一元二次方程与解法(一)教案
教学过程
一、复习预习
学生活动:列方程
问题(1)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”
大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?
如果假设门的高为x尺,那么这个门的宽为_______尺,根据题意,得________. 整理、化简,得:__________.
问题(2)如图,如果ACCB,那么点C叫做线段AB的黄金分割点. ABAC
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如果假设AB=1,AC=x,那么BC=________,根据题意,得:________.
整理得:_________.
问题(3)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少?
如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是________,宽是_____,根据题意,得:_______.
整理,得:________.
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理.
学生活动:请口答下面问题.
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?
(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?
(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?
老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)都有等号,是方程.
二、知识讲解
1.一元二次方程的概念:
方程的两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2bxc0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2bxc0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
一元二次方程的四个特点:(1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理。如果能整理为 的形式,则这个方程就为一元二次方程;(4)将方程化为一般
2形式:axbxc0时,应满足(a≠0).
2. 一元二次方程的根:
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别,我们称:一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.
3.直接开方法解一元二次方程: 适用于xaa0形式的一元二次方程的求解。这2
里的x既可以是字母,单项式,也可以是含有未知数的多项式。换言之:经过变形可以转化为xaa0形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。 2
4.配方法解一元二次方程:
配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有x2bxb(xb)。
配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;
(2)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
2 (3)变形为(xm)n的形式,当 n0时,xmn,xm222n ,
当n<0时,方程没有实数根
考点/易错点1
在一元二次方程化成一般形式后,要注意二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。
考点/易错点2
判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断,注意一元二次方程一般形式中a0.
考点/易错点3
用直接开平方的方法时要记得取正、负.
考点/易错点4
用配方法解一元二次方程时,一定要使二次项系数为1后,再配方(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)。
三、例题精析
【例题1】
【题干】在下列方程中,哪些是一元二次方程?是一元二次方程的,请指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
22 (1)2x1x (2) x5x0
22 (3)3x12 (4) x(x4)x1
【答案】(1)、(2)、(3)都是一元二次方程。
(1)的其二次项系数是2,一次项系数是1,常数项是-1.
(2)的其二次项系数是1,一次项系数是-5,常数项是0.
(3)的其二次项系数是3,一次项系数是0,常数项是-12.
【解析】根据一元二次方程的定义(只含一个未知数,且未知数的最高次数都是2的整式方程)去判断,在确定一元二次方程每一项时,一定要先把方程化为一般形式ax2bxc0,再去判断。
【例题2】
【题干】已知关于x的方程m2xm22xm0,当m为何值时方程为一元二次方程。
【答案】-2
【解析】因为方程为一元二次方程,所以m222,解得m2。而当m2时,二次项系数为0,所以m应取-2.
【例题3】
2【题干】用直接开方法解方程 (x5)49 x24x449
【答案】x112,x22;x15,x29
【解析】解:原方程可化为 解:(x2)27
x57,或x57 ∴ x57,或x57
∴ x112,x22 ∴ x15,x29
【例题4】
2【题干】用配方法解方程 x2x3 4
【答案】x113,x2 22
31 4
12∴ (x1) 4
11∴ x1,或x1 22
13∴ x1,x222 2【解析】解:x2x1
【变式练习1】
【题干】配方法解方程x210x110
【答案】:x111,x21
【解析】解:移项,得 x210x11
方程两边都加上(5)得
x10x(5)11(5)
即, (x5)36 22222
两边开平方,得
x56,或x56
所以 , x11,x1
【变式练习2】
【题干】用配方法解一元二次方程:3x6x10
【答案】解:配方,得3x12, 即x12222. 3
x1x11x21 【解析】 二次项系数不为1时,用配方法解一元二次方程,先用提公因式的方法把二次项系数化为1,然后再用直接开平方法求解。
【例题5】
【题干】 把方程x26x60化为(xm)n的形式 2
【答案】:(x3)3 2
【解析】x26x6
x6x93
2(x3)3 2
【例题6】
【题干】求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
【答案】证明:m2-8m+17=(m-4)2+1
∵(m-4)2≥0
∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0
∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
【解析】要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.
【变式练习】
【题干】方程(m-1)xm2+1+2mx-3=0是关于x的一元二次方程,求m的值.
【答案】由题意可得,m2+1=2,且m-1≠0,∴m=±1且m≠1,∴m的值是-1.
【解析】一元二次方程满足的条件是:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③整式方程.方程经整理可转化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).
【例题7】
【题干】你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0 (2)3x2-6=0
【答案】 (1)移项得x2=64
根据平方根的意义,得:x=±8
即x1=8,x2=-8
(2)移项、整理,得x2=2
根据平方根的意义,得
即x1
x2
【解析】要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义.
【例题8】
【题干】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面积增长率.
【答案】解:设每年人均住房面积增长率为x,有题意得:
10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
【解析】把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.这种思想称为“降次转化
2思想”. 由x2=p(p≥0),那么
转化为应用直接开平方法解形如(m x+n)=p(p≥0),
那么
p<0则方程无解.
