曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分
一、教学要点
1、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系
2、掌握计算两类曲线积分的方法.
3、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数（即二元函数全微分求积问题）.
4*、了解两类曲面积分的概念、性质即两类曲线积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式计算曲线与曲面积分. 5*、了解散度与旋度的概念，并会计算这两个量.
6*、会用曲线积分与曲面积分求一些几何与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量）.
二、重点、难点 重点：
1、计算两类曲线积分.
2、格林公式，并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数（即二元函数全微分求积问题）.
难点：
1、两类曲面积分的计算方法，高斯公式.
2*、散度与旋度的概念及计算.
3*、用曲线积分与曲面积分求一些几何与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量）.
三、典型问题解析
22
例1．设L 是圆周x +y =ax (a >0) 逆时针方向一周，计算曲线积分
L
(x 3-x 2y ) dx +(xy 2-y 3) dy
3
2
2
3
解: P (x , y ) =x -x y Q (x , y ) =xy -y
∂Q ∂P
=y 2 =-x 2 ∂x ∂y
2222
D : x +y ≤ax (y +x ) d σ⎰⎰
Pdx +Qdy =
L D
=⎰πd θ⎰
-π
a cos θ
3πa 4
r dr =32
3
例2．xds ，其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成区域的整个边界。
L
解：xds =
L ⎰
1
x +1dx +
⎰
1
x +4x 2dx =
1
(5+62-1) 12
例3．
⎧x =a (t -sin t ) (0≤t ≤2π). 2
L y ds ，为摆线的一拱⎨y =a (1-cos t ) ⎰L
⎩y 2ds ==⎰
2π
解：
⎰
L 0
a 2(1-cos t ) 22a (1-cos t ) dt =
12
2563
a 12
例4．
⎰
Γ
xdx +ydy +(x +y -1) dz ，其中Γ是从点(1, 1, 1) 到点(2, 3, 4) 的一段直线。
解：Γ的方程为：
⎧x =1+t ⎪
⎨y =1+2t (0≤t ≤1)
⎪z =1+3t ⎩
⎰
Γ
xdx +ydy +(x +y -1) dz =⎰[(1+t ) +2(1+2t ) +3(1+t +1+2t -1) ]dt =13
2
2
1
例5．证明：(2x cos y +y cos x ) dx +(2y sin x -x sin y ) dy 在整个xoy 平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。 证明：
∂Q ∂P
==-2x sin y +2y cos x ∂x ∂y
(x , y ) (0,0)x
∴ u (x , y ) =⎰
Pdx +Qdy
y 0
=⎰2xdx +⎰(2y sin x -x 2sin y ) dy
=y 2sin x +x 2cos y
例6．在x >0的区域内，选取a , b 使
ax +y x -y +b
dx -dy 为函数u (x , y ) 的全微
x 2+y 2x 2+y 2
分，并求原函数u (x , y ).
∂Q x 2-2xy +2bx -y 2∂P x 2-2axy -y 2
解： ==222222
∂x ∂y (x +y ) (x +y )
由
∂Q ∂P
得：a =1, b =0 =
∂x ∂y
则 u (x , y ) =
⎰
x
1
y y -x 11y 22
dx +⎰2dy =ln(x +y ) -. 20x 2x x +y
例7．计算
⎰⎰(z +2x +
∑
x y z 4
y ) ds ，其中∑为平面++=1在第一卦限中的部分。
2343
解：
⎰⎰(z +2x +
∑
4y 4y 614
+2x +) dxdy =461 y ) ds =⎰⎰(4-2x -3333D xy
四、综合练习（A ）
1．设L 为y =x 2上点O (0,0)到B
(1,1)的一段弧，则I =
⎰
=( C ).
