优质论文-高中数学"含参"问题方法小结

高中数学 “含参”问题方法小结

含参数（不）等式“恒、能成立”问题是高中数学教学的一个重点和难点，同时也是高考考查的热点。这类问题可以考查多个知识点，更能从多个角度检查考生的素质和能力，这类问题难度比较大，综合性强，考生不易得分。

解决此类问题有一定的规律性，常见方法有：函数思想、分离参数、变换主元、数形结合等，其中分离参数转换自变量是其常用的方法。 一．反参为主（即主元法）

对于给出了参数范围的“恒成立”问题，常把参数视为主元，把主元视为已知函数，即把原题视为参数的函数，从函数角度来解答。

例1. 对于任意a ∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(a-4)x-2a的值恒大于零，求x 的取值范围。

解：由题令g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)>0对 a ∈[-1,1]恒成立。显然x ≠2

∴g(a)是a 的一次函数，要使g(a)

2

⎧⎧g (-1) 0

只需⎨ 即⎨ 2

⎪⎩g (1)0

解之得：x3

点评：此题若按分离法做，分离a 得(x -2) a >4x -x 2需讨论比较复杂

变式：若例1中改为x ∈[-1,1]上f(x)>0恒成立，则此题属于二次函数区间定轴动题目，

对称轴x =-

a -4a -4

≤-1, 令f(-1)>0 分三种情况：①-

22

a -4

-1≥1, 令f(1)>0 ③-2

2x -a

(x∈R) 在[-1,1]上是增函数。 x 2+2

1

的两根为x 1,x 2，试问：是否存在实数m ，使得不等式x

点评：此题若用分离法不易解答。 例2．已知函数f (x ) =

（1）求实数a 的值所组成的集合A （2）设关于x 的方程f (x ) =

m 2+tm+1≥|x1-x 2|对于任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由

2(x 2+2) -(2x -a ) ∙2x 2(-x 2+ax +2)

解：（1）f '(x ) ==≥0对x ∈[-1,1]恒成立

(x 2+2) 2(x 2+2) 2

令h (x ) =-x +ax +2则有⎨（2）由f (x ) =

2

⎧h (1)≥0⎧-1+a +2≥0

即⎨⇒A ={a ∈R |-1≤a ≤1}

h (-1) ≥0-1-a+2≥0⎩⎩

2x -a 1

= 得：x 2-ax -2=0 2

x +2x

⎧x 1+x 2=a

∵∆=a +8>0 ∴⎨

x ∙x =-2⎩12

2

∴|x 1-x 2|=

=∵-1≤a ≤1 ∴1≤|x 1-x 2|≤3 ①

要使m 2+tm+1≥|x1-x 2|对于任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立,

当且仅当m 2+tm+1≥3对于任意t ∈[-1,1]恒成立, 即m 2+tm+1≥0对于任意t ∈[-1,1]恒成立

g(t)=mt+m2-2, t∈[-1,1]则g(t)≥0对对t ∈[-1,1]恒成立②

2

⎧⎪g (-1) =m -m -2≥0令⎨解得：m ≥2或m ≤-2 2

⎪⎩g (1)=m +m -2≥0

注：本题含a,t,m 三个参数，通过①减少为两个参数t ，m ，要解决②，以t 为主元，

利用一次函数保号性解决． 二．分离参数和函数思想

通过恒等变形，将参数与主元分离出来，使不等式一边只含参数，另一边是与参数无关的主元问题，只需求出主元函数的最值。求主元函数的最值时，常用到配方法、基本不等式、函数单调性、三角函数值域等知识与方法。

x 2+2x +a

例1．已知函数f (x ) =，若对任意x ∈[1,+∞）, 不等式f(x)>0恒成立，试求实

x

数a 的范围

x 2+2x +a

>0 解：∵x ∈[1,+∞],要使f(x)>0恒成立，即使

x

即x +2x+a>0对x ∈[1,+∞）恒成立

22

分离参数得：a>-(x+2x)=-(x+1)+1

2

当x ∈[1,+∞）时，g(x)=-(x+1)+1最大值为3。 ∴实数a 取值范围为：a>-3

点评：以上解法为分离参数法，此题若按函数思想，则f (x ) =x +双勾函数，需讨论，比较复杂。

例2．（2013高考新课标Ⅰ21）已知函数f (x ) ＝x 2＋ax ＋b ，g (x ) ＝e x (cx ＋d ) ，若曲线y ＝f (x ) 和曲线y ＝g (x ) 都过点P(0，2) ，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值

（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x ) ≤kg (x ) ，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）因为曲线y ＝f (x ) 和曲线y ＝g (x ) 都过点P(0，2) ，所以b=d=2；因为

2

a

+2，则此函数为x

，故

所以

，

；

；

，故，故；

（Ⅱ）法一：函数思想

令令① 若当

得，则时

，则

， ，从而当，即

在

，由题设可得，故，

时，上最小值为

，

，此时f (x ) ≤kg (x ) 恒成立；

②若

，

所以f (x ) ≤kg (x ) 恒成立

③若

，则

.

