谈谈数学思维的变通性

谈谈数学思维的变通性

江苏省苏州市木渎第二高级中学 赵伟 215101

数学问题千变万化，要想既快又准的解题，必须具有思维的变通性。我们所遇见的数学题许多是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案，恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。

数学教学的目的在于培养学生的思维能力，而培养良好思维品质的途径，是进行有效的思维训练，下面就从三个方面谈谈数学思维的变通性问题。 一、善于观察

观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。每道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。 例1、已知数列{an}满足a1=1，a2=2，

an+an-1

an-1

=

an+1-an

an

(n≥2,n∈N)，求an．

【解析】如果不加思索的去分母，这样下去是比较麻烦的。如果留心观察一下已知等式就容易得到

anan-1

+1=

an+1an

即-1，

an+1an

-

anan-1

所以数列{=2，

an+1an

}是首项为2和公差为2的等差数列，因此

an+1an

=2n，

再利用累乘法可得an=2nn! ．显然在去分母和不去分母之间作出正确选择之后，问题就容易解决了，而关键是要仔细观察，不要盲从。可见，善于观察是解决问题的一个重要环节。

例2、若双曲线y- x=1与曲线

2

2

xy-x-y+1x-3x+2

2

=k有唯一的公共点，求实数k的值．

xy-x-y+1x-3x+2

2

【解析】本题的实数k应该有6个取值，很容易漏解。 由=m，可得

(x-1)(y-1)(x-1)(x-2)

=k，即

y-1=k(x-2)，再考虑直线与双曲线相切和与渐近线平行的两种情形分别得到实数k的4个取值。倘若没

有注意到对分母的限制条件，忽视了x≠1或2，就会出现漏解。所以对题目进行深入的、细致的、透彻的观察分析，是保证思维严谨性的基本前提。

2

例3、已知适合不等式|x－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3. 求p的值．

【解析】若从不等式的表相考虑，直接讨论去绝对值符号，找出对应方程的根点，再对根点进行大小讨论来化解问题，显然不简单。如果对题设仔细的观察分析，从不等式解的最大值含义去理解，则有|x－3|=3－x，问题立刻得到简化。因为适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3，所以x－3≤0，故|x－3|=3－x. 若222

|x－4x+p|=－x+4x－p，则原不等式为x－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x≤3}的子集，所以|x2－4x+p|=x2－4x+p. 原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.

二、善于联想

联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。

例4、已知定义域、值域均为R的函数y=f(x+2)为奇函数，且函数y = f(x)存在反函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，求g(x)+g(-x)的值．

【解析】这是一个抽象函数的问题，但可以通过联想熟悉的一些基本函数，从中找出它的一个原形，而将它

具体化。例如y=f(x+2)可为函数y=x，而y=f(x)就可为函数y=x-2，那么函数y=g(x)就可为y=x+2，所以g(x)+g(-x)=4 ．由此可见，联想可使问题变得简单。 例5、双曲线

x

2

2

，P是该双曲线右支-y=1，F是右焦点, A（3,1）

3上任意一点，求|PF|+|PA|的最小值．

【解析】本题主要考查双曲线的定义及数形结合思想，具有较强的思

辨性。此问题涉及到双曲线的右焦点，如果联想不到左焦点就不易解决问题，这细微之处是“一两拨千斤”的关键所在。将A 点与双曲线的左焦点F'连接交双曲线右支上一点P，则这个点P使得

|PF|+|PA|的值最小。由双曲线的定义可得|PF'|-|PF|=2a，所以|PF=||P'F-|，故2a

=||PF'|+|PA|-

2a=|F'A|-2a=|PF|+|PA

例6、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，求此球的体积．

【解析】若联想到正方体的模型，将此问题放到正方体中的正四面体去考虑，问题就会迎刃而解。由于正方体的内切球与该正方体中的正四面体的六条棱都相切，

2

a，

球的半径为

4

，所以球

的体积为的解决。

4

a．显然，联想是问题转化的纽带和桥梁，通过联想使问题可以在我们熟悉的情景中得到很好

三、善于将问题进行转化

解题过程是通过问题的转化才能完成的，转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。

2

例7、设不等式2x-1>m(x-1)对满足m≤2的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围．

【解析】：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论．然而，若变换一个角度以m为主元，记f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在区间[－2，2] 内恒

⎧f(-2)

f(2)

2

⎧)(x2-

从

⎨2

)(x2-

而解得x∈12

,

12

)。显然，本例通过变更主元，起到了化繁为简的作用，所以合情合理的转化是数

学问题能否“明朗化”的关键所在． 例8、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若

SmSn

=mn

22

（m、n为常数）求

aman

的值．

【解析】如果“由因索果”，即“由和变项”，有一定困难。不如“由果索因”，即“由项变和”

。由结论

aman

=

2am2an

=

a1+am-1a1+an-1

=

sm-1(n-1)sn-1(m-1)

=

(m-1)(n-1)(n-1)(m-1)

2

2

=

m-1n-1

．显然，这种转化有简单构造的成分在里面，

这正是人的主观能动作用的具体表现，对培养逆向思维和创造性思维大有裨益。 例9、已知实数a，b，c满足：a + b + c = 3，a2 + b2 + c2 =

92

，求a的取值范围．

【解析】由于题设中含有三个变量，可以考虑先通过等量代换消去c，整理后可使问题转化为关于变量b的一元二次方程，因方程有实数根，再利用判别式∆≥0求出a的取值范围。解：将c=3-(a+b)代入a2 + b2 + c2 =

92

，整理得4b2+4(a-3)b+4a2-12a+9=0，由题设知方程有实数根，由∆≥0.求之得

2

2

2

0≤a≤2．另解：通过观察题设的具体特征，可以考虑利用基本不等式b2+c2≥2bc来化解，由a + b + c

999922222

= ，可以得到b2+c2=-a ，所以(b+c)-2bc=-a，即(3-a)-2bc=-a，因此

2222

9222292

(3-a)-(-a)=2bc≤b+c=-a，解之得0≤a≤2．方法一是利用方程的思想方法来化解，方法

22

二是通过基本不等式来转化，都达到了事半功倍的效果。

综上所述， 善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现，它们之间是相互联系和相互融合的，也是思维变通的重要途径和主要特征。思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。要想提高思维变通性，就要作相应的思维训练，通过对问题的认真观察、多方联想、恰当转化，来提高数学思维的变通性。解题过程蕴涵不同的思维层次，随着解题的深入,能不断生成新知识,新方法,新认识,新体验, 思维层次也随之提高.所以数学学习要力求达到“生成知识, 迁移方法, 简缩思维”的目的。