A 、⎰+4x 2dx ; B 、⎰
2
C 、⎰x +4x dx ; D 、⎰
01
11
y +y dy ;
1
1
y +dy ;
y
2．设是A (1,1) 到 B (2,3)的直线段，则I =
2
⎰(x +3y ) dx +(y +3x ) dy =( B )
L
A 、⎰[(x +6x ) +(2x +3x ) ]dx B 、⎰[x +3(2x -1) +2((2x -1) +3x ) ]dx ,
1
1
2
C 、⎰(x +3) dx +⎰
1
23
1
(y +6) dy , D 、⎰(x +2x +1) dx +⎰(y +3.
1
1
23
y +1
) dy 2
3．曲线积分（98级）
⎰
c
(x 2+y 2) ds ，其中c 是圆心在原点、半径为a 的圆周，则积分是C .
A 、2πa 2 B 、πa 3 C 、2πa 3 D 、4πa 3
4．曲线积分I =
-ydx +xdy 22
，其中为椭圆并取正向. 则I 的值为D . 4x +y =1，c c ⎰4x 2+y 2
（95级）
A 、 -2π B 、2π C 、0 D 、π
5．曲线积分I =
⎰
AB
(2x cos y +y sin x ) dx -(x 2sin y +cos x ) dy ，其中 AB 为位于第
一象限中的圆弧x 2+y 2=1：A (1,0)，B (0,1)，则I =. （95级）
A 、0 B 、-1 C 、-2 D 、2
22
6．计算曲线积分I =(x +y ) dx +(x +2) dy ，其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1) 为
C
顶点的三角形的正向. 解： I = =
⎰(x
C
2
+y 2) dx +(x +2) dy
1
⎰
1
x 2dx +⎰3dy +⎰2x 2+x +2dx =-
1
35
6
7．. 计算曲线积分I =xyds , L 是x 2+y 2=4在第一象限部分.
⎰
L
解： (1) 令 ⎨ (2) I =
⎧x =2cos t
,
⎩y =2sin t
t ∈[0, 2π],
ds =2dt
⎰
2π
2sin 2t d 2t
2π
=-2cos 2t =4
8．求曲线积分I=(x +y ) dx +(x -y ) dy , ，其中L 是从点(-1,1) 到点(1,1) 间的抛
L
⎰
物线y =x 段. 解：I =
=
2
⎰
1
-1
(x +x 2) dx +(x -x 2)2xdx =⎰(x +3x 2-2x 3) dx
-1
2
10
10
1
⎰
1
-1
3x dx =6⎰x 2dx =2x 3
=2
22
9．设平面闭区域是由圆L ：(x -1) +y =1围成，则-ydx +xdy =_________
l
解：-ydx +xdy =2
l
⎰⎰dxdy =2π
D
⋂
10．用格林公式计算
⎰
AOB
(12x +e ) dx -(cosy -xe ) dy ，其中AOB 为由A (-1, 1) 沿
y y
⋂
2
曲线y =x 到点O (0, 0) ，再沿y =0至点B (2, 0) 的路径.
解：原式=
⎰
-1
[-(cosy +e y )]dy +⎰e 0dx =e +2+sin 1
-1
2
11．用格林公式计算
⎰(x
L
2
-y ) dx -(x +sin 2y ) dy ，L 是圆周y =2x -x 2上由
(0, 0) 到(1, 1) 的一段弧.
