与（2）相反

例2．见教材第58页

分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v 和时间t ，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t 取最大值时，函数值v 取最小值是多少？

例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

分析：题中已知变量P 与V 是反比例函数关系，并且图象经过点A ，利用待定系数法可以求出P 与V 的解析式，得P =

96

，（3）问中当P 大于144千帕时，气球会爆炸，即V

2

立方米 3

当P 不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随V 的增大而减小，可先求出气压P ＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于

五、随堂练习

1．京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h）之间的函数关系式为

2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x 人完成这项任务，试写出人均报酬y （元）与人数x （人）之间的函数关系式

3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V （m 3）的反比例函数，当V ＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V ＝2时氧气的密度ρ 答案：ρ＝

14. 3

，当V ＝2时，ρ＝7.15 V

六、课后练习

1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分）

（1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

答案：v =

3600

，v ＝240，t ＝12 t

2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完. 若每天的耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天 （1）则y 与x 之间有怎样的函数关系？ （2）画函数图象

（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

17．2实际问题与反比例函数（2）

一、教学目标

1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型 二、重点、难点

1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题 3．难点的突破方法：

本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发，按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。 三、课堂引入

1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？

2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？ 四、例习题分析

例3．见教材第58页

分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F 是自变量动力臂l 的反比例函数，当l ＝1.5时，代入解析式中求F 的值；（2）问要利用反比例函数的性质，l 越大F 越小，先求出当F ＝200时，其相应的l 值的大小，从而得出结果。

例4．见教材第59页

分析：根据物理公式PR ＝U 2，当电压U 一定时，输出功率P 是电阻R 的反比例函数，

2202

则P =，（2）问中是已知自变量R 的取值范围，即

R

110≤R ≤220，求函数P 的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小， 得220≤P ≤440

例1．（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克) 与时间x(分钟) 成为正比例, 药物燃烧后，y 与x 成反比例(如图) ，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

(1)药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为, 自变量x 的取值范为； 药物燃烧后，y 关于x 的函数关系式为 .

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效? 为什么?

分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y 是x 的正比例函数，设y =k 1x ，将点（8，6）代人解析式，求得y =

3

x ，自变量0＜x ≤8；药物燃烧后，由图象看出y 是x 的反比例4

函数，设y =

k 248，用待定系数法求得y =

x x

48

，求出x ＝30，根据反比例函数的图象x

3

x 中，得x ＝4，即当4

（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y ＝1.6代入y =

与性质知药含量y 随时间x 的增大而减小，求得时间至少要30分钟

（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y ＝3时，代入y =

药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y ＝3时，代入y =

48

，得x ＝16，持续时间为16－4＝12＞10，x

因此消毒有效 五、随堂练习

1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数x 之间的函数关系是（ ） （A ）y =

300300

（x ＞0） （B ）y =（x ≥0） x x

（C ）y ＝300x （x ≥0） （D ）y ＝300x （x ＞0）

2．已知甲、乙两地相s （千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a （升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y （升）与汽车的行驶速度v （千米/时）的函数图象大致是（ ）

3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y （m ）是面条的粗细（横截面积）S （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示：

（1）写出y 与S 的函数关系式； （2）求当面条粗1.6mm 2时，面条的总长度是多少米？

七．课后练习

一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a 米3/分，且排水时间为5～10分钟

（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围； （2）请画出函数图象

（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？