初二数学辅导概率

初二数学辅导—— 概率初步

一、概率的有关概念

1. 概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率。 2. 两种事件：确定事件与不确定事件。

确定事件：包括必然事件和不可能事件。必然事件：肯定它一定会发生的事件（概率是100%或1）。不可能事件：肯定它一定不会发生的事件（概率是0）。 不确定事件（随机事件）：不能肯定它会不会发生的事件（概率是0～1）。

例题1：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）打开电视，它正在播广告；

（2）从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； （3）两次抛出正方形的骰子，掷出的数字之和小于13； （4）掷硬币1000次，第1000次正面向上； （5）在10分钟内某人徒步行走100千米； （6）明天上海地区下雨 练习：1、判断题：

（1）上海冬天最低气温低于零下5度，这是必然事件（ ）

（2）在去掉大小王的52张扑克牌中抽取13张牌，其中有4张红桃，这是随机事件（ ） （3）电视机打开时正在播放广告，这是不可能事件（ ） （4）从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除，这是随机事件（ ） （5）任意两个负数的积为正数，这是确定事件（ ） 2、下列事件中确定事件是（ ）

A 、掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B 、买一注福利彩票一定会中奖 C 、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有2个球

D 、掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上

3、口袋中放有黄、白、红三种颜色的小球各1个，这3个球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取1个球，写出这个实验中一个可能发生的事件： 。

二、用公式计算某事件的概率 1、概率公式：P (A ) =

A 事件发生的次数

一次实验所有可能出现的结果

2、理论概率与实验频率的关系

（1）当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率。因此可以通过多次试验，用事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。

（2）无论做多少试验，实验概率只是理论概率的一个近似值，而不能完全等同于理论概率。 3、两步及两步以上事件借助列表或画树状图

例题2：已知一纸箱中放有大小均匀的x 只白球和y 只黄球，从箱中随机地取出一只白球的

2。（1）试写出y 与x 的函数关系式； 5

（2）当x =10时，再往箱中放进20只白球，求随机地取出一只黄球的概率P ．

概率是

1

例题3：一次抽奖活动设置了如下的翻奖牌，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌， （1）写出得到一架显微镜的概率；

2

（2）请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是。

9

翻奖牌正面 翻奖牌反面

例题4：在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式： ①AB =DC ②∠ABE =∠DCE ③AE =DE ④∠A =∠D 小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC 是等腰三角形吗？说说你的理由； （2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC 不能构成等腰三角形的概率． ．．

练习：1、小亮投掷一枚硬币50次，20次正面向上，则正面向上 的频率是 ，理论概率是 。

2、将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a , b , c ，则a , b , c 正好是直角三角形三边长的概率是 。

3、用扇形统计图反映地球上陆地与海洋所占的比例时，“陆地”部分对应的圆心角是108º，宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是 。

2

例题5、如图，有两个可以自由转动的均匀转盘，转盘A 被分成面积相等的三个扇形，转盘B 被分成面积相等的四个扇形，每个扇形内都涂有颜色．同时转动两个转盘，停止转动后，若一 个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向蓝色，则配成紫色；若其中一个指针指向分界 线时，需重新转动两个转盘．

(1)用列表或画树状图的方法，求同时转动一次转盘A 、B 配成紫色的概率； (2)小强和小丽要用这两个转盘做游戏，他们想出如下两种游戏规则： ①转动两个转盘，停止后配成紫色，小强获胜；否则小丽获胜；

②转动两个转盘，停止后指针都指向红色，小强获胜；指针都指向蓝色，小丽获胜． 判断以上两种规则的公平性，并说明理由．

例题6、小华与小丽设计了A ，B 两种游戏：

转盘A

转盘

B

游戏A 的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜．

游戏B 的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜．

请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由．

例题7、端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；

（2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．

3

练习：1、甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1、2、3后，放在一个不透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学抛掷一个质地均匀的、各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体骰子，又得到另一个数字，再把两个数字相加. 若两人的数字之和小于7，则甲获胜；否则，乙获胜.

①请你用画树状图或列表法把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来；

②这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得公平.

2、一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B 、C 、D 三人随机坐在其他三个座 位上，求A 与B 不相邻的概率。

三、概率应用

例题8、某人午睡醒来发现表停了，他打开收音机想听电台报时，请你估计他等待的时间短于 10分钟的概率

例题9、有人说：“一个班有50人，一定有2个人在同一个月份里过生日。”正确吗？还有人说

“一个班有50人，很有可能2个人在同一天里过生日。”正确吗？

例题10、在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元． （1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数； （2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转 盘还是直接获得购物券？说明理由．

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课后练习

一、选择题（本题共10小题，每题2分，满分20分） 1、一个事件的概率不可能是（ ）

（A ）1.5 （B ）1 （C ） 0.5 （D ）0

2、“桌子上的一个玻璃杯掉落在水泥地面上，玻璃杯摔碎”，这一事件发生的可能性用语言表述为（ ） （A ）不可能发生 （B ）必然发生 （C ）很可能发生 （D ）不太可能发生