解：
∂Q ∂P
==-1 ∂x ∂y
∴ 原式=
⎰
1
[(x 2-x ) -(x +sin 2x )]dx =-
2
71
+sin 2 64
12．(x -2xy ) dx +(y -2xy ) dy ，L 是抛物线y =x 2上从点(-1, 1) 到点(1, 1) 的一
⎰
2
L
段弧。 解：原式=
⎰
1-1
(x 2-2x ⋅x 2) dx +(x 4-2x ⋅x 2) ⋅2xdx =-
14 15
13．证明(2xy -y 2) dx +(x 2-2xy -y 2) dy =du (x , y ) ，并求u (x , y ) 因为P (x , y ) =2xy -y 2，Q (x , y ) =x 2-2xy -y 2，
∂P ∂Q
=2(x -y ) =
∂y ∂x
所以(2xy -y 2) dx +(x 2-2xy -y 2) dy 为某个函数u (x , y ) 的全微分，
u (x , y ) =⎰
(或=14
．I =
x
(x , y )
(0,0)
Pdx +Qdy =⎰(2xy -y 2) dx +⎰(-y 2) dy
x y
y 132222
=x y -xy -y 0dx +(x -2xy -y ) dy ) ⎰0⎰0
3
⎰
，其中L :x 2+y 2=ax (a >0)
解一：记L 1为L 的位于x 轴上方的部分，其参数方程为：
x =
a a a
+cos t , y =sin t ,(0≤t ≤π) ， 222
因为L 关于x
关于变量y 成偶函数，故
I =⎰
=2⎰
π
L 1
=2⎰
L 1
=2
⎰
=a
2
⎰
π
t t =a 2.2sin
2π0
=2a 2
解二： L 的极坐标方程为 r =a cos θ, -
π
2
≤θ≤
π
2
，
ds =d θ=ad θ，
π
故
I =
⎰
=π2a cos θ. ad θ=2a 2
2
15．
⎰⎰(z +2x +
∑
x y z 4
y ) ds ，其中∑为平面++=1在第一卦限中的部分.
2343
解：
⎰⎰(z +2x +
∑
4y 4y 614
+2x +) dxdy =461 y ) ds =⎰⎰(4-2x -3333D xy
12
(x +y 2) 介于平面z =0及z =2之间的部分2
16．
22
⎰⎰(x +y ) dxdy ，其中∑是z =∑
的下侧.
22
解：D xy =(x , y ) x +y ≤4
{}
⎰⎰(x +y ) dxdy =-
∑
22
D xy
⎰⎰(x
2
+y ) dxdy =-⎰
2
2π
d θ⎰ρ3d ρ=-8π
2
综合练习（B ）
1．曲线积分
⎰
C
yds c 是折线y =1--x (0≤x ≤2). （91级）
2
2．设c 为圆x +y =1上第一象限的部分，则曲线积分（92级）
3．设c 表示圆周x +y =1，则曲线积分
2
2
2
⎰
C
(2x +y ) ds 之值为-----3。
⎰
c
x ds 之值是--------4. （93级）
（0，0，0）4．设L 为由点A (2,1,2)到原点O 的直线段，则曲线积分
之值为25. （94级）
⎰
L
(x +y +z ) 2ds
5． c 为y =x 上点(0,0)到(1,1)
的一段弧，则曲线积分
3
⎰
C
=⎰0
1
（写出定积分形式，不必计算）. （94级）
x 2y 222
+=1，其周长为a ，则 6．设c 是封闭椭圆曲线c (2+3x +4y ) ds = ⎰43
7．若dz =(2xy +3x 2) dx +(x 2+3y 2) dy ，则z =x 2y +x 3+y 3+c . . （94级） 8．空间曲线x =3t , y =3t 2, z =3t 3从O (0,0,0)到(3,3,2)的弧长为-----5. （96级） 9．曲线积分
⎰
(1,1)(0,0)
(x 3+2xy ) dx +(x 2-2y 4) dy 的值是
2
2
17
. （91级） 20
12
(xy -2y ) dx +(x +y ) dy ⎰c
2
10．c 为取正向的圆周x +y =3的正向，则曲线积分之值是8π. （93级）
11．为圆周x +y =3的正向，则曲线积分值为15π. （94级）
2
2
⎰
c
(2x sin y -4y ) dx +(x 2cos y +x ) dy 之
12．中c 为曲线x =y 从点(0,0)到(1,1)的一段. （90级）
2
解：因为ds =
，所以I =
3
3
⎰
1
3
1222
=. (1+4y )
83
10
=
13．其中c 为曲线x =cos t , y =sin t (0≤t ≤
π
2
) 的一段. （88级）
∂P x 2-y 2∂Q
解：参看图10-1，因为=2=
∂y (x +y 2) 2∂x
取c 1:x =cos t , y =sin t (0≤t ≤
2
2
3
(x , y ) ≠(0,0) 所以
π
2
