概率模型及其应用
2006年第5期商丘职业技术学院学报V o1. 5, N o . 5
第5卷(总第26期) J OURNA L O F S HANGQ I U VOCAT IONAL AND TECHN ICAL COLLEGE O c t . , 2006
文章编号:1671-8127(2006) 05-0006-03
概率模型及其应用
孙胜利
(商丘职业技术学院, 河南商丘476000)
摘 要:用概率论的思想方法, 构造恰当的概率模型, 能够解决一些其它分支的数学问题, 并能体现其思想方法的简捷性和独特性.
关键词:概率模型; 构造; 应用
中图分类号:O211 1 文献标识码:A
0 引言
半个世纪以来, 随着概率论突飞猛进的发展, 获得了举世公认的进步, 并以其独特的思想方法、丰富的内容、严谨的理论被广泛应用于金融、经济、生物和其它数学分支中. A 瑞尼在文[1]中系统地介绍了数论中的概率方法, 方开泰等在文[2]中介绍了数理统计中的概率方法, 这说明了概率论思想方法应用的广泛性, 同时也揭示了概率论与其它数学分支之间的关系. 因此, 利用概率论的思想方法来解决其它数学问题是十分重要的. 那么, 我们怎样借助概率的概念、性质、公式和定理, 恰当地构造出概率模型来解决其它实际问题呢? 本文将讨论这一问题.
1 构造概率模型证明著名不等式
如何运用概率的性质、公式及定理构造适当的概率模型, 证明几个著名的不等式, 这是问题的关键.
1. 1 利用数学期望构造概率模型证明平均不等式
例1 设a 1, a 2, , a n 是n 个正数, 证明不等式组
n
111
++ +a 1a 2a n
n
12n
a 1+a 2+ +a n
n a 1
a 21n
a n 1, n
1+a 2+ +a n
.
n
证明 建立概率模型:设离散型随机变量 ~
1a 11n
2
1n
2 ~
a 211
n
a 221n
a 2n
1, ~1n
1a 21n
n
2i
1a n 1n
22
. 由于0 D =E -(E ) 2, 所以(E ) 2 E .
1
根据数学期望的定义, 得(
n
1n 1n
1
a i )
n i=1
n
a , 即
i=1
1+a 2+ +a n
.
n
a
i=1
n
i
1n 1n
n
i=1
a 1+a 2+ +a n
a , 从而
n
2i
再由期望的性质E [f ( ) ] f[E ],可得E [ln( ) ] ln[E ]进而有
(1)
n
i
n
lna i l n (
n
a i ), 也就是
i=1i=1
1n 1ln a i ln(n i=1n
a ),
i=1
n
从而, 由对数的性质得
12n
a 1+a 2+ +a n
.
n
1n (
n i=1
11
根据(1) 式可得E [ln() ] ln[E ]
n
111ln( ) ln (i=1a n n i
n
i=1
11
ln ln(a i n
i=1
1
) a i
n
i=1
1) a i 111) a i n
n
i=1
1
a i
收稿日期:2006-08-19
作者简介:孙胜利(1963-), 男, 河南民权人, 商丘职业技术学院副教授, 主要从事概率论与应用数学研究.
6
( a i ) n
i=1
n
1
n
n
i=1
1a i
,
n
111++ +a 1a 2a n
n
n
a 1a 2n .
所以有
1
111
++ +a 1a 2a n
a +a 2+ +a n
12n 1
n
1+a 2+ +a n
.
n
1. 2 利用凸凹函数的概率模型证明J ensen 不等式
引理 设 是取值于(a , b ) 上的离散型随机变量, 函数y =f (x ) 在(a, b) 上连续, 且E 与E [f ( ) ]都存在, 那么(1) 若f (x ) 是凸函数, 则E [f ( ) ] f (E ); (2) 若f (x ) 是凹函数, 则E [f ( ) ] f (E ). 证明 建立概率模型:设离散型随机变量 ~
x 1p 1
x 2p 2
x n p n
, 其中0 p i 1且
n
n
p
i=1
i
=1, 则由数学期望的定义得
n
E =
x p ,
i i
i=1
n
E [f ( ) ]=
f(x ) p . 若f (x ) 是凸函数, 根据其性质有f (E ) =
i
i
i=1
n
f (
x p ) f (x ) p
i i
i
i=1
i=1
i
=E [f ( ) ]; 若是凹
函数, 根据其性质有f (E ) =f (
x p ) f (x ) p
i i
i
i=1
i=1
n n
i
=E [f ( ) ].
