浅析二项分布_泊松分布和正态分布之间的关系
阅 年 第 期总第 期
企
业 科技发展
与巨它
,
改
】
们
比浅
析二 项 分布
泊
分松 布正 态分和布之 间的关 系
于
、洋
,
东 时北 经 学 数 学与 数 童 经大济 学 院
宁辽大 连
,
仪
板 时了 翔肠功
。
油巴
硬
油即
伽
石 ‘
因,,
肠
朗 叨
”
。
。
饥肠
几
州
肠
加叱‘ 八价 饥仰了 厂阮即 , 。 。击 园‘
,阅石。
诩,
山 肠
切
即石“
喻
城
。
山
。。
丽吨
州
左叹 夕,
脚飞
而
,
毗
川
,
。
玩忱
石饰
电
褚花功
。
玩加
切倪
二
妞 卜
胃如
帕诵
,油
,
朋
”朋
山
远 ‘
川创
目
】
过喻
设机 随变量概率 为
“
。
预 知备识
二 项 分布
同一在 件下重条 复 次做 立独 试 验每次 验试只 可能有 两
对 种立 的 结果 率是 概 尸
和在,
,
所有 可 能 取 得值 为 二
,
,
,
…,
,
而 各个取值
的
月夏
兄
一
之
, ,
,
其…中
只一
‘是 常数
。
,
则
称
服 参从为 数 兄的 松 泊布分
,
记
为一之,
,刃
刃
‘
并
在设 同一 次 试 验 中 发 生 的 , 。 一时这而 尸 ,
刁
。
,
松泊布的分要重质是它性数学期望的和方 都差于等参 数兄
。
态正 分布
设连续 型 随 机变
,
二量
次独立 试 验
中
,出现‘
的
计 总 次
,
数
是 个随机一量变
,
,
的概率密度
为户卜 产
’
,子
并且 总
有
厦
卜心
刀
卜。 ‘
,
,
…
一,
姊班称为濒分
二布 项 展 开式 的各 项 系 数型
。,
是 为因 心
‘扩
淞为
一
川,。
‘云
,
了
,
“‘一
‘
①,
中其 “
,
口
为
常数
布
,
,
口一
则
溯称 参及数 从为口 的正态 分布或 高斯分从
种这 率 概 模型也 被 称 为努伯利
概,
记为
服从参
为数,
二的 分项布,
记为
州
户。
,
。
正 态分的布 概率 度密 中 的 个 参数产 两 护 和分别是该就分
二由项分 布 的定 义 知件发生 的次
,
随机 变数盆
是
,重 伯
努试验利中事
。
布
的学数期 望 和方差 布
,
特别。地,
,
声当一
,,
口
,
,
的时 态 正分
且在每次试验 中
发
生 的 率 概为
一项
。
二
称标为准正 分布态
记
“
为‘
标 准
正态 布分
的分 布的
数期学望 和 方差 别 是分群
月
产泊松
分布
泊松布分刻画了 有稀 件 事在一 段 时 间 内发生 次 数这 随 机一变
分的布
,
密 函数度 记
叭为
一
歹了
,
‘一
“
。
・
正 态分布是 自 界及然 程技工 术中最 常 见的分 布之一 的 随现 象 都机是服从 或近似 从 服 正态 布 的
分,
大
量,
如电话换交台单 时位间接到的内 呼唤数
,
次,
某
公文 【 献 出
指
共 车站 在单位 时汽间 来站内乘 的乘客数车
星
球的个 数
宇 宙
中单 位 体积内
如果。个一 随 机 标指到许受多 小微的
、
独 立
的随机 素因的 影 响
,
,
耕 上 地位 单 积面内杂 草 数 的目等一
,
其 中而任一何个 因 都素不 起 定性决作 用、
则 可
认 为该随 指机标
于 作 者简 介 洋 】【
男
,
大 连人
,东
财北经 大学讲师
,
硕
学位
士
,研
究 方向
率概统
数计圣经 济 学
。
二
一
服 或近从 服似 从正 态 分布
,
这
正 是正态 布分理在 与论实践上 都
极
其要重的 原因
。
溢 翩铁阔
‘ 主要结
。
果戈‘
。
,
二 项一分 与布松分布 之泊间 的关 系定
理
厂一
松定泊 理
重在 伯利试努验
,中
事
件,
每在次