), 则I =⎰
C
π22
ydx -xdy -sin -cos t π2
=dt =-2222⎰0x +y cos t +sin t 2
14．子(3x y +8xy ) dx +(x +8x y +12ye ) dy 数. （88级） 解：因为
2y
为某个函数的全微分，并求它的原函
∂P ∂Q
=3x 2+16xy =在全平面上成立， ∂y ∂x
2
3
2
y
所以(3x y +8xy ) dx +(x +8x y +12ye ) dy 为某个函数的全微分，
2
且u 1(x , y ) = =
⎰
y 0
(x , y ) (0,0)
(3x 2y +8xy 2) dx +(x 3+8x 2y +12ye y ) dy
⎰
(x 3+8x 2y +12ye y ) dy =x 3y +4x 2y 2+12e y (y -1) +12,
即u (x , y ) =x 3y +4x 2y 2+12e y (y -1) +C
2x y 2-3x 2
15．3dx +dy 是某个函数u (x , y ) 的全微分，并求出这个函数. （92级）
y y 4
∂P 6x ∂Q 2x y 2-3x 2
=-4=解： 因为，所以3dx +dy 是某个函数u (x , y ) 的全微分 4∂y y ∂x y y
则u 1(x , y ) =
⎰
x 0
2xdx +⎰
y
1
13x 2x 21
(2-4) dy =3-+1 y y y y
x 21
即u (x , y ) =3-+c .
x y
16．曲线积分I =
⎰
C
(12xy +e y ) dx -(cosy -xe y ) dy ，其中曲线c 由点A (-1,1) 沿曲
2
线y =x 到点O (0,0)再沿直线y =0到点B (2,0)的路径. （98级）
解： 补直线BE , EA , 方向如图10-10所示， 因此I =
⎰⎰
D
(-12x ) dxd -⎰(2e -cos y ) dy -⎰(12x +e ) dx
2
1
y
-1
21-(e 2-2-s i n 1) --(1e -8e 3=) + =-- s i
五、达标测试
第十章 曲线积分与曲面积分测试题一
12
(xy -2y ) dx +(x +y ) dy L
2
之值是------------------------------------------------------------------------------（ ）D
A 、-8π B 、-4π C 、4π D 、8π
1．设L 为取正向的圆周x +y =4，则曲线积分
2
2
2．设函数P (x , y ), Q (x , y ) 在单连通域D 上具有一阶连续偏导数，则曲线积分
⎰P d x +Qd y 在D 域内与路径无关的充要条件是------------------------（ ）C
L
A 、
∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P
B 、 C 、 D 、 =-=-==
∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x
x 2y 2
+=1，其周长为a ，则(x 3+y 3+1) ds =----（ ）---B 3．若L 是封闭曲线
L 43
A 、 0 B 、 a C 、 a 2 D 、 a 3
4．设L 为直线y =x 上从点（0 ，0）到点（1 ，1）之间的一段，则
⎰
L
yds =（D ）
A 、
12
B 、 1 C 、0 D 、 22
5．设AEB 是由A(-1,0)沿上半圆周y =-x 2经点E (0,1)到点B (1,0)，则曲线积分
I =x 2y 2dy ＝ . ----C
A 、22y 2dy B 、2x 2y 2dy C 、0 D 、
AB
x 2y 2dy
6．若曲线积分
⎰
(1, 1)
(0, 0)
(x 3+kxy ) dx +(x 2-2y 4) dy 与路径无关，则k =. ----2
7．设曲线L 由直线|x |+|y |=1所组成，则曲线积分8．设
(|x |+|y |)ds = .--4
L
2
(x -y ) dx +(x +y ) dy 22
；(x +y ≠0), 是某二元函数的全微分，则m =______.-1 22m
(x +y )
9．设V 是由光滑闭曲线Σ（取外侧）围成的空间立体的体积, 利用高斯公式有
⎰⎰(x +z ) dydz +(y -x ) dzdx +(x +z ) dxdy .-----3V
∑
10．设光滑闭曲面∑所围成的空间闭区域为Ω，∑取外侧，则用高斯公式化曲面积分为三重积分时，有11．求I =解：I =
xzdxdy +zxdxdz +yzdydz
∑
=______________.----⎰⎰⎰xdv
Ω
⎰
L
x dx ，其中L 为曲线x =y 2从点(0, 0) 到(1, 1) 的一段.
