南开大学数学分析2008
01-25
南开大学2008
一、计算题 （每题8分，共40分）
⎡⎛1⎫⎤ 1．求极限lim ⎢x -x 2ln 1+⎪⎥ x →∞⎝x ⎭⎦⎣
(-1) 2．求和∑
n =1n n +2∞n -1
3．已知f '(-x )=x ⎡⎣f '(x )-1⎤⎦，求f (x )
4
．设⎰
5．设区域D =
二、设x 1>-
6，x n +1=，n =1,2, , 证明数列{x n }收敛，并求其极限． （15分）
三、设f (x )∈C [a , b ]，并且∀x ∈[a , b ]，∃y ∈[a , b ]，使得f (y )≤
（15分） ∃ξ∈[a , b ]，使得f (ξ)=0．
四、设f (x )在[a , +∞)上一致连续且广义积分⎰
（15分）
五、设f (x )在(-∞, +∞)可微，并且满足：∀x ∈(-∞, +∞)，f (x )>0f '(x )≤mf (x )
其中0
n =1∞2ln 2x =π6。则x =? {(x , y )0≤x ≤2, y ≤
1}，计算D 1f (x )．求证：2+∞a 求证：lim f (x )=0 f (x )dx 收敛，x →+∞
六、证明：函数项级数f (x )=∑ne -nx
n =1∞
(1) 在(0, +∞)上收敛，但不一致收敛；
(2) 和函数f (x )在(0, +∞)上任意次可导．（20分） x ∂2z ∂z 2七、作变换u =，v =x ，w =xz -y ，将方程y 2+2= 变换为w 关于自y ∂y ∂y x 变量u ，v 的方程．（15分）
八、求由曲面x 2+y 2+z 2=4a 2将球体x 2+y 2+z 2≤4az 分成两部分的体积之比
（15分） (a >0)．