2017年高考数学选填真题(压轴题)

2017年高考数学选填真题（压轴题）

一．选择题（共21小题）

1．已知F 为抛物线C ：y 2=4x的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）

A ．16 B ．14 C ．12 D ．10

2．设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ）

A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z

3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）

A ．440 B ．330 C ．220 D ．110

4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinB +sinA （sinC ﹣cosC ）=0，a=2，c=

A ． B ．，则C=（ ） C ． D ．

5．设A ，B 是椭圆C ：+=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是（ ）

A ．（0，1]∪[9，+∞） B ．（0，

D ．（0，]∪[4，+∞）

﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所]∪[9，+∞） C ．（0，1]∪[4，+∞）6．若双曲线C ：截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）

A ．2 B ． C ． D ．

7．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线

AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）

A ． B ． C ． D ．

8．若x=﹣2是函数f （x ）=（x 2+ax ﹣1）e x ﹣1的极值点，则f （x ）的极小值为（ ）

A ．﹣1 B ．﹣2e ﹣3 C ．5e ﹣3 D．1

9．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，

则

的最小值是（ ）

A ．﹣2 B ．﹣ C．﹣ D．﹣1

10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）

•（+）

A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π

11．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A ．10 B ．12 C ．14 D ．16

12．已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，则C 的离心率为（ ）

A ． B ． C ． D ．

13．已知函数f （x ）=x2﹣2x +a （e x ﹣1+e ﹣x +1）有唯一零点，则a=（ ）

A ．﹣ B． C ． D ．1

14．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．

若=λ

A ．3 +μ，则λ+μ的最大值为（ ） C． D ．2

的直线交C 于点M （M 在x 轴上B ．

215．过抛物线C ：y 2=4x的焦点F

，且斜率为

方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）

A ． B ．

2 C．

2 D．3

16．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）

A ． B ． C ． D ．

17．如图，已知正四面体D ﹣ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D ﹣PR ﹣Q ，D ﹣PQ ﹣R ，D ﹣QR ﹣P 的平面角为α、β、γ，则（ ）

A ．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α

18．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1

=•，I 2=•，I 3=•，则（ ）

A ．I 1＜I 2＜I 3 B ．I 1＜I 3＜I 2 C ．I 3＜I 1＜I 2 D ．I 2＜I 1＜I 3

19．若a ＞b ＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）

A ．a +＜＜log 2（a +b ）） B ．＜log 2（a +b ）＜a +

C ．a +＜log 2（a +b ）＜ D ．log 2（a +b ））＜a +＜

20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是（ ）

A ．a=2b B ．b=2a C ．A=2B D ．B=2A

+m 的图象有且只21．已知当x ∈[0，1]时，函数y=（mx ﹣1）2 的图象与y=

有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）

A ．（0，1]∪[2

二．填空题（共19小题）

22．已知双曲线C ：﹣D ．（0，，+∞） B ．（0，1]∪[3，+∞） C ．（0，]∪[3，+∞） ）∪[2，+∞）=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为 ．

23．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 ．

24．已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC，SB=BC，三棱锥S ﹣ABC 的体积为9，则球O 的表面积为 ．

25．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则

=

26．已知F 是抛物线C ：y 2=8x的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |=．

27．设函数f （x ）=

是 ．

28．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；

②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；

③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；

④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；

其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）

29．已知函数f （x ）=x3﹣2x +e x ﹣，其中e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1），则满足f （x ）+f （x ﹣）＞1的x 的取值范围+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是 ．

30．如图，在同一个平面内，向量夹角为α，且tanα=7，m +n= 与，，的模分别为1，1，=m+n ，与的的夹角为45°．若（m ，n ∈R ），则

31．在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 ．

，32．设（f x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，（f x ）=

其中集合D={x |x=，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是 ．

33．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB=acosC+ccosA ，则B=

34．已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是 ，cos ∠BDC= ．

35

．已知向量、满足

||=1，||=2，则

|+|+|﹣|的最小值是，最大值是 ．

36．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）

37．已知a ∈R ，函数f （x ）=|x +﹣a |+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．

38

．由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．

39．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py（p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 ．

40．若函数e x f （x ）（e ≈2.71828…是自然对数的底数）在f （x ）的定义域上单调递增，则称函数f （x ）具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ．

