apzy%xll排列组合例题讲解
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① 我们‖打〈败〉了敌人。
②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。
排列组合例题讲解1
例1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒 ,则不同的选购方式共有
(A) 5种
(B) 6种
(C) 7种
(D) 8种
( )
解法一 记购买的软件数为x,磁盘数为y,依题意
x,y∈Z x≥3,y≥2
60x+
70y≤500
当x=3时,y=2,3,4;当x=4时,y=2,3;当x=5时,y=2;当x=6时,y=2.上述的不等式组共有7组解,故不同的选购方式共有7种,选C.
解法二 依题意,(x,y)是在坐标平面上,位于三条直线L1:x=3,L2:y=2,L3:60x+70y=500围成的三角形的边界及内部的点(坐标均为整数的点),如图7-2-1,这样的点共有7个,故选C.
评述 这是一个计数的应用问题,解法一转化为求不等式组的整数解的个数;解法二转化求坐标平面上特定区域内的整点个数.事实上,两种解法最终都采用了穷举法.这是解决计数问题的基本方法之一.
例2.在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于
6垄,则不同的种植方法共有多少种?
解法一 如表格所示,用×表示种植作物的地垄,О表示未种植作物的地垄,则不同的选垄方法共有6种,由于A、B是两种作物,故不同的种植方法共有12种.
解法二 选垄方法可分为三类:第一类间隔为6垄,有1-8,2-9,3-10三种选
法;第二类间隔为7垄,有1-9,2-10两
种选法;第三类间隔为8垄,只有1-10种选法,故选垄方法共6种,种植方法共12种.
评述 这是一个计数的应用问题,解法一采用了画框图的方法;解法二直接应用加法原理和乘法原理.
若将例1和例2判定为排列与组合的问题,并布列含排列数或组合数的算式,反而会将对问题的思考复杂化,难以得出正确的结论,由此可见,不应把计数问题都简单归结为排列和组合的问题,也不能只通过计算排列数或组合数求解.
例3.7人排成一行,分别求出符合下列要求的不同排法的种数. (1)甲排中间; (2)甲不排在两端; (3)甲、乙相邻;
(4)甲在乙的左边(不一定相邻); (5)甲、乙、丙两两不相邻.
解:(1)甲排中间,其余6人任意排列,故共有P66=720种不同排法.
(2)若甲排在左端或右端,各有P66种排法,故甲不排在两端共有P772P66=3600种不同排法.
(3)法一:先由甲与除乙以外的5人(共6人)任意排列,再将乙排在甲的左侧或右侧(相邻),故共有P66·P2=1440种不同排法.
法二:先将甲、乙合成为一个“元素”,连同其余5人共6个“元素”任意排列,再由甲、乙交换位置,故共有P66·P2=1440种不同排法.
(4)在7人排成一行形成的P77种排法中,“甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是一一对
1
1
应的(其余各人位置不变),故甲在乙的左边的不同排法共有
17
P7=2520种不同解法. 2
(5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成一行,形成左、右及每两人之间的五个“空”,再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”,每“空”1人,故共有P44P53=1440种不同的排法.
评述 这是一组排队的应用问题,是一类典型的排列问题,附加的限制条件常是定位与限位,相邻与不相邻,左右或前后等.
例4.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的五位数,分别求出下列各类数的个数:
(1)5的倍数; (2)比20300大的数;
(3)不含数字0,且1,2不相邻的数.
解:(1)5的倍数可分为两类:个位数的位置上的数字是0或5, 个位数字是0的五位数有P54个; 个位数字是5的五位数有4P43个; 故5的倍数共有P54+4P4=216个 (2)比20300大的五位数可分为三类:
第一类:3××××,4××××,5××××;有3P54个; 第二类:21×××,23×××,24×××,25×××,有4P4个; 第三类:203××,204××,205××,有3P32个. 故比20300大的五位数共有3P54+4P4+3P32=474个.
(3)组成不含数字0,且1,2不相邻的数可分为两步,第一步:将3,4,5三个数字排成一行;第二步:将1,2插入第一步所形成四个“空”中的两个“空”,故共有P33P4=72个.
评述 这是一组组成无重复数字的多位数的排数问题,也是一类典型的排列问题,常见的附加条件是倍数关系,大小关系、相邻关系等.应当注意的是排队问题不会有元素重复的问题,而排数问题必须规定无重复数字才是排列问题.
例5 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同取法共有
2
3
3
3
(A) 150种
(B) 147种
(C) 144种
(D) 141种
( )
分析 取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂,可采用间接法,先不加限制任取四点,再减去四面共点的取法.
4
解 在10个点中任取4点,有C10种取法,取出
的4点共面有三类(如图7-2-3).
4第一类:共四面体的某一个面,有4C6种取法;
第二类:过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点,如图中的平面ABE,有6种取法;
第三类:过四面体的四条棱的中点,面与另外两条棱平行,如图中的平面EFGM,共有3个.
44故取4个不共面的点的不同取法共有C10-(4C6+6+3)=141(种)
因此选D
评述 由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题,常见的附加条件是点共线与不共线,点共面与不共面,线共面与不共面等.
例6 (1)设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入这五个盒子内,要求每个盒内放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,这样的投放方法的总数为 ;
(2)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共 有 种.
2解(1)第一步:投放2个球,使其编号与盒子编号相同,有C5种投法;第二步:投入其
余3个球,以第一步的投法是1,2号球投入1,2号盒子内为例,其余3个球由于不能再出现球号与盒号相同的投法,如框图所示有2种投法.
3
4
5
3
4
5
2综上可知,符合题意的投放方法共有C5×2=20种.
(2)第一步:取出两个小球(C4种取法)合成一个“元素”,与另外两个球合成三个“元素”;
2
第二步:将3个元素放入4个盒中的3个盒子,每个盒子放一个元素,形成一个空盒(P43种
2
放法),故符合题意的放法共有C4·P43=144种.
评述 这是一组具有一定综合性的计数问题,应当注意,第(1)题如果判定第二步余下3
2球可任意放入余下3 个盒子,列出C5·P33的算式,就会出错.