电动力学习题集答案-1
电动力学第一章习题及其答案
1. 当下列四个选项:(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普
适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立.
2. 若a为常矢量, r(xx')i(yy')j(zz')k为从源点指向场点的矢量,
E0,k为常矢量,则
dr222r(ra)=(ra)(r)a)drra2rra2ra,
2
rijkx-x'y-y'z-z'r
(xx')(yy')(zz')ijk
2
2
2
2(xx')(xx')(xx')2(yy')2(zz')2,同理,2222(xx')(yy')(zz')
(yy')(zz')222222(xx')(yy')(zz'),(xx')(yy')(zz')
exexex
(x-x')(y-y')(z-z')0, rxyz r3,
xx'yy'zz'
(ar)a(r)0
,
r3
r
()rrrr2r
r
r
r0
ka,
,(ar)
r
r
[ax(x-x')]
x
i
[ay(y-y')]
y
j
[az(z-z')]
z
rrr3 ,(A)rrrr
ik3
[E0sin(kr)]kE0cos(kr), 当r0时,(r/r)(E0er)
(r)ikE0exp(ikr), [rf(r)][rf(r)]3f(r)rdfdr
3. 矢量场f的唯一性定理是说:在以
s为界面的区域V内,若已知矢量场在V内各点的旋度和散
f在V
度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则
t
内唯一确定.
4. 电荷守恒定律的微分形式为J0,若J为稳恒电流情况下的电流密度,则J满足
J0.
5. 场强与电势梯度的关系式为,E.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为
13PrrP
Pr/(4r),则该点的场强为E.
30
40
r5
r3
6. 自由电荷Q均匀分布于一个半径为a的球体内,则在球外(ra)任意一点D的散度为 0,
内(ra)任意一点D的散度为 3Q/4a3.
arbr
7. 已知空间电场为E23(a,b为常数),则空间电荷分布为______.
rr
ar1r1
3E2b
rrrr
ar1ar2rr2
0E0(2b)0[24b(r)]
rrrr3
3a2rra
0[244b(r)]0[24b(r)]
rrr
8. 电流I均匀分布于半径为
a的无穷长直导线内,则在导线外(ra)任意一点B的旋度的大
小为 0 , 导线内(ra)任意一点B的旋度的大小为0I
/a2.
9. 均匀电介质(介电常数为)中,自由电荷体密度为f与电位移矢量D的微分关系为
P, 束缚电荷体密度为与电极化矢量的微分关系为PP,则DfP
P与f间的关系为P
0
f
.
10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化,极化矢量为P,若在
介质中挖去半径为R的球形区域,设空心球的球心到球
P(P2nP1n)
(Pcos0)
PR
R
面某处的矢径为R,则该处的极化电荷面密度为
PR/R.
11. 电量为
q
的点电荷处于介电常数为
的均匀介质中,则点电荷附近的极化电荷为
(0/1)q.
12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为Jf,磁化电流密度为JM,磁导率,磁场强度为H,磁
化强度为M,则HJf,MJMJM与Jf间的关系为JM/01Jf.
13. 在两种电介质的分界面上,D,E所满足的边值关系的形式为nD2D1f,
nEE0.
2
1
14. 介电常数为的均匀各向同性介质中的电场为E. 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中
电场强度大小为E. 15. 介电常数为
的无限均匀的各项同性介质中的电场为E,在垂
直于电场方向横挖一窄缝,则缝中电场强度大小为
E0E缝D2nD1n0
E缝E/0,.
EE0EEsin011122
16. 在半径为R的球内充满介电常数为的均匀介质,球心
处放一点电荷,球面为接地导体球壳,如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质,则锥体中的场强与介质中的场强之比为_1:1_.
D2nD1n0E1E1E2E2E1:E21:1
17. 在半径为R的球内充满介电常数为的均匀介质,球心处放一点电荷,球面为接地导体球壳,
如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质,锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质附近导体壳上的自由电荷密度之比为0
/.
D2nD1n0内球面上D1D212
1:20:
00E1E1E2E2
18. 在两种磁介质的分界面上, H,B所满足的边值关系的矢量形式为
nH2H1f
,nB2B10.
19. 一截面半径为b无限长直圆柱导体,均匀地流过电流I,则储存在单位长度导
体内的磁场能为__________________.
B2r0IW
02
2
bB
b0Ir2b, 2rdr
b0
B2rdr
2220Ir24
004b
0I2r3dr4b4
0I2b416b4
0I2
20. 在同轴电缆中填满磁导率为1,2的两种磁介质,它们沿轴各占一半空间。设电流为 I(如图),
则介质1中和介质2中离中心轴r的磁感应强度分别为_______ 。
解:由边界条件可知,B和H必沿着圆周切线,并有1H12H2,又因为
rH1rH2I,故有rH1r
H1
2I1212
H1I
12I12
B1nB1
H1t0
B1B2
21. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为:
S
dsd
dt
v
wdV
v
fvdV,则该表达式中s,w,fv
wdVfvdV,则该表
v
的物理意义分别为: 电磁场的能流密度,能量密度,场对V内电荷作功的功率密度.
d
22. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为: sd
Sdt
v
达式中三大项的物理意义分别为:单位时间通过界面S流入V内的能量, V内电磁场能量增加率,场对V内电荷作功的功率.
23. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的微分形式为:
物理量
sw/tfv,则该表达式中
,H的关系为sEH,w与E,D,H,B的关系为
DBw, 与的关系为fvE,JfvJE EH
ttt
24. 设半径为R,高为l的圆柱体磁介质(磁导率为),处于均匀磁场B中均匀磁化,B与柱轴
与
平行,求该圆柱体磁介质中的总磁能(忽略边缘效应)_________.
均匀磁化在圆柱体磁介质表面,产生垂直于B的圆形磁化面电流。设n沿着界面R方向。
s
E
B2nB1n0H2tH1t1B2R2l22
HWHRl 2
0220
B
B内
25. 同铀传输线内导线半径为a,外导线半径为b,两导线间为均匀绝缘介质.导线载有电流I,两导线
间的电压为U.若忽略导线的电阻,则介质中的能流为UI.