①f （x ）=2﹣x ②f （x ）=3﹣x ③f （x ）=x3④f （x ）=x2+2．

2017年高考数学选填真题（压轴题）

参考答案与试题解析

一．选择题（共21小题）

1．（2017•新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：y 2=4x的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）

A ．16 B ．14 C ．12 D ．10

【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB |+|DE |最小，根据弦长公式计算即可．

方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB |，|DE |，整理求得答案

【解答】解：如图，l 1⊥l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，

直线l 2与C 交于D 、E 两点，

要使|AB |+|DE |最小，

则A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，

又直线l 2过点（1，0），

则直线l 2的方程为y=x﹣1， 联立方程组，则y 2﹣4y ﹣4=0，

∴y 1+y 2=4，y 1y 2=﹣4，

∴|DE |=•|y 1﹣y 2|=×=8，

∴|AB |+|DE |的最小值为2|DE |=16，

方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为

根据焦点弦长公式可得|AB |=|DE |==== +θ，

∴|AB |+|DE |=∵0＜sin 22θ≤1， +==，

∴当θ=45°时，|AB |+|DE |的最小，最小为16，

故选：A

【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．

2．（2017•新课标Ⅰ）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ）

A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z

【分析】x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k＞1．lgk ＞0．可得x=

得3y=

=，

2x=，5z=．根据

==，y=，，z=＞

．可．即可得出大小关系．

，y=，z=．

另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k＞1．lgk ＞0．可得x=

=

=＞1，可得2x ＞3y ，同理可得5z ＞2x ．

【解答】解：x 、y 、z 为正数，

令2x =3y =5z =k＞1．lgk ＞0．

则x=

∴3y=

∵

∴=＞lg ，

y=，2x==＞，＞0． ，z=． ，5z=＞． =． ∴3y ＜2x ＜5z ．

另解：x 、y 、z 为正数，

令2x =3y =5z =k＞1．lgk ＞0．

则x=

∴===，

y==，z=． ＞1，可得2x ＞3y ，

＞1．可得5z ＞2x ．

综上可得：5z ＞2x ＞3y ．

解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系．

故选：D ．

【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）

A ．440 B ．330 C ．220 D ．110

【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当

N 为

时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n 1

+

﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n +1﹣2﹣n ，及项数，由题意可知：2n +1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，分别分别即可求得N 的值． 【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =

+…

+

=2n +1﹣1，（n ∈N +），

则

=

a i ，

由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21﹣1+22﹣1+…+2n +1﹣1=2n +1﹣n ﹣2， 可知当N 为即为2n +1﹣n ﹣2，

容易得到N ＞100时，n ≥14， A 项，由项符合题意． B 项，仿上可知

=325，可知S 330=T25+b 5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不

=435，440=435+5，可知S 440=T29+b 5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A

时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，

为2的整数幂，故B 项不符合题意． C 项，仿上可知

=210，可知S 220=T20+b 10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，

显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意． D 项，仿上可知

=105，可知S 110=T14+b 5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然

不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．

方法二：由题意可知：

，

，

，…

，

根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n ﹣1，

每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N=1+2+3+…+n=

，

所有项数的和为S n ：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n ﹣1=（21+22+23+…+2n ）﹣n=﹣n=2n +1﹣2﹣n ，

由题意可知：2n +1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=1，总共有②1+2+4+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=5，总共有③1+2+4+8+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=13，总共有100，

④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n ）=0，解得：n=29，总共有＞100，

∴该款软件的激活码440． 故选A ．

【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题．

4．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinB +sinA （sinC ﹣cosC ）=0，a=2，c=A ．

B ．

C ．

D ．

，则C=（ ）

+2=3，不满足N ＞100， +3=18，不满足N ＞100，

+4=95，不满足N ＞

+5=440，满足N

【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 【解答】解：sinB=sin（A +C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB +sinA （sinC ﹣cosC ）=0，

∴sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC +sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1， ∵0＜A ＜π， ∴A=

，

由正弦定理可得∴sinC=∵a=2，c=∴sinC=

∵a ＞c ， ∴C=

，

， ， =

=，

=，

故选：B ．

【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题

5．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆C

：

+

=1长轴的两个端点，若C 上存

在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1]∪[9，+∞） B ．（0，

D ．（0，

]∪[4，+∞）

]∪[9，+∞）

C ．（0，1]∪[4，+∞）

【分析】分类讨论，由要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，当假设椭圆的焦点在x 轴上，tan ∠AMO=得椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，tan ∠AMO=取值范围．

