原函数性质的讨论及应用_冯春
Vol . 7, No . 6 高等数学研究 Nov . , 2004 STUDIES IN COLLEGE MATH EMATICS 教学随议
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原函数性质的讨论及应用
(重庆交通学院基础部 重庆 400074) 冯 春
摘要 本文通过对原函数的奇偶性、周期性、连续性的讨论, 证明了几个相关的定理, 由此引导学生去思考
一些问题, 从而在解题中减少不必要的错误.
关键词 原函数; 奇偶性; 周期性; 连续性 中图分类号 O172. 2
一、问题的提出
在“高等数学”有关原函数这一部份内容及学习中, 学生解题易犯两类错误。第一, 由于学习导数时已知奇(偶, 周期) 函数的导函数是偶(奇, 周期) 函数, 于是有的学生不加思考地认为, 奇(偶, 周期) 函数的原函数是偶(奇, 周期) 函数, 并在解题中加以应用, 出现错误; 第二, 在定积分的计算中有时忽略原函数的定义区间而导致错误的计算。为了指导学生在学习中减少并避免这两类错误, 本文将针对原函数的奇偶性、周期性、连续性进行讨论, 并给出相关结论, 且通过结论的证明, 使学生更加熟悉定积分相关的概念与计算。
二、原函数的奇偶性和周期性定理1 若连续函数f (x ) 是[-a , a ]上的奇(偶) 函数,
f (t ) d t 是偶(奇) 函数(-a ≤x ≤a ) ∫证明 ∵F (-x )=∫f (t ) d t =f (-t ) d (-t ) , ∫当f (x ) 为奇函数时, F (-x )=-f (t ) d (-t )=f (t ) d t =F (x ) 即F (x ) 为偶函数; ∫∫当f (x ) 为偶函数时, F (-x )=f (t ) d (-t )=-f (t ) d t =-F (x ) 即F (x ) 为奇函数, 证毕。∫∫由于f (x ) 的所有原函数为f (t ) d t +C (C 为任意常数) , 从而得:∫
则F (x )=
-x 0
x 0x
x
x
x
x 0
x
推论1 奇函数的原函数是偶函数, 偶函数的原函数等于一个奇函数与一个任意常数之和。定理2 设f (x ) 是(-∞,+∞) 上的连续周期函数, 且周期为T , F (x ) 是它在(-∞,+∞) 上的一个原函数, 则下列条件等价:
(1) F (x ) 是(-∞,+∞) 上的周期函数; (2) F (x ) 在(-∞,+∞) 上有界; (3) 对任意实数a , 有
d t =0。∫f (t )
a a +T
证明 “(1) (2) ”:若F (x ) 在(-∞,+∞) 上以G 为周期, 则F (x ) 在[0, G ]上连续, 从而存在最大最小值, 分别记为m 1, m 2, 令M =max {|m 1|, |m 2|}, 则有|F (x ) |≤M (-∞
12 高等数学研究 2004年11月
“(2) (3) ”:若存在一个正数M , 使(-∞,+∞) 上|F (x ) |≤M , 则对任意的实数a 及任意正整数n 有2M ≥|F (a +n T ) -F (a ) |=
d t ∫f (t )
a a +nT
=n
d t f (t )
a
a +T
, 从而
a
a +T
d t =0。∫f (t ) “(3) (1) ”因此时有F (T +a ) -F (a )=∫f (t ) d t =0, 故(1) 成立, 证毕。
a
a +T a
f (t ) d t ≤对任意自然数n 成立, 故
n
a +T
推论2 若f (x ) 是(-∞,+∞) 上的连续周期函数, F (x ) 是f (x ) 的一个原函数, 且F (x ) 也是周期函数, 则F (x ) 与f (x ) 有相同的周期。证明 当f (x ) 有周期T 时, 因F (x ) 是周期函数, 由定理2
F (a +T ) -F (a )=
d t =0∫f (t )
a a +T
另一方面, 当F (x ) 有周期G 时, 由F ′(x )=f (x ) , 可知f (x +G )=f (x ) , 综上述所述, F (x ) 与f (x ) 有相同的周期。
推论3 设f (x ) 是(-∞,+∞) 上连续的周期函数, 其周期为T , F (x ) 是它的一个原函数, T c =f (t ) d t , 则F (x ) -cx 是(-∞,+∞) 上一个以T 为周期的周期函数, 即F (x ) 可以表示
T 0
为一个周期函数与一个线性函数的和。
证明 令φ(x )=f (x ) -c , 则φ(x ) 是一个周期函数, 且周期为T , 因F (x ) -(cx ) ′=φ(x ) ,
(t ) d t =d t =d t -f (t ) d t =0, ∫φ∫(f (t ) -c ) ∫f (t ) ∫
a
a
a
a +T
a +T
a +T
T
故由定理2及推论1, F (x ) -cx 是以T 为周期的周期函数, 证毕。三、原函数的连续性及应用
221实例 计算d x =arctan =-10是错误的。4
-1x +122x 22因为F (x )=arctan , 并不是f (x )=4在区间[-1, 1]上的原函数, F (x ) 只在
x +122x
[-1, 0) , (0, 1]这两个半开区间上是f (x ) 的原函数, 因而不能用牛顿—莱布尼兹公式计算上述积
∫
1
2分, 但f (x )=4在[-1, 1]上连续, 它在[-1, 1]的原函数存在, 怎样找出原函数呢?
x +1
分析 1) 原函数的定义是:若在区间I 有F ′(x ) =f (x ) , 则称F (x ) 在区间I 上是f (x ) 的原函数。因此看出原函数与指定的区间有关, 但学生有时因忽视原函数的定义区间而发生上述错误。
2) 由于原函数在定义区间上是连续的, 因此对上述问题的求解就可利用原函数的连续性来找出原函数。
求解 令Υ(x )=
d t , (-1≤x ∫f (t )
-1x
≤1) 。则Υ(x ) 是f (x ) 的一个原函数, 从而存在常
数C 1、C 2使得
F (x ) +C 2 0
因0=Υ(-1)=F (-1) +C 1=arctan0+C 1=C 1, 故C 1=0;
2
又因Υ(x ) 在x =0处连续, 故有lim -Υ(x )=Υ(0)=lim +Υ(x ) ,
x ※0
x ※0
Υ(x F (x ) +C 1 -1≤x
(下转37页)
第7卷第6期 冯天祥:定积分换元后求函数值的一种技巧解 如图建立坐标系, 选取积分变量为x , 积分区间为-为d M =
d x , 于是 d F =2l (a +x 2) l
, 22
37
。[x , x +d x ]这一段的质量
则 d F x =
, 由对称性知F =0。
x 3/2
l (x 2+a 2)
=·dF y =223/223/2d x l l (x +a ) (a +x 2)
x =a tan t arctan cos t d t =3/2-l /2(al 0a 2+x 2)
1arctan sin t =·=。al al 04a +l a 4a +l
F y =l
l /2
1
(上接12页)
π-πππ即=lim -Υ(x )=Υ(0)=lim +[F (x ) +C 2]=+C 2, 故C 2=, 从而φ(0)=。
x ※0x ※02222222由此得到f (x ) 在[-1, 1]上的原函数, 即不定积分为:
arctan +C , -1≤x
22x
2
∫
1
f (x ) d x +C , x =022
arctan ++C , 0
2
由牛顿—莱布尼兹公式计算得:
-1
012
+C 22d x =d x +d x arctan -1x +0x +x +11122x =
-0+0+-=222222
20
+C
arctan
22x 2-1
210