ch3.周期信号的傅里叶级数展开
周期信号的傅里叶级数展开：
1． 三角形式： 周期信号f (t ) ，周期T ，基波频率w
1
1
=
2πT
1
，
所构成的完备正交函数集：三角函数集{cos nw t , sin nw t }；
∞
f (t ) =a 0+
∑(a
n =1
n
cos nw 1t +b n sin nw 1t )
其中：a
=
1T 2T 2T
T
⎰⎰⎰
2
T -2
f (t ) dt
T 2T -2
a n =f (t ) cos nw 1tdt
T 2T -2
b n =f (t ) sin nw 1tdt
注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：
∞
f (t ) =c 0+∑c n cos(nw 1t +ϕn )
n =1
其中：c
=a 0
c n =
tg φn =-
b n a n
（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱
2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{e
∞
jnw 1t
}
f (t ) =
∑
n =-∞
F n e
jnw 1t
其中F
n
=
1T
T
⎰
2T -2
f (t ) e
-jnw 1t
dt
注意：（1）幅度谱和相位谱F
n
=F n e
j φn
：偶谱和奇谱
与三角形式间的关系
（2）两种级数间的关系 3. 函数
f (t ) 满足对称性的级数展开：
∞
（1） 偶函数：f (t ) =a 或
∞
+
∑a
n =1
n
cos nw 1t
b n =0
ϕn =⎨
⎧0, a n >⎩π, a n
f (t ) =c 0+
∑
n =1
c n cos(nw 1t +ϕn ) ，c 0=a 0 c n =|a n |
∞
（2）奇函数：f (t ) =∑b
n =1
n
sin nw 1t
a 0=a n =0
或
∞
f (t ) =c 0+
∑c
n =1
n
cos(nw 1t +ϕn ) ，c 0=0 c n =|b n |
⎧π
-, b n >0⎪⎪2
ϕn =⎨
⎪π, b
n
⎪⎩2
（3）奇谐函数：f (t ) =-f (t ±T )
2
其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即：
a 0=a 2=a 4= =0
b 2=b 4=b 6= =0
4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数 信号
f (t ) ，周期为
T ，脉宽为τ，脉幅为E
（1）三角形式
∞
f (t ) =a 0+∑a n cos nw 1t
n =1
b n =0
τ
E τT
其中：a 0=
1T
T
⎰
2
2T -2
f (t ) dt =
1T
⎰τ
-2
2
Edt =
τ
a n =
T
⎰τ
-2
2
E cos nw 1tdt =
2E τT
⎛τ⎫Sa nw 1⎪ ⎝2⎭
谐波形式：f (t ) =c 其中：c
∞
+
∑c
n =1
n
cos(nw 1t +φn )
=a 0
c n =a n
， ϕ
n
={
0, a n >
π, a n
F n e
jnw 1t
（2）指数形式：f (t ) =∑
n =-∞
∞
1T
τ
其中：F
n
=
1T
T
⎰
2
T -2
f (t ) e
-jnw 1t
dt =
⎰
2-
τ
2
Ee
jnw 1t
dt
=
⎛τ⎫E τSa nw 1⎪ T ⎝2⎭1
（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度
二．傅里叶变换
F (w ) =
f (t ) =
⎰
∞-∞
f (t ) e
∞-∞
-jwt
dt
jw t
dw
12π
⎰
F (w ) e
特点：（1）F (w ) =
F (w ) e
j ϕ(w )
幅频函数和相频函数
∞-∞
（2）变换条件：⎰ （3）
|f (t ) |dt
f (t ) 也是由许多频率分量构成
三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号
⎧e -αt , t >0
f (t ) =⎨
⎩0, t
-α|t |
，α
>0
F (w ) =
1jw +α
2αw +α
2
双边指数衰减信号f (t ) =e
⎧e -αt , t >0
=⎨αt
⎩e , t
F (w ) =
2
矩形脉冲f (t ) =E , t
τ
2
F (w ) =E τSa (
τ
2
w )
符号函数f (t ) =sgn(t ) 冲击函数f (t ) =δ(t )
f (t ) =δ'(t ) f (t ) =δ
(n )
F (w ) =
2jw
n
F (w ) =1
F (w ) =jw F (w ) =
(t )
(jw )
直流信号f (t ) =1
n
F (w ) =2πδ(w )
f (t ) =-jt f (t ) =(-jt )
F (w ) =2πδ'(w ) F (w ) =2πδ
1jw
(n )
(w )
阶跃信号f (t ) =u (t ) 四．傅里叶变换的性质 1. 线性性
F (w ) =
+πδ(w )
2. 奇偶虚实性：f (t ) 为实函数
F (w ) =
⎰
∞-∞
f (t ) e
-jwt
dt =
⎰
∞-∞
f (t ) cos wtdt -j ⎰
∞-∞
f (t ) sin wtdt