【解答】解：假设椭圆的焦点在x 轴上，则0＜m ＜3时，

假设M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，

∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO=解得：0＜m ≤1；

≥tan60°=

，

≥tan60°，当即可求，即可求得m 的

≥tan60°=

当椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，

假设M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，

∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO=∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选A ．

≥tan60°=

，解得：m ≥9，

【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．

6．（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C ：

﹣

=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆

（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）

A ．2 B ． C ． D ．

【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C ：

﹣

=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx +ay=0，

圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C

：的弦长为2，

可得圆心到直线的距离为：

=

，

﹣

=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得

解得：故选：A ．

，可得e 2=4，即e=2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．

7．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】【解法一】设M 、N 、P 分别为AB ，BB 1和B 1C 1的中点，得出AB 1、BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC 、MQ ，MP 和∠MNP 的余弦值即可．

【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，BB 1和B 1C 1的中点， 则AB 1、BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0，可知MN=AB 1

=NP=BC 1=

]），

，

；

作BC 中点Q ，则△PQM 为直角三角形； ∵PQ=1，MQ=AC ， △ABC 中，由余弦定理得 AC 2=AB2+BC 2﹣2AB•BC•cos∠ABC =4+1﹣2×2×1×（﹣） =7， ∴AC=∴MQ=

， ；

=

；

在△MQP 中，MP=

在△PMN 中，由余弦定理得

cos ∠MNP==

]， ．

=﹣；

又异面直线所成角的范围是（0，∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为

【解法二】如图所示，

补成四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，求∠BC 1D 即可； BC 1=C 1D=∴

，

BD=， +BD 2

=

，

=

，

∴∠DBC 1=90°， ∴cos ∠BC 1D=

=．

【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．

8．（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f （x ）=（x 2+ax ﹣1）e x ﹣1的极值点，则f （x ）的极小值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2e ﹣3 C ．5e ﹣3 D．1

【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a ，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．

【解答】解：函数f （x ）=（x 2+ax ﹣1）e x ﹣1， 可得f′（x ）=（2x +a ）e x ﹣1+（x 2+ax ﹣1）e x ﹣1， x=﹣2是函数f （x ）=（x 2+ax ﹣1）e x ﹣1的极值点， 可得：﹣4+a +（3﹣2a ）=0． 解得a=﹣1．

可得f′（x ）=（2x ﹣1）e x ﹣1+（x 2﹣x ﹣1）e x ﹣1， =（x 2+x ﹣2）e x ﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，

当x ＜﹣2或x ＞1时，f′（x ）＞0函数是增函数，x ∈（﹣2，1）时，函数是减函数，

x=1时，函数取得极小值：f （1）=（12﹣1﹣1）e 1﹣1=﹣1． 故选：A ．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．

9．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一

点，则•（+）的最小值是（ ）

A ．﹣2 B ．﹣ C．﹣ D．﹣1

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点， 则A （0，

），B （﹣1，0），C （1，0），

=（﹣x ，

﹣y ），

=（﹣1﹣x ，﹣y ），

）2﹣]

=（1﹣x ，﹣y ），

设P （x ，y ），则则

•（

+

）=2x2﹣2

y +2y 2=2[x 2+（y ﹣

∴当x=0，

y=故选：B

时，取得最小值2×（﹣）=﹣，

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．

10．（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）

A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π

【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．

【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，

V=π•32×10﹣•π•32×6=63π， 故选：B ．

【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．（2017•新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A ．10 B ．12 C ．14 D ．16

【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可

【解答】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S 梯形=×2×（2+4）=6，

∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B

【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：

=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为

A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，则C 的离心率为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，可得原点到直线的距离

=a，化简即可得出．

【解答】解：以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切， ∴原点到直线的距离

=a，化为：a 2=3b2．

∴椭圆C 的离心率e==故选：A ．

=．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）=x2﹣2x +a （e x ﹣1+e ﹣x +1）有唯一零点，则a=（ ）

A ．﹣ B． C ． D ．1

2【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x ﹣1）的图象与y=a（e x ﹣1+

）

的图象只有一个交点求a 的值．分a=0、a ＜0、a ＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．

【解答】解：因为f （x ）=x2﹣2x +a （e x ﹣1+e ﹣x +1）=﹣1+（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+=0，

所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2=a（e x ﹣1+等价于函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a（e x ﹣1+