试
,不 飞 不 不犷
“一
戈
一一,, 。一
,
’
一
不不面 丁
验 中
发 生概 的 为率
之
,
几
,它与 试验次有数关
,
如
果
则
对任 意给 定的
一 ‘
几”一
有
夕
,
,辣 ,
・
’
‘不不不一 不不面
‘
。辣 心
川布 际 中实
‘, ・
一
几
松泊定理的证 明 文见献
的参【数 反川大
之
,,
—
,
匕。
二只
要查一 标查正 态准布分函数渊 表尺容易得到尸
好
和
,戈
由
该 定理可
知而兄 二
,
二当项分
,
的 相当确 的精
值
原。 上
则,
式和
式用 于适 任何定给 的
很
,小
大小适 时中,
充大分 的
。
不过
当
大或较 较小 时近似 效果 较 差,
应
用
‘
‘
尸时
见文献,
二项
时夕最 好 满足 指还出
,
‘
尸
‘
见 文 献参
。
外
,
文
献
,分布可
用参数 为
兄
泊松分布的来近 似
卜 ‘
二即
于 由 我们是用一个 续连布来近分似离散 分 布 实 际在
为了 减 近少似误
差,
‘ ‘,
。
,卜
就 是这二项 分 的泊布逼松 近
近 似 效果往往 佳不
。
若
小
。
很
。一
应
中 用然
应尽 可 当能大
地,
,
常
用
。一
否则
扣戈 来
代 式
替
小
。
。、厂
,。
一
一
、
不
不 面 一不不
布,
二 项分布 泊松 的近 似常被常 用 于 研究稀应 事件
有
即次每
验试中 件 出事 的概现 时率
,泊松
分与正 布态分 布 之间 的 关系 由定理
和定理
可 二知 项布既分 可 以用泊松 布分近似
。
’
当伯努利验 的试次
,
很大数
,
事 件 生 发频的数 的 布 分时
,实
际表 明,
,
在一 般 情况 下不必很
大可都
当
这以
也
以可 正用 态分布近似
显
,然
松泊 布分 和正态 布分一 在定
条
。这
种 近是 很似好 的
至
,
件甚下 具也有近 似 系 关定
理,
下
面的 理定说 明 松分泊的布正态通
近
,点 从比 较二 项分 与泊 松布 分 的布 概率分表布也 可以看 出
如了,
。例
对
任 意的 口
有。。
一。
表当
时
刀,
甚
至
时,
,
这
种 近似 程度已 经 很 好
。
。
说
明了一这 况情裹
、
,中其
想
一
。
项二布分泊松分 布的 与比
一较
虱
,
,等
了歹
。
“
弓‘
改
,
,甲
才
“尹
尹卜‘
即
奋
一。
”号
。
,
”・ 刀一
又
万
很 小当时
,
定理
证 明的见文献 〔
。
如前文 所述
项 二分 布 泊的松 近 似和 正 近态似各 适 自用 的即
使不 很 是大,
件 条是 同的
不
泊松用 分布近
,
似二 项分
布已 相经 当吻
合,
。
但
是在这 情形种
。下
正用 分态
布
项 二 布 分正 态和分 布之 间 的 关
定理
则系 于对 意任一
近 似去项二 布分
, ,,
却产会生 较大的误
,
差直
上观也 可 以 想象得
。
设
随 机 变 量,
,
一
,,
尸
欠
夕
到
,小
,很
,
”
又
不大
则
几 定一 会不 很大,
由定
理
有
一
一可知
。
正
态布分就能很不好 地 近 泊似松 分
。
布因 而也 不 就 近能
弋
似被
泊松分 十布逼分 近的 二 分布 在
项好满足 一
思定
理
,理
不不 “面。
一, ’不
充分
大 ‘‘
,
既不
近 接
,于
也
不接 于近
时
实 上 际
最,
用 正 态布分去 近 似项 分二
布效
果
,
就
就 是 概论率中 著 的名棣弗
莫
普拉 斯拉 中心极 限
定 当 充 分大时。
。
,好较
。
它
的证 明 见 文 献
【该定 理 表
”明
一,
二项
表
,的比
,较
是 泊松分布用 与正 态分 去布 似 近 二分项
分布 布可 用 正态 分 来布 近似
