椭圆教学设计
椭圆及其标准方程(第1课时)
贵州省遵义市习水县第一中学 袁嗣林
【教学及培养目标】
双基:理解椭圆的定义,明确焦点、焦距的概念,掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程;进一步学习类比、数形结合的数学思想方法,理解坐标法及其应用.
能力:通过让学生积极参与,亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程,体验坐标法在处理几何问题中的优越性;在探索椭圆标准方程过程中,培养分析和概括能力.
【教材处理的建议】
重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.
难点:椭圆标准方程的推导与化简.
【教学技巧与辅助手段】
运用多媒体(ppt )和实物投影仪等辅助教学.
【教学探究过程】
一、创设问题情景、引出概念
首先用多媒体演示“神舟六号”飞船绕地球旋转运行的画面,并描绘出运行轨迹图.
探究一 “神舟七号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形?(椭圆)
此外老师可以指出,在生活中,除椭圆外,还有抛物线、双曲线等例子.
再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形,向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历.
教师指出:椭圆在实际生活中是很常见的,学习椭圆的有关知识也是十分必要的.
(说明:本环节由实际例子引入,让学生形成椭圆的感性认识,感受数学的应用价值,明白生活实践中有许多数学问题,数学来源于实践,同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力.)
二、引导学生探究尝试、归纳提炼形成概念
引导:曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹,那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢?要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹,首先要知道椭圆的几何特征.
学生实验:按课本上介绍的方法,学生用一块纸板,两个图钉,一根无弹性的细绳尝试画椭圆.
让学生自己动手画图,同桌相互切磋,探讨研究.(提醒学生:作图过程中要注意观察椭圆的几何特征,即椭圆上的点要满足怎样的几何条件?)
(说明:按学生的认识规律与心理特征,设置一系列递进的问题,让学生动手实践,在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件,从而认识椭圆概念.)
启发、归纳出椭圆的定义:
平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数(大于| F1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
引导学生找定义的关键处:
①平面曲线;
②任意一点到两个定点的距离的和等于常数;
③常数大于| F1F 2|.
(说明:实验中发现椭圆的几何特征,可以挖掘出椭圆定义的内涵,使得学生对椭圆的定义留下深刻印象.)
三、椭圆标准方程的推导
由老师带学生回忆圆的方程的建立过程,归纳求曲线方程的一般步骤:建系列出方程
化简方程.建系一般应遵循简单、优化的原则.
设点
(说明:温故而知新,类比圆的方程的建立过程,归纳出求曲线方程的一般步骤,为下一步学习做好铺垫.)
探究二 怎样建立坐标系,才能使求出的椭圆方程最为简单?
(说明:正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一,结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征,特别是对称性,可以使曲线方程简单化.可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨,最后让学生选择合理的坐标系.)
经学生讨论易得如下方案:
1.建系.取过焦点
的直线为轴,线段
的垂直平分线为
轴,建立坐标系.
2.设点.
设
为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距
是
距离之和等于
(
) .
(
).
则
.又设M 与
3.列式.依据椭圆的定义,有
.
,
.
,
教师启发:这个方程形式复杂,应该化简.化简的目的是去掉根式,可两边平方.但这里有两个根式,如何平方更简捷?
引导学生得出:应该用移项平方,再移项再平方的方法.
(说明:在解决解析几何问题中,熟练运用代数变形技巧是十分重要的,学生常因运算能力不强而功亏一篑.在此应抓住机会加强运算技能的训练.)
4.化简.通过移项, 两次平方后得到:
,
两边同除以
,得
. (※)
由椭圆的定义可知,
, 即,
思考:观察上图,能从中找出表
示
.令
就是
的线段吗?由图可知
,
,那么(※)
.(
)
此即为椭圆的标准方程.它所表示椭圆的焦点在轴上,焦点是坐标原点的椭圆方程.
,中心在
探究三:如果椭圆的焦点F 1,F 2在y 轴上,线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴,a ,b ,c 意义同上,椭圆的方程形式又如何?
学生讨论、交流,合情猜想可得,焦点变成, 只要将方程
中的调换,即可得(),它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准
方程.
要求学生课后推导验证.
(说明:发挥学生的直觉思维,类比得到焦点在
引导学生注意理解以下几点:
① 在椭圆的两种标准方程中,都有
② 在椭圆的两种标准方程中,由于一个坐标轴上;
③
椭圆的三个参数
大小不确定.
四、研究例题、形成技能
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F 1(0,-4),F 2(0,4),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10,求它的标准方程.
(先让学生分析解题思路.强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性.)
之间的关系是
,其中
,所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪的要求;
轴上的椭圆的标准方程.)
解:因为椭圆的焦点在
轴上,所以设它的标准方程为
.
因为2a =10,2c =8,所以a =5,b =4.
所以,b 2=a 2-c 2=52-42=9.
所以所求椭圆标准方程为
.
例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F 1(-2,0)和F 2(2, 0),过点P 0(
, ),
求它的标准方程.
(先让学生分析解题思路.除了强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性外,还要注意引导学生分析本例与例1的不同点.)
解:因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知,
+
所以, 所以,
.又
,
,
.
所以所求标准方程为 另法:因为
,
.
所以可设所求方程椭圆方程.
.将点P 0(
, )的坐标代入可求出,从而求出
(说明:由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法:其一由定义求出与,根据条件写出方程;其二是由a ,b ,c 的关系和椭圆标准方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的办法得出方程.可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的.另外要注意求方程的基本步骤.)
五、课堂形成性练习,即时反馈
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a =4,b =3,焦点在x 轴;
(2)a =5,c =2,焦点在y 轴上. 2.椭圆
的焦距是,焦点坐标为;若CD 为过左焦点
的弦,则
的周长为 .
六、知识整理,形成系统(由学生归纳)
1.椭圆的定义(注意几何特征和三个条件).
2.推导椭圆的标准方程(注意焦点的位置与方程形式的关系,直接法求轨迹方程).
3.求椭圆方程的方法(待定系数法求轨迹方程).
七、布置作业,巩固提高
1.课本P40.1-3.
2.小组合作自编题(总题数4个,可以填空、选择或解答题.要求说明编题的基本思路).
3.探索题:上网查询有关椭圆的几何作法,对不同的作法作比较,并研究交流其作法根据.