）有唯一解，

）

）的图象只有一个交点．

①当a=0时，f （x ）=x2﹣2x ≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a ＜0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（e x ﹣1+

）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

）的图

所以函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y=a（e x ﹣1+象的最高点为B （1，2a ），

由于2a ＜0＜1，此时函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a（e x ﹣1+两个交点，矛盾；

）的图象有

③当a ＞0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（e x ﹣1+

）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，

）的图

所以函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y=a（e x ﹣1+象的最低点为B （1，2a ），

由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件； 综上所述，a=， 故选：C ．

【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．

14．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若A ．3

B ．

2

C．

=λ

+μ

，则λ+μ的最大值为（ ）

D ．2

【分析】如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为（根据

=λ

+μ

cosθ+1，

sinθ+2），

，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．

【解答】解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，

则A （0，0），B （1，0），D （0，2），C （1，2）， ∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ， ∵BC=2，CD=1， ∴BD=

=

∴BC•CD=BD•r，

∴r=，

∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=， 设点P 的坐标为（∵∴（∴∴λ+μ=

=λ

+μ

，

sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， sinθ+2=2μ，

sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， cosθ+1，

sinθ+2），

cosθ+1，cosθ+1=λ，

cosθ

+

∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A

【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．

15．（2017•新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2=4x的焦点F ，且斜率为

的直线交C 于

点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A ．

B ．

2

C．

2

D．3

【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．

【解答】解：抛物线C ：y 2=4x的焦点F （1，0），且斜率为﹣1），

的直线：y=（x

过抛物线C ：y 2=4x的焦点F ，且斜率为l 可知：可得N （﹣1，2

，解得M （3，2

的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），

）．

（x ﹣1），即=2

．

，

），NF 的方程为：y=﹣

则M 到直线NF 的距离为：故选：C ．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．

16．（2017•新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．

B ． C ．

D ．

【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．

【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件总数n=5×5=25，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），

共有m=10个基本事件，

∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=故选：D ．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

=．

17．（2017•浙江）如图，已知正四面体D ﹣ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP=PB，

=

=2，分别记二面角D ﹣PR ﹣Q ，

D ﹣PQ ﹣R ，D ﹣QR ﹣P 的平面角为α、β、γ，则（ ）

A ．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α

【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为O ．不妨设OP=3．则O （0，0，0），P （0，﹣3，0），C （0，﹣6，0），D （0，0，6Q

，

R

），

，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．

解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥QR ，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ．．可得tanα=tanγ=

．由已知可得：OE ＞OG ＞OF ．即可得出．

．tanβ=

，

【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为O ． 不妨设OP=3．则O （0，0，0），P （0，﹣3，0），C （0，﹣6，0），D （0，0，6Q ==

，

R

，

，=（0，3，6．

，可得

，

），=（

，5，0），=

，

），

设平面PDR 的法向量为=（x ，y ，z ），则可得=则cos

=

，取平面ABC 的法向量=（0，0，1）． =

，取α=arccos

．

．

同理可得：β=arccos∵

＞

＞

．

．γ=arccos

∴α＜γ＜β．

解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥QR ，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ． 设OD=h． 则tanα=

．

，

tanγ=

．

同理可得：tanβ=

由已知可得：OE ＞OG ＞OF ．

∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角． ∴α＜γ＜β． 故选：B ．

【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

18．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=

•

，I 2=

•

，I 3=

•

，则（ ）

A ．I 1＜I 2＜I 3 B ．I 1＜I 3＜I 2 C ．I 3＜I 1＜I 2 D ．I 2＜I 1＜I 3

【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可． 【解答】解：∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2

，

∴∠AOB=∠COD ＞90°， 由图象知OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴0＞

•

＞

•

，

•

＞0，

即I 3＜I 1＜I 2， 故选：C ．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．

19．（2017•山东）若a ＞b ＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +＜

＜log 2（a +b ））

B ．

＜log 2（a +b ）＜a +

C ．a +＜log 2（a +b ）＜ D ．log 2（a +b ））＜a +＜

【分析】a ＞b ＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系． 【解答】解：∵a ＞b ＞0，且ab=1， ∴可取a=2，b=．

则∴

=4，=

=，log 2（a +b ）=

=∈（1，2），

＜log 2（a +b ）＜a +．

故选：B ．

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（2017•山东）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是（ ） A ．a=2b