例2(J ensen 不等式) 设函数f (x ) 是[a , b ]上的连续函数, x 1, x 2, , x n 是[a , b ]上任意n 个点, (1) 当f (x ) 是凸函数时, 有f ((2) 当f (x ) 是凹函数时, 有f (
x 1+x 2+ +x n f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )
) ;
n n x 1+x 2+ +x n f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )
) .
n n
n
证明 构造概率模型:设p 1, p 2, , p n 是任意n 个正数, x 1, x 2, , x n 是[a, b]上任意n 个点, 再设离散型随机变量 的分
p i
布密度函数为p ( =x i ) =
p
i=1
n
i
(i =1, 2, , n ), 显然
P ( =
i=1
n
x i ) =1, 由于E =
n
(x i
p i
i=1
p
i=1
n
) =
i
x p
i=1
n
i i
p
i=1
,
i
而E [f ( ) ]=
n
[f (x i )
p i
i=1
p
i=1
n
]=
i
f (x ) p
i
i=1
n
i
p
i=1
n
.
i
(1) 当f (x ) 是[a , b ]上的凸函数时, 根据引理可知E [f ( ) ] f (E ), 即
f (x ) p
i
i=1
n
i
p
i=1
n
(
x p
i
i=1n
n
i
).
i
p
i=1
i
11
特别地, 取p i =(i =1, 2, , n ), 上式变为
n n 即 f (
1
f (x i ) f (
n i=1
n
1
f (x i ) ) f(
n i=1
n
x ),
i
i=1
n
x 1+x 2+ +x n f (x 1) +f (x 2) + +f(x n )
) .
n n
x 1+x 2+ +x n f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )
) .
n n
(2) 同理可证, 当f (x ) 是[a , b ]上的凹函数时有 f (
2 构造概率模型计算积分
正态分布是概率论中的重要分布, 用正态分布的性质计算积分不但可以使积分运算过程简单, 而且还能够解决微积分中原函数无法用初等函数表示的积分运算.
例3 计算二重积分I =
D
221-x 2y 2()
e a b dxdy , 其中D 为椭圆2+2 K, K >0.
2 ab a b
x 2y 2
解 建立概率模型:设( , ) 服从二维正态分布, 此二重积分恰为( , ) 落在椭圆2+2 K 内的概率, 其中 , 相互
a b 独立且 ~N (0, a 2), ~N (0, b 2), 于是x 2=(所求概率为P (x K ) =I =
2
2 2
) +() ~x 2(2), a b
k 1-e dz =1-e -. 2
3 构造概率模型求函数极限
大数定律和中心极限定理是基础概率论中较深入的结果, 并且极限定理的结果也为求一系列的极限问题提供了有利工具.
例4 设f (x ) 为[0, ) 上的有界连续函数, f n (x ) =
f (n C
k =0
n
k
k n x k (1-x ) n-k n =1, 2, . 证明li m f n (x ) =f (x ).
n
证明 设 n 为n 重贝努里试验中事件A 发生的次数, i =
k n-k
则P { n =k }=C k , k =0, 1, , n , 于是n x (1-x )
1, 第i 次试验中A 出现
0, 第i 次试验中A 不出现, P ( i =1) =x, 0
n
E [f () -f (x ) ]=
n
[f(
k =0
k k n-k
) -f (x ) ]C k =f n (x ) -f (x ). n x (1-x ) (0, ), >0, 当|y -x |
, 2
又由于f (x ) 在[0, ) 上连续, 所以对 >0, x
令M =E [|f (P {|
0
sup |f(x ) |, 由全数学期望公式得
n n n n
) -f (x ) |]=P {|-x |
n -x | }E{[|f(n ) -f (x ) |]/[|n -x | ]}
(0, ) 时有P {|
n
-x | } 0, (0 ). 于是, 对上述的 >0及x n
(0, ), N, 当n N
由辛钦大数定理, 当x 时, 有P {|
n
-x | }
+2M = . 故 24M
n
因此, 当n N 时, |f n (x ) -f (x ) |
4 结语
用概率论的思想方法, 构造适当的概率模型来解决其它数学分支中的问题, 是概率论的研究方向之一. 利用概率的有关概念、性质、公式、定理等再结合一些其它数学问题恰当地构造出概率模型, 使问题得以解决, 同时我们还发现, 在运用概率的思想方法解决问题时, 其思想方法独特性、简捷性, 是我们数学工作者在教学研究中值得运用的方法.
参考文献:
[1]A 瑞尼. 数论中的概率方法[J].数学进展, 1958(4):465~511.
[2]方开泰. 谈谈数学统计中的概率[J].数学统计与应用概率, 1987(3):208~210.
[责任编辑 孙胜利]
A pplication of Probability M odel
S UN Sheng -li
(Shangqiu Vocationa l&T ec hn ic a l Colle g e , H enan Shangqi u 476000, Ch i na )
Abstract :W it h t he though t and m et hod of probab ilit y t heory , constru ct so m e appropri ate p robab ili ty model s s o as to s o l ve t he ho m ol ogou s li m it , une -qual f or m ula , and seri es , and express t he conven i ence of t he t hought and m ethod of t he p robab ili ty t heory .
K ey w ords :probab ilit y m od e; l con struction ; app li cati on
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