，故f (x ) ≤kg (x ) 不恒成立； ，故

在

上单调递增，因为

综上所述k 的取值范围为

法二：分离参数法

2

由题可得x +4x +2≤2ke x (x +1) 对x ∈【-2,+∞) 恒成立 ①当x =-1时, k ∈R

x 2+4x +2x 2+4x +2

②当-2≤x ＜-1时, 有k ≤ , 令h(x)= x x

2e (x +1) 2e (x +1)

1(2x +4) e x (x +1) -[e x (x +1) +e x x ](x 2+4x +2) -x (x +2) 2

则h (x ) =. =x

2e 2x (x +1) 22e (x +1) 2

'

∴当-2≤x ＜-1,h(x)单增, h min (x ) =h (2)=e 2 ∴k ≤e

2

x 2+4x +2

③当x>-1时, 有k ≥, 同②可得 x

2e (x +1)

当x ∈(-1,0),h(x)单增, 当x ∈(0,+∞) 时， h(x)单减 ∴h max (x ) =h (0)=1 ∴综合①②③可得1≤k ≤e

变式：（10山东理22）已知函数f (x ) =ln x -ax +(Ⅰ) 当a ≤

2

1-a

-1(a ∈R ) . x

1

时，讨论f (x ) 的单调性； 2

（Ⅱ）设g (x ) =x 2-2bx +4. 当a =

1

时，若对∀x 1∈(0,2)，∃x 2∈[1,2]，使 4

f (x 1) ≥g (x 2) ，求实数b 取值范围.

解：（Ⅰ）因为

1-a 1a -1ax 2-x +1-a ' f (x ) =ln x -ax +-1, f (x ) =-a +2=x ∈(0,+∞) ， 2

x x x x

令 h (x ) =ax 2-x +1-a , x ∈(0,+∞) ，

①当a =单调递减；

1'

（0，+∞）时，x 1=x 2, h (x ) ≥0恒成立，此时f (x ) ≤0，函数 f (x ) 在上

212

1a

1＞0， ②当0＜a ＜-1＞

'

x ∈(0,1)时，h (x ) ＞0，此时f (x ) ＜0，函数f (x ) 单调递减；

x ∈(1,

1

-1) 时h (x ) ＜0，此时f ' (x ) ＞0，函数 f (x ) 单调递增； a

'

x ∈(-1, +∞) 时，h (x ) ＞0，此时f (x ) ＜0，函数f (x ) 单调递减；

1a

③当a ＜0时，由于

1

-1＜0， a

'

x ∈(0,1)，h (x ) ＞0, 此时f (x ) ＜0，函数 f (x ) 单调递减； '

x ∈(1,+∞) 时，h (x ) ＜0，此时f (x ) ＞0，函数f (x ) 单调递增.

（Ⅱ）因为a=

11

∈(0,) ，由（Ⅰ）知，x 1=1，x 2=3∉(0,2) ，当x ∈(0,1) 时，f ' (x ) 42

0，

函数f (x ) 单调递减；[g (x ) ]min =g (2)=8-4b ≥0b ∈(2,+∞) ≤

1⎡17⎫

b ≥⎢, +∞⎪, 当2⎣8⎭

x ∈(1,2) 时，f ' (x )

1

函数f (x ) 单调递增，所以f (x ) 在（0，2）上的最小值为f (1)=-。 0，

2

由于“对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1) ≥g (x 2) ”等价于

“g (x ) 在[1,2]上的最小值不大于f (x ) 在（0,2）上的最小值-又g (x ) =(x -b ) 2+4-b 2，x 1∈[1,2]，所以 ①当b

1”（*） 2

1时，因为[g (x ) ]min =g (1) =5-2b

0，此时与（*）矛盾

②当b ∈[1,2]时，因为[g (x ) ]min =4-b 2≥0，同样与（*）矛盾 ③当b ∈(2,+∞) 时，因为[g (x ) ]min =g (2)=8-4b ，解不等式8-4b ≤综上，b 的取值范围是⎢

117，可得b ≥

82

⎡17⎫

, +∞⎪。 ⎣8⎭

点评：此题第二问用的是函数思想，若用分离参数法则容易出错

∀x 2∈[1,2]，f (x 1) ≥g (x 2) ，变式1：②∃x 1∈(0,2)，求实数b 范围. 则f max （x ）≥g x m a (x )

③∀x 1∈(0,2)，∀x 2∈[1,2]，f (x 1) ≥g (x 2) ，求实数b 范围. 则f min (x ) ≥g max (x ) ④∃x 1∈(0,2)，∃x 2∈[1,2]，f (x 1) ≥g (x 2) ，求实数b 范围. 则f max （x ）≥g min (x ) ⑤若∀x ∈[1,2]，f (x ) ≥g (x ) ，求实数b 范围. 则令h (x ) =f (x ) -g (x ) ，h min (x ) ≥0 ⑥若∃x ∈[1,2]，f (x ) ≥g (x ) ，求实数b 范围. 则令h (x ) =f (x ) -g (x ) ，h max (x ) ≥0

2x 2

f (x ) =

x +1，g (x ) =ax +5-2a (a >0) ． 变式2：设

（1）求f (x ) 在x ∈[0,1]上的值域；

（2）若对于任意

x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0) =f (x 1) 成立，求a 的取值范围．

三．数形结合

通过构造图形，从图形上可以直观地看出不等式恒成立和能成立需要的条件 例1. 设函数f (x ) =|x +1|+|2x -4|. （1）画出f (x ) 图像； （2）若关于x 的不等式f (x ) ≥ax +1恒成立，试求实数a 的取值范围。

变式：(2010宁夏24） 设函数f (x ) =2x -4+1， （1）画出f (x ) 图像；

（2）若不等式f (x ) ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围。

解：

⎧-2x +5，x

⎩2x -3，x ≥2则函数y =f (x ) 的图像如图（Ⅰ）由于

所示。

y =ax 的图像可知，当且仅当

（Ⅱ）由函数y =f (x ) 与函数

a ≥

1

2或a

y =f (x ) 与函数y =ax 的图像有交点。故不等式f (x ) ≤ax 的解集非空时，的取值范围为

⎡1⎫

-∞，-2+∞⎪()⎢，

⎣2⎭。