B ．b=2a

C ．A=2B

D ．B=2A

【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．

【解答】解：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin （A +C ）=sinAcosC+sinB ，

可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC 为锐角三角形，所以2sinB=sinA， 由正弦定理可得：2b=a． 故选：A ．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．

21．（2017•山东）已知当x ∈[0，1]时，函数y=（mx ﹣1）2 的图象与y=的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1]∪[2

D ．（0，

，+∞） B ．（0，1]∪[3，+∞） C ．（0，]∪[3，+∞）

）∪[2

，+∞）

+m

【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx ﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m ≤1时，有≥1，②、当m ＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m 的取值范围，综合可得答案．

2【解答】解：根据题意，由于m 为正数，y=（mx ﹣1） 为二次函数，在区间（0

，

）为减函数，（，+∞）为增函数， 函数

y=

+m 为增函数，

分2种情况讨论：

①、当0＜m ≤1时，有≥1，

在区间[0，1]上，y=（mx ﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m ﹣1）2，1]， 函数

y=

+m 为增函数，其值域为[m ，1+m ]，

此时两个函数的图象有1个交点，符合题意； ②、当m ＞1时，有＜1，

y=（mx ﹣1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数， 函数

y=

+m 为增函数，其值域为[m ，1+m ]，

若两个函数的图象有1个交点，则有（m ﹣1）2≥1+m ， 解可得m ≤0或m ≥3， 又由m 为正数，则m ≥3；

综合可得：m 的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）； 故选：B ．

【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m 的分类讨论．

二．填空题（共19小题）

22．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：

﹣

=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，

以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为

．

【分析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a ，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C ：

﹣

=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0），

以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若∠MAN=60°，可得A 到渐近线bx +ay=0的距离为：bcos30°=可得：

故答案为：

，

=．

，即，可得离心率为：e=．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．

23．（2017•新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3

3

【分析】由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG=则BC=2=

x ，DG=5﹣x ，三棱锥的高h=

，求出

S △ABC =3

BC ，设OG=x，，V=

，令f （x ）=25x4﹣10x 5，x ∈（0，），f′（x ）=100x3﹣50x 4，

f （x ）≤f （2）=80，由此能求出体积最大值．

【解答】解：由题意，连接OD ，交

BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG=即

OG 的长度与BC 的长度成正比， 设OG=x，则BC=2三棱锥的高h=

x ，DG=5﹣x ，

==3

则V=

=

， =

，

=

，

BC ，

令f （x ）=25x4﹣10x 5，x ∈（0，），f′（x ）=100x3﹣50x 4， 令f′（x ）≥0，即x 4﹣2x 3≤0，解得x ≤2， 则f （x ）≤f （2）=80， ∴V ≤

=4

cm 3，∴体积最大值为4

cm 3．

故答案为：4

cm 3．

【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

24．（2017•新课标Ⅰ）已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC，SB=BC，三棱锥S ﹣ABC 的体积为9，则球O 的表面积为 36π ．

【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．

【解答】解：三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC，SB=BC，三棱锥S ﹣ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得

，解得r=3．

球O 的表面积为：4πr2=36π． 故答案为：36π．

【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

25．（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则

．

【分析】利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可．

=

【解答】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，S 4=2（a 2+a 3）=10， 可得a 2=2，数列的首项为1，公差为1， S n =则

，

=

+

+…+

，

]=2（1﹣

）=

．

=2[1﹣

．

故答案为：

【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．

26．（2017•新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：y 2=8x的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |= 6 ． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M 坐标，然后求解即可．

【解答】解：抛物线C ：y 2=8x的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点， 可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：|FN |=2|FM |=2故答案为：6．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

27．（2017•新课标Ⅲ）设函数f （x ）=1的x 的取值范围是

．

，则满足f （x ）+f （x ﹣）＞

=6．

，

【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若x ≤0，则x ﹣≤﹣，

则f （x ）+f （x ﹣）＞1等价为x +1+x ﹣+1＞1，即2x ＞﹣，则x ＞此时

＜x ≤0，

，

当x ＞0时，f （x ）=2x ＞1，x ﹣＞﹣，

当x ﹣＞0即x ＞时，满足f （x ）+f （x ﹣）＞1恒成立， 当0≥x ﹣＞﹣，即≥x ＞0时，f （x ﹣）=x﹣+1=x

+此时f （x ）+f （x ﹣）＞1恒成立， 综上x ＞

，

，+∞）．

，

故答案为：（

【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．

28．（2017•新课标Ⅲ）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；

其中正确的是 ②③ ．（填写所有正确结论的编号）

【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC |=1，|AB |=

，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，

B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC |=1，|AB |=

，

斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，

以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （1，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量=（0，1，0），||=1，