s的大小为UI/(2r2lnb
),传输功率
二、已知P为电偶极子的电偶极矩,r为从电偶极子中心指向考察点P的矢径,试证明电偶极子在远
处P点所激发的电势为(r)
解、
Pr4r3
,并求出r处的P点所产生的电场强度E(r)。
q4r
q4r
q(rr)qlcos
4rr4r2
Pr
4r3
(1分) P为常矢
PrPr13 4r34r
PrE4r3
E
3PrrP 53rr
三、已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)(x',t)x'dV',利用电荷守恒定律
V
P3Prr1
4r34r54
dp(t)(x',t)'
J(x',t)dV'。 J(x',t)0,证明p(t)的变化率为
Vdtt
证明:由p(t)
dp(x',t)(x',t)
x'dV'Vdtt ''
[J(x',t)]x'dV'[J(x',t)](x'iy'jz'k)dV'
V
V
(x',t)'
及电荷守恒定律(x',t)x'dV'J(x',t)0得V
t
又因为
Jy'(x',t)dV'j; 同理 [J(x',t)]y'jdV'V'V'
'
[J(x',t)]z'kdV'Jz'(x',t)dV'k;
'
['J(x',t)]x'idV''(J(x',t)x')dV'iJx'(x',t)idV'VVV
x'J(x',t)ds'iJx'(x',t)dV'iJx'(x',t)dV'i
SVV
(J(x',t)ds'Jn(x',t)ds'0)
''
[J(x',t)]x'(J(x',t)x')x'J(x',t)
''
(J(x',t)x')iJ(x',t)(J(x',t)x')Jx'(x',t)
'
dp(x',t)
故有
dt
另解:
V'
V
J(x',t)dV
V'
dp(x',t)(x',t)'
x'dV'[J(x',t)]x'dV'VV dtt'[J(x',t)x']['J(x',t)]x'J(x',t)('x')
'又x'(ijkx'iy'jz'k)
x'y'z' iijjkk
''
[J(x',t)x'][J(x',t)]x'J(x',t)(iijjkk)[J(x',t)]x'J(x',t)
dp(x',t)'[J(x',t)x']dV'J(x',t)dV'
VVdt
'
ds[J(x',t)x']J(x',t)dV'
VVJ(x',t)dV'(J(x',t)ds'Jn(x',t)ds'0)
'
V
长 沙 理 工 大 学 备 课 纸
四、 对于稳恒磁场,在某均匀非铁磁介质内部, 磁化电流密度为JM,自由电流密度为Jf
试证明JM与Jf间的关系为JM/01Jf.
,磁导率,
1111
证明:JMMBH
00
1H1Jf
00
第二章 静电场
练习一
1. 有导体存在时的唯一性定理是说: 若给出介质中自由电荷的分布,给定每个导体上的__电势
i__或每个导体上的__Qi _,以及(包围所有导体的)界面S上s或ns,则S内静电
场E被唯一确定.
2. 无导体存在时的静电学问题的唯一性定理为: 设空间区域V可以分为若干小区域Vi,每个小区
域Vi充满均匀介质i,若给出V内自由电荷的分布,同时给出V的界面S上的______或_______,则V内静电场E被唯一确定. 或
s
n
s
练习二
1. 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中,导体球外为真空.试用分离变量法,求导体球外的
电势、场强和导体球面上的自由电荷面密度. 解: 1.求电势
设未放导体球时,球心处原有电势为0,则有
20 0,ERcos0R0R
(R)anRnbnR(n1)Pn(cos)RR0 由
R
n
E0xE0Rcos
anRnP)E0Rcos n(cos
n
比较方程两边的系数得:a1E0,an0(n1)。
(R)E0RcosbnR(n1)Pn(cos)
n
RR0
R0
0,E0R0cos
n
bnR0
(n1)
Pn(cos)0
3, E0R0b120b1E0R0bn0(n1),
R0
ER
(R)E0Rcos020cos
R
3
RR0
不难看出,第一项是匀强电场产生的势。第二项是球面上非均匀分布的电荷(电偶极子)产生的势,; 2) 电荷分布
3
2E0R0
f00(E0coscos)RR30E0cos RR0
R
3)球外场强
R03(R)E0RE0R
R
RR0
E0RE0R3E0RRE03333E0RR EE0RR03E0R03E0R0345RRRRR
3
R0
E033E0coserE0
R
ezcosersine
故上式也能写为
3333
R0R03E0R03E0R0E(13)E0ezcose(1E(cosesine)coser0rr
RR3R3R3
332R0R(13)E0coser(103)E0sine
RR
2. 半径为R0、电势为0的导体球(其与地间接有电池)置于均匀外电场E0中,球外真空, 试用
分离变量法,求电势、导体面上的电荷面密度及场强. 解: 1.电势
设未放导体球时,球心处原有电势为0,则有
2
00,R0
R
0E0Rcos
上式的通解为 (R)anRnbnR(n1)P)n(cos由 得
R
RR0
n
0E0x0E0Rcos
n
anRnP)0E0Rcos n(cos
比较方程两边的系数得:a00,a1E0,an
0(n0,1)。
RR0
(R)0E0RcosbnR(n1)Pn(cos)
n
R0
0
(n1)
0E0R0cosbnR0
n
Pn(cos)0
0
b0b
0,E0R0120, bn0(n0,1), R0R0
3
3
b0(00)R0,b1E0R0
(00)R0ER(R)0E0Rcos020cos
RR
RR0
因此,不难看出,第一、二项是匀强电场产生的势,第三项是球面上均匀分布的电荷产生的势,第
四项是球面上非均匀分布的电荷(电偶极子)产生的势。 2) 电荷分布
()R2ER
f00(E0cos0200030cos)
RR0RR
3)球外场强
3
RR0
30E0cos
0(00)
R0
(00)R0R03
(R)0E0R3E0R
RR
RR0
(00)R0RER()RRER3E33000000RR EE0RRER000R3R3R3R3R4
3
(00)R0R3ERRE()RRR0300000 E0RE3EcoseE000r05333
R3RRRR
33
(00)R0R2R0R0或E(1)Ecose(1)Esine0r0
R3R3R3
3、半径为R的空心带电球面,面电荷密度为f0cos(0为常量),球外充满介电常数为的均匀介质,求球内外的电势、场强.
解: (1)因球内外电荷密度均为0,故有
10
2
20
2
rRrR(1)
; (2)
由题意,边界条件为:
1R2R
12
0rrR
(3)
0cos
R
2
(4)有限0
;
自然边界条件为:1
2
r0r
(5)(6)
由条件(5)和(6)得 n1n0anrPn(cos)
(n1)brPn(cos)2nn0
由(3)得
rRrR
(7)(8)
n0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)
b1
cosbnR(n1)Pn(cos)a1RcosanRnPn(cos) 2Rn1n1
b1/R2a1R(n1)
bnRnan0R
n1n1
(9a)(10a)
由(4)得
bn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)0cos
n
n
2b1
0a10R3
(n2)bn0nRn1an0(n1)R 由(10)得,n1
n1n1
(9b)(10b)
,
R(n1)bnRnan0R(n1)
(n2)n1
(n1)RbnRa0(n1)R(n2)n0n
Rn
0nR
n1
(n1)0n
R
2
0
当n1时,有anbn0
由(9)得,当n
0
ab1a1R3120 1时,有2b1
030a1b0R31R20
故解为
0rcos0rez
1a1rP1(cos)rR2200
33
RreRcos00z2rR23
2020rr
0(rez)0
Eeecosesine11zzr2020
0
或E(cosesinerR1r)
20 333RR(rez)3(rez)r0R3(rez)rezreE2203z0[][3]20r2020r3r5r5r
33
3cosecosesine2cosesineRRrrr0或E0
[rR23332020rrr
3. 在两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内有一点电荷Q,它到两个平面的距离为
a和b
,其坐标为(a,b,0),那么当用镜像法求空间的电势时,其镜像电荷的数目为______,这
时所围成的直角空间内任意点(x,
3,
Q40(
1
y,z)的电势为______.