10
⎰
L
x dx =⎰
L
y 22ydy =⎰2y 2dy =
1
2 3
12．计算曲线积分
⎰2
y dx +(x -y ) dy ，其中L 是曲线y =x 2上从点(1,1)到点
(2,4) 的一段弧.
⎧y =x 2
解：曲线参数方程为⎨x 从1变到2
⎩x =x
⎰
L
2y dx +(x -y ) dy =⎰2xdx +(x -x 2) 2xdx =
1
2
1 6
⎧x =sin t
πxdx +ydy +zdz ⎪
13．计算曲线积分⎰，其中Γ是曲线⎨y =cos t 上从t =0到t =的
Γ2x 2+y 2+z 2⎪z =e t
⎩
一段.
π2
解：原式=
⎰
sin t cos tdt +cos t (-sin t ) dt +e t ⋅e t dt
sin t +cos t +e
π
2
2
2t
12e 2t
2
=⎰d (2t ) =+e 2t |0=+e π-2 20+e 2t
14．计算曲线积分
π
⎰(6xy
L
2
-y 3) dx +(6x 2y -3xy 2) dy ，其中L 是从点A (0, 1) 沿
y =x 2+1至点B (1,2) 的一段弧.
解：P (x , y ) =6xy -y ， Q (x , y ) =6x y -3xy
2
3
2
2
∂P ∂Q =12xy -3y 2=， 积分与路径无关 ∂y ∂x
取点C(0,2)， 原式＝15．求
AC
＋
CB
＝0＋
⎰(24x -8) dx ＝4
1
⎰(x +y ) dx +(x -y ) dy ，其中L 为折线段y =1-|1-x |上从点(0, 0) 到点
L
(2, 0) 的一段.
解：P =x +y ,
Q =x -y
∂Q ∂P ==1 ∂x ∂y
故该曲线积分与路径无关
⎰
L
(x +y ) dx +(x -y ) dy =⎰xdx =
2
122x =2 20
21
另解：
⎰
L
(x +y ) dx +(x -y ) dy =⎰2xdx +⎰2dx +(2x -2) ⋅(-1) dx = =2
1
16．证明(2xe y +y ) dx +(x 2e y +x -2y ) dy 为一个二元函数u (x , y ) 的全微分，并求
u (x , y ) .
解：P (x , y ) =2xe y +y , Q (x , y ) =x 2e y +x -2y
∂P ∂Q =2xe y +1=，∴Pdx +Qdy 为一个二元函数的全微分 ∂y ∂x
(x , y )
u (x , y ) =
(0, 0)
y 2y
(2xe +y ) dx +(x e +x -2y ) dy ⎰
=⎰
x
(x , 0)
(0, 0)
(2xe y +y ) dx +(x 2e y +x -2y ) d y +⎰
y
(x , y )
(x , 0)
(2xe y +y ) dx +(x 2e y +x -2y ) d y
=⎰2xdx +⎰(x 2e y +x -2y ) dy =x 2e y +xy -y 2
17．计算曲线积分
⎰
L
(x 2-y 2) dx +(x 2+y 2) dy 式中的L 是从点A (-2,1) 沿y =x -1
经点B (0,-1) 至点C (2,1)的折线段.