（1） （2）
f (t ) 为实偶函数，虚部X (w ) =f (t ) 为实奇函数，实部R (w ) =
⎰⎰
∞-∞
f (t ) sin wtdt =0f (t ) cos wtdt =0
∞-∞
3. 对称性 4. 时移性
5. 尺度变换：时域压缩，频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶，频谱反褶
jw t
⎤=6. 频移性：F ⎡f (t ) e ⎣⎦
F (w -w 0) 1
F
[f (t ) cos w t ]=[F (w -w 0) +F (w +w 0) ]
2
F [f (t ) sin wt ]=
12j
[F (w -w 0) -F (w +w 0) ]
7. 时域微分：F [f '(t ) ]=
F ⎡⎣f
(n )
jw F (w )
n
(t ) ⎤⎦=(jw ) F (w )
F '(w )
8. 频域微分：F [-jtf (t ) ]=
n (n )
⎤ F ⎡⎣(-jt ) f (t ) ⎦=F (w )
9. 时域卷积：F ⎡⎣f (t ) *f (t )⎤⎦=F (w )F (w )
1
2
1
2
10. 频域卷积：
五．周期信号的傅里叶变换：
（1） 周期信号的傅里叶级数展开式：
∞
f (t ) =
∑
n =-∞
F n e
jnw 1t
（2） 周期信号的傅里叶变换：
∞
F (w ) =
∑
n =-∞
2πF n δ(w -nw 1)
特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强度为2πF
n
（ⅲ）谱线位于谐波处（nw ）
1
（ⅳ）F
n
=
1T 1T
T
⎰
2T -2
f (t ) e
-jnw 1t
dt =
1T
⎰
∞-∞
f 0(t )e
-jw t
dt |w =nw 1
=
F 0(w )|w =nw 1
其中：f 六．抽样定理
(t ) 为周期信号的第一个脉冲，
F 0(w )为f 0(t ) 的傅里叶变换。
（1）抽样过程
抽样脉冲p(t)为冲击序列或周期矩形脉冲
（2） 数学表达式f （3） 时域波形 （4） 频谱表达式：
F s (w )=
12π
s
(t ) =f (t ) ⋅p (t )
[F (w ) *F [p (t )]]
∞
1⎡⎤=F (w ) *2πp δw -nw ()∑n 1⎥⎢2π⎣n =-∞⎦
s
∞∞
=
∑
n =-∞
p n F (w -nw 1) =
∑
n =-∞
p n F (w -nw s )
其中：周期T ，基波频率w =抽样频率w
1
即：抽样信号频谱F (w )将原信号频谱F (w ) 在频率轴
s
上进行周期延拓
（5）理想抽样： f (t )=
s
f (t ) ⋅δT (
F s (w )=
1T
∞
∑
n =-∞
F (w -nw s )
（6）实际抽样：
fs(t) 其中： f (t )=
s
f (t ) ⋅p (t )
∞
F s (w )=
∑
n =-∞
p n F (w -nw s )
其中p
n
=
E τT
Sa (
τ
2
nw 1)
（7）信号恢复： （8）抽样定理：
连续时间信号f (t ) ，抽样周期为T ，抽样频率w
s
其频谱为F (w ) ，w
且：F (w )=
s
≤w m ，抽样信号的频谱为F s (w )，
1T
∞
∑
n =-∞
F (w -nw s )，即：抽样信号频谱F s (w )
将原时
信号频谱F (w ) 在频率轴上进行周期延拓。当w
F s (w )频谱不发生混叠，当w s
s
≥2w m
时频谱发生混叠。
习题课：
1. 已知F [f (t )]=F (w ) ，求下列信号的傅里叶变换：
（1）t df (t ) （2）
dt
f (2t -5)
f (2t -5) =f (2(t -
52))
解：（1）f (t ) F (w ) （2）
df (t ) dt
jw F (w )
f (t ) F (w )
-jt
df (t ) dt
d [jw F (w )]
dw
f (2t )
12
F (
w 2
)
12w ) e
-j
52w
f (2t -5)
12
F (
2. 系统如图所示：
y(t)
c t)
其中:输入为x(t),其频谱X （w ）如图所示，输出为且w c >>wm
求：输出y(t)解：y (t ) =x (t ) ⋅cos(w t ) =1x (t ) ⋅⎡jw c t
jw c
⎣e
c t
2
+e
-⎤
⎦
Y (w ) =
12
[X (w -w c ) +X (w +w c ) ]
3. 画出Sa (100t ) 的频谱
4. 证明: 傅里叶的积分特性：F [f (t )]=F (w )
y(t),
F [⎰
t -∞
f (t ) dt ]=
t -∞
F (w ) jw
+πF (0)δ(w )
证明：由于 ⎰
F [⎰
t
f (t ) dt =f (t ) *u (t )
1jw
+πδ(w ))
-∞
f (t ) dt ]=F (w ) ⋅(
=
F (w ) jw
+πF (0)δ(w )
5. 求下列频谱函数所对应的时间信号 （1）δ(w -5) （2）w
2
解：（1）
12π
50
e
j 5t
2
（2）δ(t )1
δ''(t )(jw )
（3）
π
Sa (50t )
∞-∞
6. 已知f(t)波形如图所示：求：（1）F (0) （2）⎰
F (w ) dw
解： （1）F (0)=
⎰
∞-∞
f (t ) dt =4
（2）⎰
∞-∞
F (w ) dw =2πf (0)=4π