1
xa2yb2z2
1
xa2yb2z2
1
xa2yb2z2xa2yb2z2
4. 两个无穷大的接地导体平面分别组成一个为45、60、
900两面角,在两面角内与两导体平面等距离处置一点电荷Q,则在这三种情形下,像电荷的个数分别为 解:为使两导体平面的电势为0,必须每隔2放置一对异号境像电荷,且在xr处,必须放置一对,这样在3600的圆周上必须放置3602个电荷,其中境像电荷为3601.
2
5. 一电量为q的点电荷在两平行接地导体平面中间,离两板距离均为a,则像电荷的个数为
_______. 答:无穷多个
6. 有两个电量为q的点电荷A和B,相距2b,在它们的联线的中点放一半径为a的接地导体球(b>a),
则每一个点电荷受力大小为_______.
2q1a/ba/b答:[2] 2222404b(ba/b)(ba/b)
练习三(做7,8,9)
1. 均匀带电球体的电偶极矩的大小为_______,电四极矩为_______.
答: 0, 0
2. 一电荷系统,它的电四极矩的几个分量为
D12D213,D23D324, D112,
D13D315,D331,则D22等于______. 答:-3
3. 有一个电四极矩系统,它放在
z0处的无限大接地导体平面的上方,其中D112,
D121,D221,D132,则它的镜像系统电四极矩的D'33 _______.
2
解:D11(3xr2)Q2,D22
(3yr)Q
2
2
对镜像系统:x'x,y'y,1,
22
D'22(3y'r')(Q)
222z'z,其 D'11(3x'r')(Q)(3xr2)(Q)2,
2
(3yr2)(Q)1,由D'11D'22D'330得:D'333
4. 一电偶极子P平行于接地导体平面(P到平面的距离很小)。设过P与导体平面垂直的平面
为xy平面,则系统的电偶极矩为_______,电四极矩的非0分量为___________分量. 答: 0, Dxy
Dyx0
设两个电量为Q的点电荷位于直角坐标系中的xb,两个电量为Q的点电荷位于
xa(并有ba),则该系统的电偶极矩为_______,电四极矩的非0分量为___________.远处
一点的电势近似表达式为_______. 答:0,
D116Qba,
1
22
(2)
13211121
DijD112 406i,j1xixjR406xR
1
2222222yQbaQba1113x3xR22或6Qba(2(35()
5
406xRR4040RRR
5. 设两个电量为Q的点电荷位于直角坐标系中的
yb,两个电量为Q的点电荷位于
ya(并有ba),则该系统电四极矩的非0分量为_______,远处一点的电势近似表达
式为______.
D226Qba,
1
22
(2)
113211121DijD222 406i,j1xixjR406yR
2222222yQba3yQba3yR11122或6Qba(2(35)() 5
406yRR4040RRR
6. 设两个电量为2.010库仑的点电荷位于z4cm,两个电量为2.010库仑的点电荷
位于z2cm,则该系统的电偶极矩为_____,电四极矩的非0分量为_____.远处一点的电势近似表达式为______.
66
D336Qb2a262.0106(0.0420.022)1.44108cm2
(2)
13211121213z2R2
Dijx'x'R46D33x'2R21.6z2R21.6R5
406i,j1ij03
1
7. 电荷分布为
,体积为V的带电体系在外电场(电势为e)中的能量为 _______.
W
V
edV
8. 两个同心带电球面(内、外半径分别为a、b)均匀地带有相同的电荷Q ,则这两个带电球面
之间的相互作用能为_________;系统的总静电能为_________. 解:内球面在外球面处产生的电势为rbe W互
Q
Q40b
,
Ve
2Q Q2;
(b)edVdV总
40b40b40bQ
Q
e
112Q2Q2Q2Q213 ,总(a)W总总dV((40a40b2V240b40a40b80bab
或E1
W总
b1Q24Q22Q2
4rdr4r2dr ,E2,W总0222424ab40r40r2(40)r(40)r
Q
bdr4drb1Q2Q2
((80ar2br280ar
a
b
4r
b
Q2114Q213 )(()
80abb80ab
9. 半径为R的接地导体球外有一点电荷q,它离球心的距离为a,则他们的相互作用能为
_______.
2
解:可以用球内一个位于bR/a假想点电荷Q'Rq/a代替球面上的感应电荷;则
22
Rq/aRq它们的相互作用能为;
40(aR2/a)40(a2R2)
第三章 静磁场
练习一
1. 电磁场矢势A沿闭合路径L的环量等于通过以L为边界的任意曲面S的____________.
2. 一长直密绕通电螺线管,取管轴为坐标系的Z轴,则它外面的某点的矢势A与该点到管轴的距
离的可能的依赖关系为____c___.
(A. 正比于r2; B. 正比于r; D. 正比于lnr) 答:C
0Idl'dA
4r
AdlBS
2rABSA1/r
3. 已知BB0ez,则对应的矢势A为____ __. A. A(B0y,0,0); B. A(B0y,B0x,0);
C. A(0,B0x,0); D. A(2B0y,2B0x,0).
答:A. 因为对于A(B0y,0,0)有AxB0y,Ay0,Az0代入
AzAyAxAzAyAx
BA(,,BB0ez
yzzxxy
4. 稳恒电流分布J在外场Ae中的相互作用能为_____________. 答:WiAeJdV
练习二
1. 区域内任意一点r处的静磁场可用磁标势描述,只当__ B ____:A. 区域内各处电流密度为零;
B. H对区域内任意封闭路径积分为零; C. 电流密度守恒;D. r处的电流密度为零。
2. 一半径为R的均匀带电导体球壳,总电量为Q,导体球壳绕自身直径以角速度转动(设的
方向沿z 方向),总磁偶极矩为____________.
fvRsin,mdmfRdR2sin2RsinRdR2sin2
R
4
dsin
3Q4R2
R
4
sindcosR
2
Q
24 12QRmQR
1
2
3. 设分布在体积V内的稳恒电流密度J所激发的矢势为A,则空间中的总磁场能量为_________.