直线b 的方向单位向量=（1，0，0），||=1，

设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0）， 其中θ为B′C与CD 的夹角，θ∈[0，2π）， ∴AB′

在运动过程中的向量，设

与所成夹角为α∈[0，

=（cosθ，sinθ，﹣1），|]，

=

，

]，∴③正确，④错误．

]，

=

，

|cosθ|，

|sinθ|∈[0，

]， |=

，

则

cosα=∴α∈[设cosβ=

当|sinθ|=

与所成夹角为β∈[0，

=

与夹角为60°时，即α=

=

=

，

∵cos 2θ+sin 2θ=1，∴cosβ=∵β∈[0，

]，∴β=

|cosθ|=，

与的夹角为60°，

，此时

∴②正确，①错误． 故答案为：②③．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

29．（2017•江苏）已知函数f （x ）=x3﹣2x +e x ﹣

，其中e 是自然对数的底数．若

f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是 [﹣1，] ．

【分析】求出f （x ）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f （x ）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f （x ）为奇函数，原不等式即为2a 2≤1﹣a ，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数f （x ）=x3﹣2x +e x ﹣f′（x ）=3x2﹣2+e x +

≥﹣2+2

的导数为： =0，

可得f （x ）在R 上递增；

又f （﹣x ）+f （x ）=（﹣x ）3+2x +e ﹣x ﹣e x +x 3﹣2x +e x ﹣可得f （x ）为奇函数， 则f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，

即有f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）=f（1﹣a ）， 即有2a 2≤1﹣a ， 解得﹣1≤a ≤， 故答案为：[﹣1，]．

【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

30．（2017•

江苏）如图，在同一个平面内，向量，与

的夹角为α，且tanα=7，与

，

，

的模分别为1，1

，=m

+n （m ，

=0，

的夹角为45°．若

n ∈R ），则m +n=

【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由得

cosα=

，si nα=．利用

=m

．

C +n

与的夹角为α，且tanα=7．可

．sin （α+45°）=．

B

．可得cos （α+45°）=（m ，n ∈R ），即可得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）． 由

与

的夹角为α，且tanα=7． ，sinα=．

（cosα﹣sinα）=（sinα+cosα）=． ．

=m

+n

（m ，n ∈R ），

．

．

∴

cosα=∴C

cos （α+45°）=sin （α+45°）=∴B ∵

∴=m﹣n ，=0+n ， 解得n=，m=． 则m +n=3． 故答案为：3．

【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

31．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若

≤20，则点P

【分析】根据题意，设P （x 0，y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x +y +5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设P （x 0，y 0），则有x 02+y 02=50，

=（﹣12﹣x 0，﹣y 0）•（﹣x 0，6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y （=12x0+6y +x 02+y 0206﹣y 0）≤20，

化为：12x 0﹣6y 0+30≤0，

即2x 0﹣y 0+5≤0，表示直线2x ﹣y +5=0以及直线上方的区域， 联立

，解可得x 0=﹣5或x 0=1，

，1]，

结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5故答案为：[﹣5

，1]．

【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x 0、y 0的关系式．

32．（2017•江苏）设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）=

的个数是 8 ．

【分析】由已知中f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）=

，其中集合D={x |x=

，n ∈N *}，分析f （x ）的图象与y=lgx

，其中集合D={x |x=

，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解

图象交点的个数，进而可得答案．

【解答】解：∵在区间[0，1）上，f （x ）=第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数， ∴在区间[1，2）上，f （x ）=只有一个交点； 同理：

区间[2，3）上，f （x ）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f （x ）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f （x ）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f （x ）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f （x ）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f （x ）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f （x ）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y=lgx无交点； 故f （x ）的图象与y=lgx有8个交点； 即方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是8， 故答案为：8

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．

33．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB=acosC+ccosA ，则B=

．

，此时f （x ）的图象与y=lgx有且

，

【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA ，由正弦定理可得， 2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A +C ）=sinB， ∵sinB ≠0，