⎧x =x C (2,1)A (-2,1) 解：取L 1是从到的直线段，其方程为 ⎨，x 从＋2→－2，
y =1⎩
原式＝(
1
L +L 1
-⎰
L 1
)(x -y ) dx +(x +y ) dy =⎰⎰(2x +2y ) dxdy -⎰(x 2-1) dx
2
2
2
2
-2
D
2
=2⎰dy ⎰
-1
(y +1)
-(y +1)
ydx +2⎰(x 2-1) dx =
BC
2
84
+=4 33
另解：原式＝
AB
+=I 1+I 2
-1-14
I 1=⎰(y +1) 2-y 2(-dy ) +(y +1) 2+y 2dy =⎰2y 2dy =-
11311116
I 2=⎰(y +1) 2-y 2dy +⎰(y +1) 2+y 2d y =2⎰(y +1) 2dy =
-1-1-13
[][]
[][]
故原式＝I 1+I 2＝-
416＋＝4 33
18．验证式子(2xy +3x 2) dx +(x 2+3y 2) dy 是某个二元函数u (x , y ) 的全微分，并求出u (x , y ). 解：P =2xy +3x 2,
Q =x 2+3y 2
∴
∂Q ∂P
==2x ∂x ∂y
x
y
u (x , y ) =⎰3x 2dx +⎰(x 2+3y 2) dy =x 3+x 2y +y 3
19．计算曲面积分，
22(x +y ) ds 其中∑为锥面z =∑
x 2+y 2与平面z =1所围成
区域的整个边界曲面. 解：记∑1:z =
x 2+y 2 ds =2d x d y
∑2:z =1 ds =dxdy
I =
(x
∑
2
+y 2) ds =(⎰⎰+⎰⎰)(x 2+y 2) ds =I 1+I 2
∑1
∑2
I 1=
x 2+y 2≤1
223
(x +y ) 2dxdy =2d θr ⎰⎰⎰⎰dr =
2π1
2
π 2
I 2=
x 2+y 2≤1
3
⎰⎰(x +y ) dxdy =⎰d θ⎰r dr =
22
2π1
π
2
∴ I =I 1+I 2=20．计算积分I=
1
(2+1) π 2
2
(x
∑
+y 2+z 2) dxdy ，其中∑为由z =z =0所围
区域的边界曲面的外侧. （a >0） 解：I =
32d ϕd θr =22zd υ⎰0⎰0⎰0cos ϕsin ϕdr ⎰⎰⎰
2π
π
a
Ω
sin 2ϕ
=(2⋅2π⋅)
2
21．
π20
r 4⋅4a πa 4= 02
222
y ⎰⎰dzdx ，式中∑是圆柱面x +y =1上由y ≥0，0≤z ≤3所限定的部分柱∑
面的右侧.
解：曲面∑方程y 2=1-x 2
∑在xoz 面上的投影区域为D xz :x ≤1，0≤Z ≤3
原式=
D xz
⎰⎰(1-x
2
) dxdz =⎰(1-x ) dx ⎰dz =4
-1
1
2
3
2222
22．求球面x +y +z =R 上位于z =
R R
和z =之间的部分球面的面积. （要求32
用高等数学的知识求解）
R R ≤z ≤ 32328222
在xoy 面上的投影区域D xy :R ≤x +y ≤R
49
R 22
ds =+z x +z y dxdy =dxdy
222R -x -y
解：曲面方程：z =
R 2-x 2-y 2
⎰⎰ds =⎰⎰
∑
D xy
R R -x -y
e z x 2+y 2
2
2
2
dxdy =R ⎰d θ0
2π
2R 3R 2
rdr R -r
2
2
=
πR 2
3
23．求
⎰⎰
∑
22
dxdy ，其中∑为锥面Z ＝x +y 夹在Z =1和Z =2之间的下
侧部分.
