第8讲-高阶偏导数与极值
第8讲 高阶导数与二元函数极值
讲授内容
一、高阶偏导数
由于z =f (x , y ) 的偏导函数f x (x , y ), f y (x , y ) 仍然是自变量x 与y 的函数,如果它们关于x 与y 的偏导数也存在,则说函数f 具有二阶偏导数,二元函数的二阶偏导数有如下四种情形:
∂z ∂x
22
2
∂z ∂⎛∂z ∂⎛∂z ⎫
== ⎪=f xx (x , y ) , 2 ∂y ⎝∂y ∂y ∂x ⎝∂x ⎭
⎫
⎪⎪=f yy (x , y ). ⎭⎫⎪⎪=f ⎭
(x , y )
2∂z ∂⎛∂z ∂⎛∂z ⎫
===f (x , y ), ⎪xy
∂y ∂x ∂x ⎝∂y ∂x ∂y ∂y ⎝∂x ⎭
∂z
2
yx
例1 求函数z =arctan
∂z ∂x
22
y x
的所有二阶偏导数. ⎫2xy
⎪=⎪22
x +y ⎭
∂z ∂y
22
解:
∂⎛-y
2=2∂x ⎝x +y
()
2
, =
⎫∂⎛x -2xy
2⎪=2⎪22∂y x +y ⎝x +y ⎭
()
2
.
∂⎛-y
2 =2
∂x ∂y ∂y ⎝x +y
∂z
2
22222
⎫⎫x -y ∂z ∂⎛x x -y ⎪=- 2⎪, =⎪ x +y 2⎪=-22222∂y ∂x ∂x x +y x +y ⎭⎝⎭
()()
2
,
注意:从上面例子看到, 关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(称为混合偏导数),但这个结论并不对任何函数都成立(见例2).
22
⎧x -y 22
, x +y ≠0, ⎪xy 2
例2 设函数f (x , y )=⎨x +y 2
⎪0, x 2+y 2=0. ⎩
22
⎧y x 2-y 2y 4x y 22
+, x +y ≠0, ⎪22222解: 它的一阶偏导数为f x (x , y )=⎨x +y x +y
⎪0, x 2+y 2=0, ⎩
(
(
)()
)
22
⎧x x 2-y 2x 4x y 22
-, x +y ≠0, ⎪22222f y (x , y )=⎨x +y 进而求f 在(0,0)处的混合偏导数,得 x +y
⎪0, x 2+y 2=0, ⎩
()(())
f xy (0, 0)=lim
f x (0, ∆y )-f x (0, 0)
∆y
∆y →0
=lim
-∆y ∆y
∆y →0
=-1, f yx (0, 0)=lim
f y (∆x , 0)-f y (0, 0)
∆x
∆x →0
=lim
∆x ∆x
∆x →0
=1.
由此看到,这里的f (x , y )在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关,那么,在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?
定理17.7 若f xy (x , y ) 和f yx (x , y ) 都在点(x 0, y 0) 连续,则f xy (x 0, y 0)=f yx (x 0, y 0) .
这个定理的结论对n 元函数的混合偏导数也成立。如三元函数u =f (x , y , z ) ,若下述六个三阶混合偏导数f xyz (x , y , z ), f yzx (x , y , z ), f zxy (x , y , z ), f xzy (x , y , z ), f yxz (x , y , z ), f zyx (x , y , z ) 在某一点都连续,则在这一点六个混合偏导数都相等.
2222
⎛x ⎫∂z ∂z ∂z ∂z
例3 1)设z =f . 2)设z =f (xy , x -y ), 求2,. x , y ⎪⎪, 求2,
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ⎝⎭
解:这里z 是以x 和y 为自变量的复合函数,它也可以改写成如下形式:z =f (u , v ), u =x , v =
x y
.
由复合函数求导公式有
∂f
∂f
∂z ∂x
=
∂f ∂u ∂u ∂x
+
∂f ∂v ∂v ∂x
=
∂f ∂u
+
1∂f y ∂v
.
注意,这里∂z
2
∂u ∂v
, 仍是以u , v 为中间变量x , y 为自变量的复合函数.所以
2222222
∂⎛∂f 1∂f ⎫∂f ∂u ∂f ∂v 1⎛∂f ∂u ∂f ∂v ⎫∂f 2∂f 1∂f
⎪= ⎪=+++ +++2, 22222 ⎪= ⎪y ∂u ∂v y ∂v ∂x ⎝∂u y ∂v ⎭∂u ∂x ∂u ∂v ∂x y ⎝∂v ∂u ∂x ∂v ∂x ⎭∂u ∂x
2222
∂f ∂u ∂f ∂v 1∂f 1⎛∂f ∂u ∂f ∂v ⎫∂⎛∂f 1∂f ⎫
⎪ ⎪+-2+ +=+22 ⎪= ∂x ∂y ∂y ⎝∂u y ∂v ⎭y ⎝∂v ∂u ∂y ∂u ∂y ∂u ∂v ∂y y ∂v ∂v ∂y ⎪⎭2
∂z
=-
x ∂f y ∂u ∂v
2
2
-
x ∂f y
3
2
∂v
2
-
1∂f y
2
∂v
.