【例题9】
【题干】某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
【答案】 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
把(1+x)当成一个数,配方得:
123)=2.56,即(x+)2=2.56 22
333 x+=±1.6,即x+=1.6,x+=-1.6 222 (1+x+
方程的根为x1=10%,x2=-3.1
因为增长率为正数,
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.
【解析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,•那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.
【例题10】
【题干】如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为5000m2,道路的宽为多少?
【答案】 解:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500
整理,得:x2-36x+70=0
移项→ x2-64x=-768 两边加(642)使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024 2
左边写成平方形式 → (x-32)2=256
降次→x-32=±16
即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48,x2=16
可以验证:x1=48,x2=16都是方程的根,所以共有16只或48只猴子.
【解析】通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.
【例题11】
【题干】 (1)x2+2x-35=0 (2)2x2-4x-1=0
【答案】 (1)x2-2x=35
x2-2x+12=35+1
(x-1)2=36
x-1=±6
x-1=6,x-1=-6
x1=7, x2=-5
1=0 2
1 x2-2x= 2
1 x2-2x+12=+1 2
3 (x-1)2= 2 (2)x2-2x-
即
x2
=1-22
,x2
=1- 22 x1
=1+ 可以验证:x1
=1+
【解析】化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
p≥0).
四、课堂运用
【基础】
1.判断下列方程,是一元二次方程的有____________.
32(1)x2x50 (2)x1 (3)25x22x13x22x45
22(x1)3(x1) (5)x22xx21; (6)ax2bxc0 (4)
【答案】 (2)、(3)、(4)
【解析】 判断一个方程是不是一元二次方程,首先要对其整理成一般形式,然后根据定义判断.(1)中最高次数是三不是二;(5)中整理后是一次方程;(6)中只有在满足的条件下才是一元二次方程.
2. 下列方程中不含一次项的是( )
22A.3x52x B.16x9x C.x(x7)0 D.(x5)(x5)0
【答案】D
【解析】 首先要对方程整理成一般形式,D选项为.
3. 方程3(x1)5(x2)的二次项系数___________;一次项系数__________;常数项_________.
【答案】3;-11;-7
2
【解析】 利用去括号、移项、合并同类项等步骤,把一元二次方程化成一般形式,同时注意系数符号问题.
24. 下列各数是方程(x2)2解的是( ) 1
3
A、6 B、2 C、4 D、0
【答案】 B
【解析】 将各数值分别代入方程,只有选项B能使等式成立.
5.根据下列问题,列出关于的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长.
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长.
(3)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边相差2,求较长的直角边长.
【答案】 解:(1)依题意得,4x25,
化为一元二次方程的一般形式得,4x250.
(2)依题意得,x(x2)100,
化为一元二次方程的一般形式得,x2x1000.
(3)依题意得,x(x2)10,
化为一元二次方程的一般形式得,x2x480.
【解析】 考察对一元二次方程一般形式的掌握程度.
6.将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
【答案】 去括号,得:
40-16x-10x+4x2=18
移项,得:4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.
【解析】 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程(8-2x)•(•5-2x)=18必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等. 2222222
7.将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
【答案】 去括号,得:
x2+2x+1+x2-4=1
移项,合并得:2x2+2x-4=0
其中:二次项2x2,二次项系数2;一次项2x,一次项系数2;常数项-4.
【解析】 通过完全平方公式和平方差公式化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
【巩固】
1. 若关于x的一元二次方程(m1)x22xm210的常数项为0,求m的值是多少?
【答案】 m1
m210【解析】 解:由题意得,时,即m1时,
m10
(m1)x22xm210的常数项为0.
m110xm
0=2 B.【答案】C
【解析】由题意得,2m12,解得m
23. 23. 若n(n0)是关于x的方程xmx2n0的根,则mn的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【答案】D
【解析】本题有两个待定字母m和n,根据已知条件不能分别求出它们的值,故考虑运用整体思想,直接求出它们的和.
4.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+4x+a2-1=0的一根是0,则a= .
【答案】a=1
解:∵一根是0,∴(a+1)×(0)2+4×0+a2-1=0
∴a2-1=0,即a=±1;
∵a+1≠0,∴a≠-1;
∴a=1.
【解析】 本题主要考查了方程的根的定义,把求未知系数的问题转化为解方程的问题,是待定系数法的应用,容易出现的错误是忽视二次项系数不等于0这一条件.
4x-2=0应把它先变形为( ). 3
18218110 A.(x-)2= B.(x-)2=0 C.(x-)2= D.(x-)2= 39393395.配方法解方程2x2-
【答案】D
【解析】用配方法时二次项系数要化1.
【拔高】
1. 已知关于x的方程(m21)x2(m1)xm0.
(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
m210【答案】 解:(1)由题意得,时,即m1时,
m10
方程(m1)x(m1)xm0是一元一次方程2x10.
(2)由题意得,(m1)0时,即m1时,方程(m1)x(m1)xm0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m1、一次项系数是(m1)、常数项是m. 【解析】 本题是含有字母系数的方程问题.根据一元一次方程和一元二次方程的定义,分
别进行讨论求解.