解：∑在xoy 面上的投影区域为D XY :1≤x +y ≤4
2
2
⎰⎰
∑
e
2
z
2
x +y
=-⎰⎰
D X Y
e
x 2+y 22
2
x +y
＝－⎰d ϑ⎰
2π2
1
e r
=-2π(e 2-e ) . r
第十章 曲线积分与曲面积分测试题二
一、选择题（7×4分）
1. 设L 的方程为x +y =a ，则
2
2
2
L
(x 2+y 2) n ds =---------------------------（ B ）
A 、2πa 2n B 、2πa 2n +1 C 、πa 2n +2 D 、2πa 2n +2
x 2y 233
+=1，2. 若L 是封闭曲线其周长为a ，则(x +y +1) ds =--------（ B ）
L 43
A 、 0 B 、 a C 、 a 2 D 、 a 3
3. 设函数P (x , y ), Q (x , y ) 在单连通域D 上具有一阶连续偏导数，则曲线积分
⎰Pdx +Qdy 在D 域内与路径无关的充要条件是--------------------------------（ C ）
L
A 、
∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P
=-=-== B 、 C 、 D 、 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x
2
2
12
(xy -2y ) dx +(x +y ) dy L
2
之值是----------------------------------------------------------------------------------------（ D ）
A 、-8π B 、-4π C 、4π D 、8π
4. 设L 为取正向的圆周x +y =4，则曲线积分5. 设∑为球面：x +y +z =R ，则曲面积分
2
2
2
2
222
(x +y +z ) ds =-------（ C ） ⎰⎰∑
A 、4πR 2 B 、 4πR 3 C 、4πR 4 D 、8πR 4
222
6. 设∑是球面x +y +z =1的外侧在x ≥0, y ≥0, z ≤0的部分，∑在xoy 面上的
投影区域为D ，则曲面积分
⎰⎰f (z ) dxdy 可化为如下的二重积分形式----------（
∑
A ）
A 、-⎰⎰f (--x 2-y 2) dxdy B 、-⎰⎰f (-x 2-y 2) dxdy
D
D
C 、⎰⎰f (--x 2-y 2) dxdy D 、
D
⎰⎰f (
D
-x 2-y 2) dxdy
7. 设空间闭区域Ω={(x , y , z ) |x |≤1, |y |≤1, |z |≤1}，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算
xdydz -ydzdx +zdxdy 得---------------------------（ C ）
∑
A 、1 B 、 4 C 、8 D 、24
二、填空题（3×4分）
1. 设曲线L 由直线|x |+|y |=1所组成，则曲线积分
(|x |+|y |)ds = 4
L
2
222
2. 设某空间向量A ={x , y , z }，则div A = 2(x +y +z )
3. 若曲线积分
⎰
(1, 1)
(0, 0)
(x 3+kxy ) dx +(x 2-2y 4) dy 与路径无关，则k = 2
三、计算题（4×7分） 1. 求I =解：I =2. 求
⎰⎰
L
x dx ，其中L 为曲线x =y 2从点(0, 0) 到(1, 1) 的一段。 x dx =⎰
10
L
y 2ydy =⎰2y 2dy =
2
1
2 3
⎰(x +y ) dx +(x -y ) dy ，其中L 为折线段y =1-|1-x |上从点(0, 0) 到点
L
(2, 0) 的一段。
解：P =x +y ,
Q =x -y
∂Q ∂P
==1 故该曲线积分与路径无关。 ∂x ∂y
⎰
L
(x +y ) dx +(x -y ) dy =⎰xdx =
2
122x =2 20
21
另解：
⎰
L
(x +y ) dx +(x -y ) dy =⎰2xdx +⎰2dx +(2x -2) ⋅(-1) dx = =2
1
3. 设∑为锥面z =
x 2+y 2被平面z =1所截部分，求⎰⎰zds .
∑
⎧⎪z =x 2+y 2
⇒x 2+y 2=1 解：⎨
⎪z =1⎩
⎰⎰zds =
∑
D xy
⎰⎰
x 2+y 2+z x +z y dxdy
2π
1
22
=
D xy
⎰⎰2x 2+y 2dxdy =2⎰
d θ⎰ρ⋅ρd ρ=
22
π 3
22
4. 设∑为半球面z =-x -y 的上侧，求
⎰⎰(1-z ) dxdy .