1
答:WAJdV
2
R4. 半径为磁导率为的均匀介质球,置于均匀恒定的磁场B0B0ez中,球外为真空。用磁标势
法,求空间各点的磁感应强度. 解: 由于本题无传导电流,内、外磁标势为
2m10
2
m20
由题意,边界条件为:
rRrR
(1)(2)
;
m1Rm2R
m2m1
0rrR
自然边界条件为:
(3)
R
(4)
,
m1m2
r0r
有限B
0rcos
(5)(6)
0
由条件(5)和(6)得
m1anrnPn(cos)
n0
B0(n1)
rcosbrPn(cos)nm2n0
0
由(3)得
rRrR
(7)(8)
B0
0
Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)
B0b1(n1)nRcosbRP(cos)aRcosaRPn(cos) nn1n2Rn1n10
b1B0
Ra1R20R
R(n1)bnRnan0
由(4)得
n1n1
(9a)
(10a)
B0cos0bn(n1)R(n2)Pn(cos)annRn1Pn(cos)
n
n
20b1
a1B
0R3
(n2)n1
(n1)RbnRan0n0
由(10)得,n1
n1n1
(9b)(10b)
,
R(n1)bnRnan0R(n1)
(n2)n1(n2)
(n1)RbnRa0(n1)R0nn0
当n
Rn
nR
n1
0(n1)n
R
2
0
1时,有anbn0
由(9)得
当n1时,有(2分)
b1B00b1RaRB0a130b113003(0)a1R2RR2b2b0101B0B03B0(20)a1a1a313RR
3B0a1(20)3
()BR00b10(20)
故解为
3B0rcos3B0r
rRm1a1rP1(cos)
(2)(2)003
BBrcos()BRcos2000rcosbrP(cos)0
m211 00(20)r203(0)RB0r1
(Br)rR03
0(20)r
3(B0r)3B0
B1H1m1rR
(20)(20)30(0)R(B0r)3(B0r)rBHB[020m20235
(20)rr
0(0)R3B03(B0r)r
B0[3rR5
(20)rr
参考题:
1. 半径为R0的接地导体球外充满绝缘介质,离球心为
变量法,求导体球外的电势e.2) 球面RR0处的自由电荷面密度
a处aR0置一点电荷Q。1)试用分离
f
及束缚电荷面密度P.提
1示:
r
1
Ra2Racos
2
2
n0
Rn
Pn(cos)an1
Ra
z
z
1)分离变量法
令
Q
4Ra2Racos
2'00,
2
22
'
R0
R
0'
R
0
Q
4Ra2Racos
2
bnR(n1)Pn(cos)
n
RR0(1)
1r
1
R2a22Racos
n0
Rn
P(cos)n1n
a
Ra
注意:这一表达式并不是对任何R成立,仅在
Ra时,才能如此展开.
aRR0
QRn(n1)
P(cos)bRPn(cos)nnn1
4n0an
由
R0
0,得
n
QR0(n1)
P(cos)bRPn(cos)0n0n1n
4n0an
R0a
2n1
QR0
bn
4an1
将其代入(1)得
R02n1(n1)Q
RPn(cos)n122
4Ra2Racos4na
Q
Q
4Ra2Racos
Q
4R2a22Racos
2
2
RR0
QR0/a
4n
R2
/aRn1
2n
Pn(cos)
QR0/a
4R2R02/a2RR02/acos
f
2
2). 球面RR0处的自由电荷面密度
及束缚电荷面密度P.
f
R
RR0
4R02a22R0acos
QR0acos
3/2
R0QR0bcos
3/2
223R0R024aR02cosaa
4R02a22R0acos
QR0acos
3/2
R02
aR0QR0cosa
2
4RaR2R0acos3
2
20
3/2
a2QR0acosacosR04Ra2R0acos
RR0
2
2
3/2
4R0Ra2R0acos
Qa2R02
20
2
3/2
PP1RP2R0E2R
导体内P1R0
0
R
10
Qa2R02
4R0R02a22R0acos
3/2
2. 一个不带电的空心导体球壳的内外半径为R1和R2,在壳内离球心为
解: (1). 由高斯定理可知,球内表面的电量为
aaR处置一点电荷
1
Q.(1)求空间各点的电势分布.(2)导体球上内、外表面的感应电荷面密度.
Q,球外表面的电量为Q
球内电荷的位置对球外的电势无影响,这样,
QRR24R
Q
R2RR1
4R2
但点电荷Q与球内表面上的感应电荷
Q必须使内表面上电势保持为0.
2
RR1若在球外距球心为b处放一镜像电荷Q'1Q, aa
2
bR1/a2
R1/aRb(说明:Q'QQ1Q)代替球内表面上的R1
R1R1aQ'Q
b
感应电荷,则可以使球面R1上的电势保持为0。则所有电荷在RR1空间产生的电势为
i
i
Q40r
Q
Q'40r'
Q
4R2
R1Q
40aR2b22Rbcos
QR1/a
Q4R2
Q4R2
40R2a22Racos
Q
40R2a22Racos
40R2R12/a
2
2RR12/acos
(2). 导体球上内表面的感应电荷面密度.fD2nD1n0D1n0
iR
RR1
f
4R12a22R1acos
QR1acos
3/2
R1QR1bcos
223RR2114aR12cosaa
3/2
4R12a22R1acos
QR1acos
3/2
R12
aR1QRcos1a
4R13R12a22R1acos
2
3/2
a2QR1acosacosR1QR12a23/222
4R1a2R1acos4R1R12a22R1acos
3/2
导体球上外表面的感应电荷面密
3.
aR0置一点电荷Qf.1)试求导体球外的电势e.2)球面RR0处的自由电荷面密度f
电荷面密度P. 解: 采用镜像法
2
RR01)若在球内距球心为b 处放一镜像电荷Q'0Q,代替球面上的感应电荷,则可以使aa
及束缚
球面上的电势保持为0.则Q和Q'在r
R0空间产生的电势为
Q4r
Q'
4r'
这里rR2a22Racos, r'R2b22Rbcos
Q
4Ra2Racos
2
2
R0Q
4aRb2Rbcos
2
2
Q
4Ra2Racos
2
2
2
QR0/a
4RR/a2RR/acos
f
20
2
20
(3) 球面RR0处的自由电荷面密度
及束缚电荷面密度P.
f
R
RR0
4R02a22R0acos
QR0acos
3/2
R0QR0bcos
4aR02
R02a
3/2
23R0
2cosa
f
4Ra2R0acos
QR0acos
2
2
3/2
R02
aR0QRcos0a
2
3
4R0a2R022R0acos
3/2
a2
QRacosacos0R04R02a22R0acos
3/2
4R0R02a22R0acos
RR0
Qa2R02
3/2
PP1RP2R0E2R
0
R
Qa2R020
1
4R0R02a22R0acos
3/2
4. 磁导率为的均匀磁介质充满整个空间,且介质中的磁感应强度为B.如果在介质中挖去半径为R
解:由于本题全空间无传导电流,故可采用磁标势解题,Hm.设内、外磁标势满足为
m1,m2,他们满足
的介质球,求球内外的磁感应强度.
