豪泰林(hotelling)产品决策模型
豪泰林（hotelling）产品决策模型
对伯特兰德悖论（Bertrand paradox）的一种解释是引入产品差异性。如果不同企业生产的产品是有差异的，替代弹性就不会是无限的，在这种情况下，消费者对不同的产品具有不同的偏好，购买该产品的均衡价格就不会等于边际成本。
产品差异有多种形式，豪泰林（Hotelling，1929）提出了一个考虑空间差异的产品决策模型。在此模型中，产品在物质性能上是相同的，但在空间位置上存在差异，因为不同位置上的消费者要支付不同的运输成本，这时他们关心的是价格和运输成本之和，而不仅是价格。
假定有一个长度为1的线性城市，消费者均匀地分布于[0，1]区间内，分布密度为1。假定有两个商店，分别位于城市两端，出售的产品性能相同，每个商店提供单位产品的成本为c，消费者购买商品的旅行成本与距商店的距离成比例，单位距离的成本为t。这样，住在x处的消费者若去商店1购买要花费tx的运输成本；若去商店2去购买，要花费t(1-x)的成本。为简单起见，现假定消费者具有单位需求，即或者消费1个单位，或者消费个0个单位。
假定两个商店同时选择自己的销售价格，现考虑两商店进行价格竞争的纳什均衡。
在该博弈中，两个参与者为商店1和商店2，其可选择的策略分别为各自的价格p1、p2。设Di(p1,p2)为需求函数，i=1,2。
若住在x的消费者在两个商店之间是无差异的，则所有在x左边的消费者都将在商店1购买，所有住在x右边的消费者将在商店2购买，需求分别为D1=x，D2=1-x，这里，x满足
p1+tx=p2+t(1-x) （1）
由（1）式得两商店的需求函数分别为
D1(p1,p2)=x=p2-p1+t 2t
D2(p1,p2)=1-x=
利润函数分别为 p1-p2+t 2t
1(p1-c)(p2-p1+t) 2t
1π2(p1,p2)=(p2-c)D2(p1,p2)=(p2-c)(p1-p2+t) 2tπ1(p1,p2)=(p1-c)D1(p1,p2)=
商店i选择各自的价格pi，最大化其利润πi（i=1,2）。给定pj，两个一阶
条件分别为：
∂π1=p2+c+t-2p1=0 （1） ∂p1
∂π2=p1+c+t-2p2=0 （2） ∂p2
联立（1）、（1）两式，求得两商店的纳什均衡解：
p1*=p2*=c+t
两商店的均衡得益为 ：
π1=π2=t 2
在豪泰林模型中，我们将消费者的位置解释为产品差异，这个差异可进一步解释为消费者购买产品的旅行成本。旅行成本越高，则产品的差异越大，均衡价格从而均衡利润也越高。这是因为，随着旅行成本的上升，不同商店出售的产品之间的替代性下降，每个商店对附近消费者的垄断力增强。相应的，商店之间的竞争越来越弱，消费者对价格的敏感度下降，从而每个商店的最优价格更接近于垄断价格。另一方面，当旅行成本为零时，不同商店的产品之间具有完全的替代性，没有任何一个商店可以把价格定得高于成本，这便是产品同质条件下的伯特兰德均衡的结果。
在以上分析中，假定两个商店分别位于城市的两个极端，事实上，商店的位置直接影响到均衡的结果，下面更一般地讨论商店处于任何位置时的情况。
假定商店1位于a≥0，商店2位于1-b（这里b≥0）。不失一般性，假定1-a-b≥0，即商店1位于商店2的左边。
若旅行成本计为td2，其中d为消费者到商店的距离。同样，若住在x的消
费者在两个商店之间购买是无差异的，那么，所有住在x左边的都将在商店1购买，而住在x右边的将在商店2购买，需求分别为D=x、D=1-x，这里x满足：
p1+t(x-a)2=p2+t(1-b-x)2 （8.12）
由（8.12）解得：
p2-p1+t(1+a-b)(1-a-b)
2t(1-a-b) p2-p11-a-b=a++22t(1-a-b)x=
两商店的需求函数分别为：
D1(p1,p2)=x=a+p2-p11-a-b （8.13） +22t(1-a-b)
p1-p21-a-b （8.14） +22t(1-a-b)D2(p1,p2)=1-x=b+
由（8.13）、（8.14）两式求解均衡价格与均衡利润，得：
a-b) 3
b-a*p2(a,b)=c+t(1-a-b)(1+) 3
t3+a-b2π1=(1-a-b)() 23
t3+b-a2π2=(1-a-b)() 23p1(a,b)=c+t(1-a-b)(1+*当a=b=0时，即商店分别位于线段的两端，这是可推导出前面讨论的结果： p1(0,1)=p2(0,1)=c+t **
当a=1-b时，两商店位于同一位置，这时可推导出伯特兰德均衡： p1(a,1-a)=p2(a,1-a)=c **
即若两商店出售同质商品，消费者只关注价格，竞争的结果是两个商店都不能获得超额利润。这也说明，当企业的产品差别化较弱时，易引发激烈的价格竞争；产品差别化程度越高，则企业间的价格竞争越弱。