∴cosB=， ∵0＜B ＜π， ∴

B=

，

故答案为：

【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题

34．（2017•浙江）已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是

，cos ∠BDC=

．

【分析】如图，取BC 得中点E ，根据勾股定理求出AE ，再求出S △ABC ，再根据S

△BDC

=S △ABC 即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出

【解答】解：如图，取BC 得中点E ， ∵AB=AC=4，BC=2， ∴BE=BC=1，AE ⊥BC ， ∴

AE=

=

，

=

，

∴S △ABC =

BC•AE=×2×∵BD=2， ∴S △BDC

=S △ABC =∵BC=BD=2， ∴∠BDC=∠BCD ， ∴∠ABE=2∠BDC 在Rt △ABE 中， ∵cos ∠

ABE=

=，

，

∴cos ∠ABE=2cos2∠BDC ﹣1=， ∴cos ∠BDC=故答案为：

， ，

【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题

35．（2017•浙江）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是 4

、

【分析】通过记∠AOB=α（0≤

α≤π），利用余弦定理可可知|+|=|﹣|=

，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．

【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： |+|=|﹣|=令x=

， ， ，y=

，

则x 2+y 2=10（x 、y ≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图， 令z=x+y ，则y=﹣x +z ，

则直线y=﹣x +z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x +z 与圆弧MN 相切时z 最大， 由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的也就是圆弧MN 所在圆的半径的所以z max =

×

=

．

．

倍，

倍，

综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是故答案为：4、

．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．

36．（2017•浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 660 种不同的选法．（用数字作答）

【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可

【解答】解：第一类，先选1女3男，有C 63C 21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，故有40×12=480种，

第二类，先选2女2男，有C 62C 22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，故有15×12=180种，

根据分类计数原理共有480+180=660种，

故答案为：660

【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题

37．（2017•浙江）已知a ∈R ，函数f （x ）=|x +﹣a |+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 （﹣∞，] ．

【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5

≤x +≤5，进而计算可得结论．

【解答】解：由题可知|x +﹣a |+a ≤5，即|x +﹣a |≤5﹣a ，所以a ≤5， 又因为|x +﹣a |≤5﹣a ，

所以a ﹣5≤x +﹣a ≤5﹣a ，

所以2a ﹣5≤x +≤5，

又因为1≤x ≤4，4≤x +≤5，

所以2a ﹣5≤4，解得a ≤，

故答案为：（﹣∞，]．

【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

38．（2017•

山东）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2+ ．

【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．

【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V 1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V 2=×π×12×1=

则该几何体的体积V=V1+2V 1=2+

故答案为：2+

， ， ．

【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．

39．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py（p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y=±x ．

=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y 2﹣【分析】把x 2=2py（p ＞0）代入双曲线

2pb 2y +a 2b 2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．

【解答】解：把x 2=2py（p ＞0）代入双曲线

可得：a 2y 2﹣2pb 2y +a 2b 2=0，

∴y A +y B

=， =1（a ＞0，b ＞0），

∵|AF |+|BF |=4|OF |，∴y A +y B +2×=4×， ∴

∴==p， ．

x ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=±

故答案为：y=±x ．

【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

40．（2017•山东）若函数e x f （x ）（e ≈2.71828…是自然对数的底数）在f （x ）的定义域上单调递增，则称函数f （x ）具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ①④ ．

①f （x ）=2﹣x ②f （x ）=3﹣x ③f （x ）=x3④f （x ）=x2+2．

【分析】把①②代入e x f （x ），变形为指数函数判断；把③④代入e x f （x ），求导数判断．

【解答】解：对于①，f （x ）=2﹣x ，则g （x ）=ex f （x ）=

上的增函数；

对于②，f （x ）=3﹣x ，则g （x ）=ex f （x ）

=

对于③，f （x ）=x3，则g （x ）=ex f （x ）=ex •x3，

g′（x ）=ex •x3+3e x •x2=ex （x 3+3x 2）=ex •x2（x +3），当x ＜﹣3时，g′（x ）＜0， ∴g （x ）=ex f （x ）在定义域R 上先减后增；

对于④，f （x ）=x2+2，则g （x ）=ex f （x ）=ex （x 2+2），

g′（x ）=ex （x 2+2）+2xe x =ex （x 2+2x +2）＞0在实数集R 上恒成立，

∴g （x ）=ex f （x ）在定义域R 上是增函数．

∴具有M 性质的函数的序号为①④．

故答案为：①④．

【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．

为实数集上的减函数； 为实数集