2m102
m20
由题意,边界条件为:
rRrR
(1)(2)
;
m1Rm2R
m2m1
0rRr
自然边界条件为:
(3)
R
(4)
,
m1m2
r0r
有限
B
rcos
(5)(6)
由条件(5)和(6)得
m1anrnPn(cos)
n0
B(n1)
rcosbrPn(cos)nm2n0
由(3)得
rRrR
(7)(8)
B
Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)
Bb1(n1)nRcosbRP(cos)aRcosaRPn(cos) nn1n2Rn1n1
b1B
R2a1RR
(n1)nRbRan0n
由(4)得
n1n1
(9a)(10a)
Bcosbn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)
n
n
2b
B310a1R
(n2)n1
(n1)RbnRan0n0
由(10)得,n1
n1n1
(9b)(10b)
,
R(n1)bnRnan0R(n1)
(n2)n1(n2)
(n1)RbnRa0(n1)Rn0n
当n
Rn
0nR
n1
(n1)0n
R
2
0
1时,有anbn0
由(9)得
当n1时,有(2分)
b1b1BRaR3b1Ba113R2RR3(0)a12b1B2b10a1Ba3B(20)a10133RR
3Ba1(20)3
()BR0b1
(20)
故解为
3Brcos3BrarP(cos)m111
(20)(20)
BBrcos(0)BR3cos2
1(cos)m2rcosb1rP(20)r2
33(0)RBr(0)RB1
(r)cos(Br23
(20)r(20)r
rR
rR
30(Br)30B
B10H10m1
(20)(20)3(0)R(Br)3(Br)r
BHB[]2m2235
(20)rr
(0)R3B3(Br)r
B[35
(20)rr
5.
rR
rR
半径为R的空心球外充满介电常数为的均匀电介质,该体系处于均匀外电场E0中,取球心为坐
标原点,E0沿z轴方向。试用分离变量法求球内外的电场强度。
解: 由于本题无自由电荷,内、外电势满足
2102
20
由题意,边界条件为:
rRrR(1)
; (2)(3)
,
1R2R
21
0rRr
自然边界条件为:
R
(4)
(5)(6)
12
r0r
有限E0rcos
由条件(5)和(6)得
nar1n0nPn(cos)(n1)ErcosbrPn(cos)0nn02
rRrR
(7)(8)
由(3)得
E0Rcosn0bnR(n1)Pn(cos)n0anRnPn(cos)
b(n1)
Pn(cos)a1RcosanRnPn(cos) E0R12cosbnR
Rn1n1
b1
ER2a1R0R
(n1)n
RbRan0n
由(4)得
n1n1
(9a)(10a)
E0cosbn(n1)R(n2)Pn(cos)0annRn1Pn(cos)
n
n
2b
E0310a1R
(n2)n1
(n1)RbnRan0n0
由(10)得,n1
n1n1
(9b)(10b)
,
R(n1)bnRnan0R(n1)Rn(n1)0n
02(n2)n1(n2)n1
Rbn0nRan0(n1)R0nR(n1)R
当n1时,有an
bn0 (1分) 由(9)得,当n1时,有
3b1b1aE013b1E0RR2a1RE0R3a1(20)(0)a1
R33
2b12b1()R0E030a1E030a1E03E0(20)a1b1RR(2)0
故解为
33
1a1rP1(cos)E0rcosE0r(20)(20)(0)R322E0rcosb1rP1(cos)E0rE0r3(20)r
33
E11(E0r)E0220033(0)REr(0)RE03(E0r)rE22(E0r)03E0[352020rrr
rR
rR
rR
rR
电动力第四章习题及其答案
1. 一金属壁谐振腔,长宽高分别为a,b,c,且满足abc,腔中为真空;则腔中所激发的最低频率
的谐振波模为 (1,1,0),与之相应的电磁波波长为2/
11
. 22
ab
提示:用mnp
2cp21/2p21/2m2n2m2n2
,分析 )()()]c[()((]mnp
mnpL2L3abcL1
2. 矩形波导管,管内为真空,管截面积s一定,矩形的长和宽分别记为a和b。要使(1,1)模具
有最小的截至频率c,则a或b的表达式为_____________.
答:kxkykzk2kzk2kxky0k2kxky,
2
2
2
2
2
2
2
2
mn
ab2
2
2
22
mnmn
c abab
2222
mn
c (m,n0,1,2,...)
ab
(0)
截止频率为:mn
mn
(2()2,若sab,mn1,则有 ab
cc
dc
da
a2
b2sa2b2sa2s2/a2,
2
3
2
2
2
s
(2a2s/a)/as/a0
as
3.一矩形波导管,管内为真空,管截面矩形的长和宽分别为a和b,且a > b,要使角频率为的TE10波能在管中传播,a应满足a
2ss/ss2sc2/s 时,有极小值cs
c/.
解:
mn,TE对应于m1,n0,10ab
22
c/aac/
4.在均匀介质中传播的平面单色波是横波,其E和B相互垂直且都__垂直___于波的传播方向,E
和B的相位__相同___, EB.
5.某试验室需要能传输频率为f5109Hz的TE11型微波,实验室有如下几种尺寸的矩形波导管(长度单位为厘米):(a)26,(b)45,(c)38,(d)48.问那几种尺寸波导管可供选择 (b),(d).
mn解:c (m1,n1) ab
22
a2b22f25109111
2fc10
ababc3310
2
2
a2b21
(以cm为单位) ab3
a2b22262401
(a)26,
ab1212123
a2b242[1**********]001
(b)45,
ab[1**********] a2b2328273/641
(c)38,
ab243833a2b242825451
(d)48.
ab3248824243
E(x,t)
5. 试从Maxwell方程组出发,证明在真空中传播的时谐电磁波
B(x,t)
2E(x)k2E(x)0
k00). 方程组E(x)0确定(其中
cB(x)[E(x)]/(i)
it
E(x)e
it的空间部分,可由B(x)e
证明:1) 证明亥姆霍兹方程
BEt DHJ
ft
BHH
0由E E0 ttt
D0E,
B
EJ0,0Dffft DHB0t
D0B0
B0H
2E
E2E002
t
211E2
c0 则有 E2 2
ct00
ititE(x,t)E(x)e,B(x,t)B(x)e 2itE2
E(x)e 2t
2
DE
E0,H 0tt
222
E(x)2E(x)0E(x)kE(x)0,k00
cc
2)D0,D0E,E(x)0
1BE(x) 3)E,EiB,B(x)
it
6.由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中电场所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解:Maxwell方程组为
BDE,D0,H,B0
tt
真空D0E,
B0H
BHH
0由E, E0
ttt
2DEE2
H0,EE00
ttt2
211E2
c0则有 E2 ,
ct200
E0
7.由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,均匀介质中传播的时谐电磁波的电场E所满足的波动方程和电磁波波速的表达式. 解:Maxwell方程组为
DE2E2
H,EE
ttt2
BDE,D0,H,B0
tt
BH DE,
BHH
由E, Ettt
E0
1E12
vE0则有 ,22
vt
2
8.由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中磁场B所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式. 解:Maxwell方程组为
DEE
00由B0, B00ttt
真空D0E,
DBE,D0,H,B0
tt
长 沙 理 工 大 学 备 课 纸
B0H
2BB2
E,BB00
tt2
B0
211B2
0 ,c则有 B22
ct00
9.由Maxwell方程组出发,求证在真空中传播的平面单色电磁波E(x,t)E0exp[i(krt)],
B(x,t)B0exp[(ikrt)]是横波,而且满足关系B,其中k和是平面单色电磁波的波矢
量与角频率.