2. 方程x3x0的解为( )
A、x0 B、x3 C、x10,x23 D、x10,x23
【答案】D
2222222
【解析】 考察了方程的解,因式分解法解一元二次方程。
3.用配方法证明
【答案】 5x27x4的值恒小于0.
7749495x27x45x2x45x2x455100100
7497315x45x10201020
22222 77731 因为x05x0,所以5x0, 10101020
即5x7x40
【解析】 本题难点在于该式不是等式,因而不能按照通常的方法一样进行配方;先将前两项结合起来,将二次项系数-5提出来, 使二次项系数为1后,再加上一次项系数一半的平方进行配方,配成完全平方式再进行判断。 2
课程小结
1. 一元二次方程的概念.判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断,注意一元二次方程一般形式中a0.
2.直接开方法:适用于x2=a (a≥0)形式的一元二次方程的求解。
这里的x既可以是字母,单项式,也可以是含有未知数的多项式。
3.配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程化为一般形式;
(2)二次项系数化为1;
(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为xpq的形式,如果q ≥ 0,方程的根是x=-p±q; 2
如果q < 0, 方程无实根.
课后作业
【基础】
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A 3x12x1 2B 1120x2x C ax2bxc0 D x22xx21
【答案】A
2【解析】 此题考查了一元二次方程的定义。A选项化为一般式为:3x4x10,
是一元二次方程;B选项分母中含有x,不属于整式方程;C选项中的a没有给出a≠0的条件;D选项化为一般式后,两边的x抵消掉,转化为一元一次方程2x1。
2.解方程2x80
【答案】 解:2x8
x4
x12,x22
【解析】 观察可知,此方程可以采用直接开平方法进行求解。需要注意的是方程的解有两个,并且它们互为相反数。
3. 用配方法解一元二次方程:x2x20.
【答案】 解: 22222x22x2,
2 x2x121,
(x1)23,
x1
∴x113, x21.
【解析】用配方法解一元二次方程的关键是,在二次项系数为1的条件下,给方程两边同时加一次项系数一半的平方.
4.配方法解方程(1)x2=196; (2)4x2-3=0; (3)(x-2)2=5.
【答案】解:(l)x=±14,
∴x1=14,x2=-14.
(2)移项并整理,得
(3)因为x-2是5的平方根,
【解析】考查选用合适的方法进行一元二次方程求解
5.直接开方法解方程
⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50 ⑶(2 x-1)2+4=0
【答案】
解:⑴2y2=8 ⑵ 2(x-8)2=50
y2=4 (x-8)2=25
y=±2 x-8=±5
∴y1=2,y2=-2 x-8=5或x-8=-5
∴x1= 13,x2= -3
⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
(2 x-1)2=-4
∴原方程无解 2 x-1=0
⑷4x2-4x+1=0
∴x1= x2= 1 2
【解析】考查选用合适的方法进行一元二次方程求解
6.方程x3x20的解是( )
A.x11,x22 B.x11,x22
C.x11,x22 D.x11,x22
【答案】 A
【解析】 考查一元二次方程的解法,可用配方法. 2
【巩固】
1.当m取何值时,方程m1x
2m212mx30是关于x的一元二次方程? 【答案】 题意,得m12,
m1
m1.
当m1时m10,此时方程为一元一次方程.
当m1时,m12,此时方程为一元二次方程.
【解析】 题目中隐含了a≠0的条件,根据一元二次方程的定义,先令次数等于2,求出m值后,再根据a≠0舍取m的值。
2.解方程(3x-4)2=(3-4x)2
【答案】解:开方得:①3x-4=3-4x,②3x-4=-(3-4x),
解方程①得:3x+4x=3+4,
7x=7,
x=1,
解方程②得:3x-4x=-3+4,
-x=1,
x=-1, 2
即原方程得解:x1=1,x2=-1.
【解析】开方得出两个一元一次方程,求出每个方程的解即可.
3.当m取何值时,方程m1x
2m212mx30是关于x的一元二次方程? 【答案】 由题意,得m12,
m1
m1.
当m1时m10,此时方程为一元一次方程.
当m1时,m12,此时方程为一元二次方程.
【解析】 题目中隐含了a≠0的条件,根据一元二次方程的定义,先令次数等于2,求出m值后,再根据a≠0舍取m的值。 2
【拔高】
1.已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a,则a+b+c的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
【答案】A
【解析】解:把x=a代入ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0得:
a•a2+ba+c=0, ba2+ca+a=0, ca2+a•a+b=0,
相加得:(a+b+c)a2+(b+c+a)a+(a+b+c)=0,
(a+b+c)(a2+a+1)=0,
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,
∴a≠0,
∴a2+a+1≠0,
∴a+b+c=0,
2.m是方程x2+x-1=0的根,则式子m3+2m2+2009的值为( )
【答案】2010
【解析】∵m是方程x2+x-1=0的根,
∴m2+m-1=0,
∴m2+m=1,
∴m3+2m2+2009=m(m2+m)+m2+2009, =m+m2+2009,
=1+2009=2010,
错题总结