二、中值定理
先介绍凸区域的概念.若区域D 上任意两点的连线都含于D ,则称D 为凸区域.这就是说对任意两点
P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) ∈D 和一切λ(0≤λ≤1), ,恒有P (x 1+λ(x 2-x 1), y 1+λ(y 2-y 1)) ∈D .
定理17.8(中值定理) 设二元函数f 在凸开域D ⊂R 2上连续,在D 的所有点内都可微,则对D 内任意两点P (a , b ), Q (a +h , b +k ) ∈int D , ,存在某θ(0
f (a +h , b +k ) -f (a , b ) =f x (a +θh , b +θk ) h +f y (a +θh , b +θk ) k .
证:令 Φ(t ) =f (a +th , b +tk ). 它是定义在[0, 1]上的一元函数,由定理中的条件知Φ(t )在[0, 1]上连续,在(0, 1)内可微.于是根据一元函数中值定理,存在θ(0
定理17.9(泰勒定理) 若函数f 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域U (P 0) 内有直到n +1阶的连续偏导数,则对U (P 0) 内任一点(x 0+h , y 0+k ) ,存在相应的θ∈(0, 1) ,使得 f (x 0+h , y 0+k ) =f (x 0, y 0) +(h 1n !
∂∂x
∂∂y
1
∂∂x
∂∂x +k
∂∂y
) f (x 0, y 0) +
12! (h
∂∂x +k
∂∂y
) f (x 0, y 0) + +
2
(h +k
) f (x 0, y 0) +
n
(n +1)!
m
(h +k
∂∂y
)
n +1
f (x 0+θh , y 0+θk ). 称为二元函数f 在点P 0的n 阶
泰勒公式,其中(h
∂∂x
+k
∂∂y
y
m
)
f (x 0, y 0) =
∑C
i =0
i m
∂
i
m m -i
∂x ∂y
f (x 0, y 0) h k
i m -i
.
例4 求f (x , y ) =x 在点(1,4)的泰勒公式(到二阶为止). 解:由于x 0=1, y 0=4, n =2, ,因此有
f (x , y ) =x , f (1, 4) =1, f x (x , y ) =yx
y
y -1
, f x (1, 4) =4, f y (x , y ) =x ln x , f y (1, 4) =0,
y -1
y
f x (x , y ) =y (y -1) x
2
y -2
, f x 2(1, 4) =12, f xy (x , y ) =x
+yx
y -1
ln x , f xy (1, 4) =1.
f y 2(x , y ) =x
y
(ln x )2,
f y 2(1, 4) =0.
y
将它们代入泰勒公式,即得x
=1+4(x -1) +6(x -1) +(x -1)(y -4) +o ρ
2
().
2
三、极值问题
定义 设函数f 在点P 0(x 0, y 0)的某邻域U (P 0) 内有定义.若对于任何点P (x , y )∈U (P 0)成立不等式
f (P ) ≤f (P 0) (或f (P )≥f (P 0) ),则称函数f 在点P 0取得极大(或极小)值,点P 0称为f 的极大(或极小)
值点.极大值、极小值统称极值.极大值点、极小值点统称极值点.
由定义可见,若f 在点(x 0, y 0)取得极值,则当固定y =y 0时,一元函数f (x , y 0)必定x =x 0在取相同的极值上.同理,一元函数f (x 0, y )在y =y 0也取相同的极值.于是得到二元函数取极值的必要条件如下: 定理17.10(极值必要条件) 若函数f 在点P 0(x 0, y 0)存在偏导数,且在P 0取得极值,则有 f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0.
反之,若函数f 在点P 0满足f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0,则称点P 0为f 的稳定点.定理17.10指出:若f 存在偏导数,则其极值点必是稳定点。但稳定点并不都是极值点,如例函数h (x , y ) =xy ,原点为为其稳定点,但它在原点并不取得极值.与一元函数的情形相同,函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。例如f (x , y ) =
x +y 在原点没有偏导数,但f (0, 0) =0是f 的极小值.
2
2
定理17.11(极值充分条件) 设二元函数f 在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域U (P 0) 内具有二阶连续导数,且P 0是f 的稳定点. 则有(ⅰ) 当f xx (P 0)>0, (f xx f yy -f xy ) (P 0)>0时,f 在点P 0取得极小值;
2
(ⅱ) 当f xx (P 0)0时,f 在点P 0取得极大值;
2
(ⅲ) 当(f xx f yy -f xy ) (P 0)
2
(ⅳ) 当(f xx f yy -f xy ) (P 0)=0时,不能肯定f 在点P 0是否取得极值.
2
例5 求f (x , y ) =x 2+5y 2-6x +10y +6的极值.
⎧f x =2x -6=0,
解: 由方程组 ⎨ 得f 的稳定点P 0(3, -1),
f =10y +10=0⎩y
由于f xx (P 0)=2, f xy (P 0)=0, f yy (P 0)=10, (f xx f yy -f xy ) (P 0)=20. 因此f 在点P 0取得极小值
2
f (3, -1) =-8. 又因f 处处存在偏导数,故(3, -1) 为f 的惟一极值点.
例6 讨论f (x , y ) =x +xy 是否存在极值.
解:由方程组f x =2x +y =0, f y =x =0,得稳定点为原点(0, 0) .因f xx f yy -f xy =-1
2
2