DB
,D0,H,B0 解:Ett
B0H 在真空中 D0E,
ikikzt
xtE(x,t)E0e, B(x,t)B0e
ikxt由E(x,t)ikE0e0得,kE00,kE
ik xt由B(x,t)ikB0e0得,kB00,kB
ikx11
B(x,t)E(x,t)E0et
ii
kE0ikkEext
10.考虑频率为的电磁波在电导率为的金属导体中的传播,(1)写出金属良导体条件的表达式。(2)证明:在良导体条件下,电荷只能分布在导体表面上。 (1)金属良导体条件为
/(0)1
(2)证明:考虑良导体中某一区域初始电荷密度为0,由方程
E/0,jE,
/tj0,
容易得到/t(E)/t(/0)0
解得
0exp[(/0)t]
0/
,因此只要电磁波的周期
电荷密度随时间指数衰减,衰减特征时间为
0TT
0
1,或/(0)1,就可以认
为(t)0,即电荷只能分布在导体表面上
11.一频率为平面单色电磁波,垂直入射到很厚的金属表面上,金属导体电导率为;求1)进入金属的平均能流密度;2)金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值;证明透入金属内部的电磁波的能量全部变为焦尔热。
解:考虑到金属为良导体,电磁波进入导体后,很快衰减,故可设金属导体充满z0的半空间。电磁波由z0的真空垂直入射到金属表面
zizt
1) 进入到金属的电磁场为EE0ee,
iiziztB
EiBikEHezEezE0ee,
t
这里复波矢k(i)ez
金属中任意位置处的平均能流密度为
*1zizti1zizt
ReEHReeeE0(ezE0)ee22
i12zi212z2z2
ReeE0(ezE0)ReeE0ezeE0ez
222
2
E0ez 进入金属表面的平均能流密度为
2
2) 金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值
**zizt12z211zizt
wReEJfReEEReeeE0E0eeeE0
2222
3) 金属表面单位面积为底的无穷长圆柱体所消耗的平均焦尔热功率
222z0122z
WdzeE0E0eE0, 0244
122
E0E0。 ,W
2242
由(1)可知,这正是单位时间内进入金属表面z0处的能量的值,即透入金属内
部的电磁波的能量全部变为焦尔热。
电动力第五章习题及其答案
1. 电磁场矢势A与标势满足的库仑规范条件为A0,罗仑兹规范条件为
1A20.
ct
A2. 对于一般的电磁场,E和B与矢势A与标势的关系为(1)E, (2) BA.
t
3.
1)写出Maxwell方程组;2)由Maxwell方程组导出标势和矢势A所满足的基本方程组;3)
在洛仑兹规范下,由上述方程组导出达朗贝尔方程组.
BEt解:1)Maxwell方程组DHJ
ft
Df
B0
B0BA
2) BAAA EE0(E)0Etttt
A将E及
t
D0E代入Df
得:
A2
0E0t00tA
A/0
t
2
将BA及B0H
1
D
代入HJf得:
t
111E
BAA2AJf00000t
A
A2A0Jf00
tt
211A A2A0Jf22
2
ctct
21A12
A2A20Jf 2
ctct
1
0 3)由洛伦兹规范 A2
ct
2
2A
1
c21c2
2
/0
t2 2A
0Jf
t2
4.由Maxwell方程组出发,在库仑规范条件下,推导真空中电磁场的矢势与标势所满足的微分方程.
BEt解:1)Maxwell方程组DHJ
ft
Df
B0
B0BA
2) BAAA EE0(E)0Etttt
A将E及
t
D0E代入Df
得:
A2
0E0t00tA
A/0
t
2
将BA及B0H
1
D
代入HJf得:
t
111E
BAA2AJf00000t
A
A2A0Jf00
tt
211A
A2A0Jf22
2
ctct
21A12
A2A20Jf 2
ctct
库仑规范 A0
2/0
212A1
A220Jfct2ct
5.试从Maxwell方程组出发,给出变化的电磁场矢势和标势的定义,说明何谓电磁场的规范变换,
并证明电磁场的E和B在这种规范变换下保持不变.
B
解:由B0 得BA,将其代入E得, EA0,
t
t
AA故可引入标势,使得E ,即:Ett
设(x,t)是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数,做变换
B'A'AAAB
A'AAE''Ettttt
6.一电量为q的粒子沿z轴作简谐振动,其坐标为zacost。设它的速度为vc(c为真
空中的光速)求它的辐射场和平均能流密度以及辐射功率.
exsincoscoscossiner
cose 提示:直角坐标基矢与球坐标基矢关系为eysinsincossin
ecosesin0z
解:由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为:P(t)qacostez
振动电偶极矩产生的矢势为
0dP(t')qaqarA(r,t)0sint'ez0sin(t)ez
4rdt'4r4rc
0qa
sin(krt)ez 其中,k/c
4r
0qaqa
BA[sin(krt)]ez0kcos(krt)]rez
4r4r
0qa20qa2
cos(krt)]erezcos(krt)]sine
4cr4cr
DE122
HBcBiEcikB
tt000qa22EcBerEcBercos(krt)]sineer
c4r
0qa2Ecos(krt)]sine
4r
平均能流密度:
1S
T
T
2220qa4sin21
EHdt
162r2c0T
T
cos2(krt)]dter
00q2a24sin2q2a24sin2erer
22232
160r2c320cr
辐射功率:
P
Sds
2
d
q2a24sin22drsin 232
320cr
143 [1cos]dcoscoscos
330
2
sin3dsin2dcos
00
P
q2a248q2a24Sds23
320c3120c3
另解:由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为:
P(t)qaexp(it)ez ,
振动电偶极矩产生的矢势为
A(r,t)0
4
r
Ra
00dP(t')
J(x',t')dV'
4R4Rdt'
J(x',t')dV'
r
0qa
exp(it')ez
4Ri0qaR exp[i(t)]ez
4Rci
i0qa
exp[i(kRt)]ez 其中,k/c
4R
iqa0qa20
BAikexp[i(kRt)]ezexp[i(kRt)]erez
4cR4R
0qa2
exp[i(kRt)]sine
4cR
DE122
HBcBiEcikBtt000qa22EcBerEcBerexp[i(kRt)]sineer(2分)
c4R0qa2Eexp[i(kRt)]sine
4R
平均能流密度:
2221qa4sin210
SReEHee
22162R2c0
2 2Psinqasinqasin002eeerrr
320r2c3220c3r23220c3r2
2
2
4
2
2
2
4
2
辐射功率:
P
Sds
2
d
q2a24sin22drsin 232
320cr
301sindsin2dcos[1cos2]dcoscoscos34
0033
P
2
224224qa8qa1P
Sds233
320c3120c403c3
7.1)写出Maxwell方程组;2)从此方程组出发,引入电磁场的矢势和标势,说明何谓电磁场的规
范变换,并证明电磁场的E和B在这种规范变换下保持不变.