3、下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）

（A ）水中捞月 （B ）拔苗助长 （C ）守株待兔 （D ）瓮中捉鳖

4、布袋里装有8个白球和5个黑球，从中任意取出2个球，设事件A “取到的2个球都是白球”和事件B “取到的2个球都是黑球”的概率分别为P (A ) 、P (B ) ，则（ ）

（A ）P (A )=P (B ) （B ）P (A )>P (B ) （C ）P (A )

6、在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．每次将球搅 拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的 频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是（ ） （A ）12 （B ）9 （C ）4 （D ）3

7、一人把分别写有“世”、“博”、“会”的3张相同卡片，字面朝下随意放在桌面上，另一人再将它们排成一行，那么这3张卡片按从左到右的顺序恰好为“世博会”的概率是（ ） （A ）

1111

（B ） （C ） （D ） 6423

8、在某个电视节目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖, 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）

（A ）

1125 （B ） （C ） （D ）

45918

9、假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能

爬行不能飞，而且始终向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到

右边相邻的蜂房中去。例如，蜜蜂爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂→1号； 蜜蜂→0号→1号，共有2种不同的爬法。问蜜蜂从最初位置爬到4号蜂 房共有几种不同的爬法（ ）

（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10

10、某市民政部门“五一”期间举行“即开式福利彩票”的销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2元），在这

（A ）

1131

（B ） （C ） （D ） [1**********]00

5

二、填空题（本题共10小题，每题3分，满分30分）

11、从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是________。 12、将一枚质地均匀的硬币连续掷两次，两次都是正面朝上的概率是 13．如图，将一个转盘8等分，任意转动这个转盘后，停止时指针落在偶数区域(当形边界时统计在逆时针方向相邻扇形内中) 的概率是_______。

14．从1，2，„，32中任意选取一个数，取到的数是5的倍数的概率是_______。

指针落在扇

（第13题图）

15、一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上、中、下顺序的概率为__________。

16、一次抛掷一角、五角、一元的硬币各一枚，可能出现的结果有种______。 17、有三张卡片分别写着数字1、2、3，将它们背面向上任意放置（背相同），小明先后从中取两张卡片，那么取得的第一张卡片所写数字大于卡片所写数字的概率是 。

18、如图，在足够大的桌面上，画满了等距的平行线，间距为2厘米。个半径为r 厘米的圆形硬币，若事件“将该硬币任意掷于桌面上，硬币压直线”是必然事件，则r 的取值可以是 （一个即可） 19、200名学生中，有一个月至少有人在同一个月过生日。

20、如图所示，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由5个过同一点且半径 不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子。小鹏在规定 地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次实验，发现落在 一、三、五环（阴影）内的概率分别是0.04、0.2、0.36，如果最大圆的半径是 1m ，那么黑色石子区域的总面积约为_________m （精确到0.01m ） 三、解答题(每题10分, 满分50分)

21、将正面分别标有数字2、3、4背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）随机地取一张，求抽得偶数的概率；

（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回）再抽取一张作为十位上的数字，请你 画出树形图，并根据树形图求恰好取到“24”的概率是多少？

22、口袋中有五张完全相同的卡片，分别写有1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，口袋外有两张卡片，分别写有4厘米和5厘米，现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题：

（1）求这三条线段能够成三角形的概率； （2）求这三条线段能构成直角三角形的概率 （3）这三条线段能构成等腰三角形的概率

6

2

2

面花色第二张

现有一

（第18题图）

到所画

23、如图，转盘A 等分为三个扇形，号码为①、②、③；转盘B 分为两个扇形（即半圆），号 码为①、②. 甲乙两个同学想这样玩游戏：甲任意转动A 盘，停止时指针得到一个号码；乙任 意转动B 盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇 形内），如果两号码数的积为奇数，那么甲胜；如果两号码数的积为偶数，那么乙胜. （1）判断这个游戏是否公平？请说明理由； （2）如果不公平，请设计一个公平的游戏规则， 并说明理由。

A

（第23题图）

B

24、有一块表面是咖啡色，内部是白色，形状是正方体的烤面包，小明用刀在它的上表面、前表面和右侧表面沿虚线各切两刀（如图1所示），将它们切成若干块小正方体形面包（如图2所示） （1）小明从若干块小面包中任取一块，求该块面包有且只有两个面是

咖啡色的概率

（2）小明和弟弟边吃边玩，游戏规则：从中任取一块小面包，若它有奇数

个面为咖啡色时，小明赢；否则弟弟赢。你认为这样的游戏规则公平吗？ 为什么？如果不公平，请你修改游戏规则使之公平

25、张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：

张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；

王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从中随机取出上个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球．若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券．

请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平．

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