∑
解：
⎰⎰(1-z ) dxdy =
∑
D xy
22
(1--x -y ) dxdy =⎰⎰⎰
2π
d θ⎰(1--ρ2) ρd ρ=
1
π
3
四、（9分）验证式子(2xy +3x 2) dx +(x 2+3y 2) dy 是某个二元函数u (x , y ) 的全微分，并求出u (x , y ). 解：P =2xy +3x 2,
x
2
Q =x 2+3y 2 ∴
y
∂Q ∂P
==2x ∂x ∂y
u (x , y ) =⎰3x dx +⎰(x 2+3y 2) dy =x 3+x 2y +y 3
五、（8
分）设f (u ) 具有连续的导函数，求证：曲线积分
x 21+y 2f (xy )
+[y f (xy ) -1]dy 与路径无关，其中L 为上半平面内的任意一dx 2⎰L
y y
条曲线，并计算由点(3,
2
) 沿曲线L 到达点(1, 2) 时该曲线积分之值。 3
1+y 2f (xy ) x
证明：P =, Q =xf (xy ) -2⇒
y y
∂Q ∂P 1
==-2+f (xy ) +xy f '(xy ) ∂x ∂y y
x 1+y 2f (xy ) 故曲线积分⎰dx +2[y 2f (xy ) -1]dy 与路径无关。
L y y
2⎡1⎡31⎤1+y 2f (xy ) 22⎤x 2
dx +2[y f (xy ) -1]dy =⎰⎢+f (x ) ⎥dx +2⎢f (y ) -2⎥dy ⎰L 32y ⎦y 33⎦y ⎣3⎣
232
=-3+
⎰
f (t ) dt +
2[f (y ) ]dy -2
3
3
2∑
22
1
=4 2y
，其中∑为曲面z =
六、（8分）求I =
⎰⎰z dydz +ydzdx +zdxdy
x 2+y 2，
（0≤z ≤4）的外侧。 解：
2
⎰⎰z dydz +ydzdx +zdxdy =⎰⎰⎰(
Ω
∑+∑'
∂P ∂Q ∂R 128π++) dv =2⎰⎰⎰dv = ∂x ∂y ∂z 3Ω
∑'
2
z ⎰⎰dydz +ydzdx +zdxdy =⎰⎰zdxdy =4⎰⎰dxdy =64π ∑'
∑'
I =
2
⎰⎰z dydz +ydzdx +zdxdy =∑
128π64π
-64π=- 33
七、（7分）（二选一）
1. 设函数Q (x , y ) 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
⎰2xydx +Q (x , y ) dy 与路径无关，并且对任意t 恒有
L
⎰
(t , 1)
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy =⎰
L
(1, t )
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy ，求Q (x , y ).
解：由曲线积分
⎰2xydx +Q (x , y ) dy 与路径无关可得：
(1, t )
∂Q
=2x ⇒Q =x 2+ϕ(y ) ∂x
由
⎰
(t , 1)
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy =⎰
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy 得：
1
t
⎰[t
10
2
+ϕ(y ) dy =⎰[1+ϕ(y ) ]dy ⇒t 2+⎰ϕ(y ) dy =⎰ϕ(y ) dy +t (*)
]
t
) 两边求导得：ϕ(t ) =2t -1⇒Q (x , y ) =x 2+2y -1 (*式
22
2. 设L 是圆周x +y =1，取逆时针方向，又f (x ) 为正值连续函数，求证：
L
xf (y ) dy -
y
dx ≥2π. f (x )
证明：
∂Q ∂P 1
-=f (y ) + ∂x ∂y f (x )
L
xf (y ) dy -
⎡y 1⎤
dx =⎰⎰⎢f (y ) +dxdy ⎥f (x ) f (x ) ⎦D ⎣
D
而
⎰⎰f (y ) dxdy =⎰⎰f (x ) dxdy （因D 关于y =x 对称）
D
故
L
xf (y ) dy -
⎡⎡y 1⎤1⎤
=dx =⎰⎰⎢f (y ) +dxdy f (x ) +dxdy ⎥⎢⎥⎰⎰f (x ) f (x ) ⎦f (x ) ⎦D ⎣D ⎣
≥2⎰⎰dxdy =2π
D