解:1)Maxwell方程组为
DBE,D,HJ,B0
tt
2)由B0 得BA。将其代入EB/t得,
EA/t0,故可引入标势
长 沙 理 工 大 学 备 课 纸
,使得EA/t,即:
EA/t
设(x,t)是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数,做变换
B'A'AAAB
A'AAE''Ettttt
8.一电偶极子位于坐标系的原点,它的电偶极矩为PP0costex。试求1)它在r2c/
辐射场的电场强度和磁场强度;2)该处辐射场的能流密度. (15分)
exsincoscoscossiner
cose 提示:直角坐标基矢与球坐标基矢关系为eysinsincossin
ecosesin0z
1)解:注意:本题电偶极矩PP0costex沿着x轴,但球坐标选取如常(如r与Z轴间的夹角为
等)这样,振动电偶极矩产生的矢势为
rJ(x',t')dV'00dP(t')
A(r,t)0J(x',t')dV'
4r4r4rdt'
p0ip0r
i0exp(it')ex0exp[i(t)]ex
4r4rc
i0p0
exp[i(krt)]ex 其中,k/c
4r
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i0p00p02
BAikexp[i(krt)]exexp[i(krt)]erex
4cr4r
exsincosercoscosesine)
0p02Bexp[i(krt)](sinecoscose)
4cr
p02Hexp[i(krt)](sinecoscose)
4cr
DE122
HBcBiEcikBtt00
Ec2BerEcBer
c0p02Eexp[i(krt)](sinecoscose)er
4r
取实部
0p02Eexp[i(krt)](coscosesine)
4r0p02Ecos(krt)(coscosesine故有)
4r
p02Hcos(krt)(sinecoscose) 取实部
4cr
能流密度:
SEH
0p0242
cos(krt)(coscosesine)(sinecoscose)22
16crp24cos2(krt)222S0020(sincoscos)er
160cr2
2
4
2
p0cos(krt)22
(1sincos)er
1620c3r2
ikzt9.有一原子团,设其极化率为(),处于电磁场EE0eez之中, 该原子团位于坐标原点,
其体积为V,且原子线度远小于电磁波波长。试求原子团在远处的辐射电磁场和电偶极辐射的平均能流密度以及辐射总功率。
解:首先复习一下电偶极矩的计算:p总
x
V''(x',t')dV'
x'q
电荷连续分布电荷分立
V内的总电偶极矩p总
电极化强度矢量P0Ep总PV0VE0eitez
VV
振动电偶极矩产生的矢势为
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rJ(x',t')dV'00dP(t')
A(r,t)0J(x',t')dV'
4r4r4rdt'
00VE0iVE0r
iexp(it')ezexp[i(t)]ez
4r4rc2c
iVE0
exp[i(krt)]ez 其中,k/c 2
4rc
iVE0VE02
BAikexp[i(krt)]eexp[i(krt)]ezrez23
4rc4rc
2
VE0exp[i(krt)]sine3
4rc
DE122
HBcBiEcikBtt00VE022EcBerEcBerexp[i(krt)]sineer 2
c4rcVE02Eexp[i(krt)]sine
4rc2
平均能流密度:
2112V2E04sin2
SReEHee
252
22160cr
VEsiner
232
32cr
辐射功率:
22
2
42
P
Sds
2
d
02V2E024sin22drsin 232
32cr
301223sindsindcos[1cos]dcoscoscos4
0033
P
22242V2E248VE000
Sds0
322c3312c3
电动力第六章习题及其答案
1. 狭义相对论的两条基本原理是
(1)相对性原理 (2)光速不变原理
2. 一飞船空间舱以速度v 相对于地面运动,一物体从舱顶部落下,空间舱上的观察者所测得的时
间是地面上的观察者所测得时间的3/5,则空间舱飞行速度为4c/5.
解:设飞船为',物体从舱顶部下落为事件1:(x1',t1'),落地为事件2:(x2',t2') ,则有
'
t'1c2x1't'2c2x2'x1'x2t'2t1'3
t,tttt't'(tt)x1'x2',21 122121
v2v2v25cccc2
2
t'2t1'3942
1vc c2
t2t15255
3. 在狭义相对论中,两事件
(x1,y1,z1,t1)
与
(x2,y2,z2,t2)的间隔为s2
2222
c2t2t1x2x1y2y1z2z1.
4. 若两个事件可以用光波联系,有rct,因而两事件的间隔为s
2
, 则种间隔称为间隔.
5. 一飞船空间舱以相对于地面的速度v运动,一物体从舱顶部落下,空间舱上的观察者所测的时
间是地面上观察者所测的时间的1/
倍,则空间舱飞行速度为2c/
5
t1
t'1c2x1'c2
2'
t'2c2x2'x1'x2010t'22
,t2tvc c2v2v22t5ccc2
6. 两惯性系'和相对运动速度为u,一根直杆在系中,其静止长度为l,与x轴的夹角为 ,
则在'系中的观察者所测到该直杆长度为___________. 解:xlcos
v2c2
,
yylsin,l(x)2(y)2l(1v2cos2/c2)2
7. 静质量为m0,电量为q的粒子,在垂直于均匀磁场B的平面内作轨道半径为R的匀速圆周运
动,求粒子速度大小的表达式。
解: 电子的运动方程为:F
dpdt
qvB,
dv其中p
0
m0v1v2/c2
因为粒子作匀速圆周运动,故v不变,
m0v2/c2
dt
c2(1v2/c2)3/2
m0v
dt
vqvB,
v2/c2dt
qvBqvB
dt
22mv
2
R
,
2
21v2/c2R2
2
qvB
220
2
2
2
q2B2R2
c2
1v2/c2qBRmvqBR(m
20
q2B2R2
c2
2))v2q2B2R2 vqBR/m0(qBRm0c
v2
8.设有两根互相平行的尺,在各自静止的参考系中的长度均为l0,它们以相同速率V相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子.求站在一根尺上测量另一根尺的长度. 解:设沿x方向运动的尺位于'上,则已知另一把尺相对于的速度为
uxv,uyuz0
故这把尺相对于'的速度为
ux'
uxvvv2v
vuxv2v2
121212
ccc
2v
221v/c
2
2
'上的观察者测得另一把尺的长度为
ll0u
'2x
cl0
2
cl0
2
l0
1v2/c2
1v
/c
22
l01v22
4v/c
1v2/c2
2
2
1v/c
4v2/c2
2
/c
22
9.在坐标系∑中,有两个物体都以速度u沿X轴运动,在∑系看来,它们一直保持距离L不变.今有一观
察者以速度v沿X轴运动,他看到此二物体的距离是多少?
