微积分复习题7
复习题七
1．估计积分I=
1
的值. (本题修正已知x+y≤10) 22∫∫+x+y100coscosx+y10
111
解：x+y≤10,≤≤，
102100+cos2x+cos2y100
面积：S=4×
−
x+10
1
×10×10=200 2
11
≤× 20022∫∫100+cosx+cosy100x+y10
200×
1
≤I=102
−x−x
10
⇒1.96≤I≤2
2．计算I=
x2+y2≤a2
∫∫
(x2−2sinx+3y+4)dxdy.
2
解：积分区间是对称区间，−2sinx+3y是奇函数，x+4是偶函数
π
I=
2
x+y2≤a2
∫∫(x2+4)dxdy=2∫2πdθ∫(r2cos2θ+4)rdr
−
a2
x
2
π
11a2422
=2∫2π(rcosθ+2r)0dθ=∫2π[a4(1+cos2θ)+4a2]dθ
−−2424π14⎛1π⎞2
=[a⎜θ+sin2θ⎟+4aθ]2π=a4+4a2π
−4⎝24⎠2
π
3、计算I=
∫∫max{x,y}sinxsinydxdy，其中D={(x,y)0≤x≤π,0≤y≤π}。
D
解：D1:0≤x≤π,x≤y≤π;max{x,y}=y
D2:0≤x≤π,0≤y≤x;max{x,y}=x
x
I=∫dx∫ysinxsinydy+∫dx∫xsinxsinydy
x
πππx
2
=∫sinxdx∫
ππ
x
(−y)dcosy+∫0
π
π
xsinxdx∫sinydy
=∫sinx[−ycosy+siny]xdx−∫xsinxcosy0dx
ππ
x
=∫[πsinx+xsinxcosx−sin2x]dx−∫(xsinxcosx−xsinx)dx=∫[πsinx−sin2x+xsinx]dx
πππ
1115⎛⎞
=⎜−πcosx−x+sin2x−xcosx+sinx⎟=2π−π−π(−1)=π
2422⎝⎠0
π
1
4．计算lim
1r→0πr2
xe∫∫D
2
−y2
cos(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤r2.
解：由极坐标与直角坐标关系，r→0⇔x→0,y→0， 则lime
r→0
x2−y2
cos(x+y)=limex−ycos(x+y)=1，lim
x→0
y→0
22
1r→0πr2
xe∫∫D
2
−y2
cos(x+y)dxdy=lim
1
r→0πr2
∫∫1dxdy=1.
D
5．设f(x,y)在区域D
内连续，且满足f(x,y)=1+其中D：x+y≤1，求f(x,y). 解：设
2
2
f(u,v)dudv
D
∫∫
D
f(u,v)dudv=A，两边同时D
上二重积分，A=∫∫1dxdy+A
D
D
⇒A=π+A∫dθ∫
2π0
3
2122⎛1⎞22=π+⎜−⎟A⋅2π(1−r)=π+A⋅2π=π+Aπ
3233⎝2⎠0
1
3π⎛2⎞
1AAππ −=⇒=⎜⎟
3−2π⎝3⎠
6．设f(x)连续，a,b为常数，证明： （1）
∫
b
a
dx∫f(y)dy=∫f(y)(b−y)dy
a
a
xb
x
解：D:a≤x≤b,a≤y≤x， 交换积分次序D:a≤y≤b,y≤x≤b
x
∫
b
a
dx∫f(y)dy=∫dy∫f(y)dx=∫f(y)(b−y)dy
a
a
y
a
xbbb
（2）
∫
a
dy∫e
y
(a−x)
dx=∫(a−x)e(a−x)dx(a>0)
a
解：D:0≤y≤a,0≤x≤y， 交换积分次序D:0≤x≤a,x≤y≤a
x
∫
a
dy∫e
y
(a−x)
dx=∫dx∫e
aa
(a−x)
x
dy=∫(a−x)e(a−x)dx
2
a
x
（3
）
∫
1
dyy
yf(x)dx=∫(ex−ex)f(x)dx
1
解：D:0≤y≤1,y≤x≤，
2
1
2
交换积分次序D:0≤x≤1,x≤y≤
x
∫
1
dyy
yf(x)dx=∫dx∫2eyf(x)dy=∫(ex−ex)f(x)dx
1x
x0
2
bb
2
（4）⎡∫f(x)dx⎤≤(b−a)∫[f(x)]dx
⎢⎥a⎣a⎦
2
222bbbbbbbf(x)+f(y)⎡⎤⎡⎤⎡⎤dy 解：∫f(x)dx=∫f(x)dx∫f(y)dy=∫dx∫f(x)f(y)dy≤∫dx∫⎢⎥⎥⎥aaa⎣a⎦⎢⎣a⎦⎢⎣a⎦a2
=
bbbb1b21b21122fxdxdy+fydydx=b−afxdy+b−af()()()(y)dx()()∫∫∫∫∫∫aaaaaa2222
b
=(b−a)∫[f(x)]2dx
a
7．设f(x)连续，证明：证明
∫∫
D
f(x−y)dσ=∫f(t)(a−t)dt，其中D：x≤
−a
a
a
,2
y≤
a.2
∫∫f(x−y)dσ=∫∫f(x−y)dσ+∫∫f(x−y)dσ
D
D1
D2
x
在
∫∫f(x−y)dσ=∫
D1
a2a−2
dx∫f(x−y)dy中
a2x
aa
令x−y=t⇒y=x−t,dy=−dt，y=,t=x−;y=x,t=0
22
∫∫
D1
f(x−y)dσ=∫dx∫
a
2a−2
x−
a2
f(t)(−dt)=∫dx∫
a2a−2
x−
a2
f(t)dt
2
D1:−
aaaaa≤x≤,x−≤t≤0 交换积分次序D1:−a≤t≤0,−≤x≤t+ 22222
∫∫f(x−y)dσ=∫
D1
−a
dt∫
a2a−2
t+a2
a2
−
f(t)dx=∫f(t)(t+a)dt
−a
在
∫∫
D2
f(x−y)dσ=∫dx∫
xa2
−
f(x−y)dy中
aa
,t=x+;y=x,t=0 22
a2a−2
x+a20
令x−y=t⇒y=x−t,dy=−dt，y=−
∫∫f(x−y)dσ=∫
D2
a2a−2
dx∫
x+
a2
f(t)(−dt)=−∫dx∫
f(t)dt
a2
D1:−
aaaaa≤x≤,0≤t≤x+ 交换积分次序D1:0≤t≤a,t−≤x≤ 22222
a
a
2
∫∫f(x−y)dσ=∫dt∫
D2
t−
a2
f(t)dx=∫f(t)(a−t)dt
a
∫∫
D
f(x−y)dσ=∫∫f(x−y)dσ+∫∫f(x−y)dσ=∫f(t)(t+a)dt+∫f(t)(a−t)dt
D1
D2
−a
a
a
0a
=∫f(t)(a−t)dt+∫f(t)(a−t)dt=∫f(t)(a−t)dt
−a
−a
3