夏
,
一
一卜心
。
、
‘
即 二项 ,分布的 正态逼近 一 尸‘ 、和
例
如
、中其。
。
二,
,
一
,
二
。
,
而了万
扣
西
子
,。
二
见
可数在值上 三者 是 致大 相等 的
,
田点
士,
嵘
犷‘弋
一飞
,
充
分大 时 算计是 分 困十 难
‘
的。
根
定理
据
由定、理
易知
松泊布分
,
一
二劝当 兄 树。 极的限分
振面荞
,,肛 似服 从 ‘叹
二
二
、 ,
,
八,
,
、
一
‘
取
寺二。 ・ ”地『人
,
,
“
。
二是布 正态 分布
几
班
以
服
习
从。
为 进 了一步讨论泊 松 布 分和 正 态布分 的分布函 数 之 间近的
率
,
以一
月
。
于 是 可以 近 似 地 用 正 分 态布 计 算来上 述 概
似关
系
,
需 要 到随用 机变 量特 的征函 数相的 知 关
识,
首先给 出
即
厦
心
卜,
‘
一
卜,
‘特 征
函 数的 定
衰
泊义分布 正松 态分 布二 项分 布的比
较
,
、
、
,
开
为日二
二
一
‘
一
二生
一 于二 是滩 ,
“
…
、
忽 。略 以 尸后 各
二
丁
项,
则有
一
“
、
才砂
一‘
。
二
,
一
,
娜
“
七 ,一
刃
一友
众
‘
—
,
澎
—
‘
根定据理兄
可 知松分布泊‘
劝 的分布函数
”
厦
二
补 轰卜
一
一
‘与正
态 布分
兄 兄的分布 函 数
一浇
户
渝
, 丁‘
会,
近似 等
相,
证
毕
。
结语
综上所述
二项 分布
很当大
,
小很兄二 ,
大适 小时
中设望
,
可
用 参数 兄 为二
的松分泊 布来 似
近 充当,
为随
变
机,
其分布
函数为 ,
,
比
称 日 的 学数
期
分 大
,
且
既不接 近
于,
。也
不 近 于
接时
,
二项
布分‘
以
,产
为
的特 征函 数 也 称 分为布 函数
的特 函征
可用
正态分
布,一
来 近似泊松 分布‘
兄,
冷‘
充二
数
中其
‘在不
弓起 乱的情混下况简 写为时
,
石
,
。
一、 一
,
。
记
,的特
征函 数为即
,
劝
。大分的极限分布时 是 态分布正的分布
函数与 态 正 分布
,
劝
,
并 且泊分松布。
兄
・
尹
以
兄兄 分布 的 函近 似相 等
数妞
和 正态 分布 别分 从 泊服 松 分 扭 布口 随机当 一变’ 见文 献〔 〕其征特 数函别分 为。 ‘‘ ,, 。和
汉蚤
。
参【
之 梁
舜,
考丈
伙
特征
函数 一 的重个性质 要
是互一唯 确
。
定的特征
函数与其分布 函数
邓集相
,赞
,
等
概率论 与数 理 计统〔
版
北
京高
千外此 文 献〔 给 出 下 的面一个定
理和
凡
教育 版社出
定理
唯一性 定理分布 函 数
汽和
,儿
恒
等的分充
。
图 周
极容 率概 论与 理 苦 统基计 抽 【 〕上 海
仪
片
复。旦 大 学 版 社出
,
必
要条件 是它 们的特 征数函
恒
等命
题
设
一
劝
泊松分布兄 的布 分函
数
区 振 魏军概 率论 与 数 理 计 三 统 三 讲【十〕 北 版
’
京
国统中
出计社
版
,
仁
正与 分布态
小
兄艺。
,
匡 杜 明
, 助二一
一
,
陈
冬 谈
,
姚
云
二
项 分布 和泊 松 分 布 的 态正近 似 条 分
件,
丝达
三 ’‘
劝
分的布 函
,数内
不丽
、,
、
卜析
咖
」 湖 北医 科 大学学报
是近
似等的
相囚龙永 红 概 率 与 论 理 统 计 数 〔 〕札
用
北
京高等
教育 出版 社
,
前由 文可
又 的特知 函数是征 而 万、〔
峥一勺 八又 、 的兄特征函 是 已数
声
力
工
产 耳
〔 资任 辑
编‘
怡玲陈 〕
。对 意任的
官的幕 数级
展