22u解:在系看两个物体的距离为L、运动速度,则有LL0uc
将
, 即L0
L/u2c2,
'
建立在以速度V沿x轴正方向运动的观察者上, 则两物体相对于
'
速度为
u'u'x
uxvuv
1vux/c21vu/c2L
L'L0u'2c2
Lu2c2
uv22
(c 2
1vu/c
u22
Lu22
(1vu/c2)2c2(uv)2L
(1vu/c2)2c2u2c2c2u2v2v2u2/c2L
(1vu/c2)2c2u2c2
c22vuv2u2/c2(uv)2
(1vu/c2)2c2
22
(c2u2)(1v2/c2)Lv
(1vu/c2)2c21vu/c2
10.静止长度为l0的车厢,以速度v相对于地面S作匀速直线运动,车厢的后壁以速度u0(相对于车)向前推出一个小球,求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间.
解: 解法1:已知
x'l0 (3分) t'l0/u0
vu0vvl1t'2xl0/u02l002ct
v2c2v2c2u0v2c2
解法2:小球相对于车厢速度为ux ux
'
u0, 相对于地面S的速度为:
;地面S看车厢的长度为: l
u'xvu0v
'
0vux
112
c2c
2
2
l0v2c2
地面S看小球对车的速度为: u球对车uxv,地面S观测到的时间为:
2
l
t
uxv
l0vc0v012
c
l0v
cc
2
u0vv
vu0
vu0l01vu0/c2
12
cu0v2c2
11.物体A相对于地面以高速uA(uA,0,0)运动,物体B相对于地面以高速uB(0,uB,0)运
动;试求物体A相对于物体B的速度,物体B相对于物体A的速度,两者有什么关系?
解:1)求uBA
设地面为系,物体A为'系,'相对于沿x方向运动,则有 vuA,ux0,uyuB,uz0(2分)
uxv
u'uAx21vux/c
2
uyv2u2uB2u'y2
1vux/ccc uzv2
u'z202
1vux/cc
u
uBA(uA,uBA2,0)
c
2)求uAB
2
y'y
uA
ux'
地面
x
设地面为系,物体B为'系,'相对于沿Y方向运动,则有 vuB,uxuA,uy0,uz0
2uxv2uB
u'x12uA2
2
1vuy/cccuyv
uBu'y2
1vuy/c
uzv2
20u'z2
1vuy/cc
y'y
A
'
地面
ux'
x
3) 两者速度大小相等,但方向不是正好相反。
12.有一光源S与接收器R相对静止,距离为l0, S—R装置浸在无限大的均匀液体介质(静止折射率
n)中.试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间
(1) 液体介质相对于s—R装置静止; (2 ) 液体沿着s — R连线方向以速度v流动; (3) 液体垂直于s—R连线方向以速度v流动.
解:(1)当液体介质相对于s—R装置静止时,光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间为t
l0ul0c/nnl0
c
(2)当液体介质沿着s — R连线(x轴)方向以速度v流动时,选参考系'固定在介质上.在'上观察,介质中的光速沿各方向都等于u'
xc/n,则在上观察,沿介
质运动方向的光速为
1
uu'xvc/nv1vu'
c/nv
1vx, x c
2
1ncc2l
v01
t
l0
u
ncx
c/nv
(3)当液体垂直于s—R连线方向以速度v流动时,
':
R以u'xv运动,因而,要R能接受到
S发的光,必须以右图所示方向发射,
u'xv,u'2y
c/n2
v
:u'xvx
u1vuvv
0x
c
2
1, c2uy
u'yv2/c2/(1vu'x
/c2)
lv20
c/n2v2v2/c2/(1v2/c2
)tl0c
2
uy
c/n2v2/22c/n2
v
2
v/c
u13.在坐标系中,有两个物体都以速度沿x轴正方向作匀速直线运动,在系看来,它们一
直保持距离L不变.问在下列情况下观察者测得这两个物体的距离是多少? (1)观察者以速度V沿x
轴正方向运动; (2) 观察者以速度V垂直于系x轴运动.
22
解:(1)在系看两个物体的距离为L、运动速度u,则有 LL0uc
, 即
L0L/u2c2
(3分), 将'建立在以速度V沿x轴正方向运动的观察者上, 则两物
体相对于'速度为 u'u'x
uxvuv
22
1vux/c1vu/c
L'L0u'2c2
Lu2c2
uv22(c2
1vu/c
c22vuv2u2/c2(uv)2
(1vu/c2)2c2
Lu22
Lu22
(1vu/c2)2c2(uv)2L
(1vu/c2)2c2u2c2c2u2v2v2u2/c2L
(1vu/c2)2c2u22
22
(c2u2)(1v2/c2)Lvc
(1vu/c2)2c21vu/c2
2) 设地面为系,
'相对于沿Y方向运动,则两物体相对于
速度为
uxu,uy0,uz0,相对于'速度为
uxv2v2
u'x2u2
2
1vuy/ccc
uyv
vu'y2
1vuy/c
uzv2
120u'z2
1vuy/cc
L'L0u'
2
x
y
u2v2 2(12cc
cL0
2
u2v2
2(12
cc
Lu2c2
14.一辆以速度V运动的列车上的观察者,在经过某一高大建筑物时,看见其避雷针上跳起一脉冲电火花,电光迅速传播,先后照亮了铁路沿线上的两铁塔.设建筑物及两铁塔都在一直线上,与列车前进方向一致,铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0.求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差.
解法1: 列车上的观察者看到两铁塔和避雷针都在以速度v运动,它看到铁塔和避雷针
的距离为
- 40 -
ll0vc
解法2:
2
2
2vl0v2c22vl0ll2vl
,t' 2
222cvcvcv2c2v2cvc
x1l0,t1l0,x2l0,t2l0
t'1
t1vx1/c2vc
l0
c2
2
l0l0vc2vc
l0c2
2
,t'2
t2x2vc2vc
2
2
l0l0vc2vc
2
2
t't'1t'2
l0c2vc
2
2
l0c2vc
2
2
2vl0cvc
2
2
2
- 41 -