常微分方程课后习题部分答案
18. 设f (x , y ) 及连续, 试证方程dy -f (x , y ) dx =0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.
证:必要性 若该方程为线性方程, 则有dy
dx =P (x ) y +Q (x ) ,
此方程有积分因子μ(x ) =e -⎰P (x ) dx , μ(x ) 只与x 有关 .
充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子μ(x ) .
则μ(x ) dy -μ(x ) f (x , y ) dx =0为恰当方程 , 从而∂(-μ(x ) f (x , y )) d μ(x ) ∂f μ'(x )
∂y =dx ,∂y =-μ(x ) ,
f =-⎰μ'(x )
μ(x ) +Q (x ) =-μ'(x )
μ(x ) y +Q (x ) =P (x ) y +Q (x ) . 其中P (x ) =-μ'(x )
μ(x ) .于是方程可化为dy -(P (x ) y +Q (x )) dx =0
即方程为一阶线性方程.
20. 设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u)≠g(u),\,试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])-1
证:在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得:
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 y ∂f x (f -∂f ∂g
则∂uyf
∂y =uf+uy∂f
∂y +yf∂u
∂y =f g ) +xy +xy
xy (f -g ) +∂y
xy (f -g ) -yf ∂y ∂y
x 2y 2(f -g ) 2 yf ∂g ∂f ∂g ∂xy ∂f ∂
=∂y -gy ∂y f ∂xy ∂y -g xy
xy (f -g ) 2=∂xy ∂y x (f -g ) 2 f ∂g
=∂xy -g ∂f
∂xy
(f -g ) 2 x ∂g y (f -g ∂f ∂g
而∂uxg ∂g ∂u g ) +xy -xy
∂x =ug+ux∂x +xg∂x =xy (f -g ) +xy (f -g ) - xgx 2y 2(f -g ) 2
1
xf
=∂g ∂f ∂g ∂xy ∂f ∂xy f -g -xg ∂xy ∂xy ∂xy ∂x ∂xy ∂x = 22(f -g ) xy (f -g )
故∂uyf ∂uxg =,所以u 是方程得一个积分因子 ∂x ∂y
21.假设方程(2.43)中得函数M (x,y )N(x,y)满足关系∂M ∂N = -∂y ∂x
Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数,试证方程(2.43)
有积分因子u=exp(⎰f (x ) dx +⎰g (y ) dy )
证明:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证∂N ∂u ∂u ∂(uM ) ∂(uN ) ∂M =+M=u+N⇔u ⇔ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x
u(f (x ) dx +⎰g (y ) dy ∂u ∂u ∂M ∂N ∂M ∂N -)=N- M-)=Ne⎰f(x) ⇔u(∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x
f (x ) dx +⎰g (y ) dy ∂M ∂N -)=e⎰(Nf(x)-Mg(y)) ∂y ∂x -M e⎰f (x ) dx +g (y ) dy ⎰g(y)⇔u(
由已知条件上式恒成立,故原命题得证。
22、求出伯努利方程的积分因子. dy =P (x )y +Q (x )y n , y ≠o ; 解:已知伯努利方程为:dx
两边同乘以y -n ,令z =y -n ,
dz =(1-n )P (x )z +(1-n )Q (x ), 线性方程有积分因子: dx
-(1-n )P (x )dx (n -1)P (x )dx μ=e ⎰=e ⎰,故原方程的积分因子为:
-(1-n )P (x )dx (n -1)P (x )dx μ=e ⎰=e ⎰,证毕!
23、设μ(x , y )是方程M (x , y )dx +N (x , y )dy =0的积分因子,从而求得可微函数U (x , y ),
~x , y )也是方程M (x , y )dx +N (x , y )dy =0的积分因子的充要条件是使得dU =μ(Mdx +Ndy ). 试证μ
~(x , y )=μϕ(U ), 其中ϕ(t )是t 的可微函数。 μ
~M )∂(μϕ(u )M )∂(μM )∂(μ∂μ==ϕ(u )+μM ϕ'(u )∂y ∂y ∂y ~=μϕ(u ),则∂y 证明:若μ ∂(μM )=ϕ(u )+μM ϕ'(u )μN ∂y
2
~N )∂(μϕ(u )N )∂(μN )∂(μ==ϕ(u )+μN ϕ'(u )μM ∂x ∂x ∂x 又 ~M )∂(μM )∂(μ=ϕ(u )+μN ϕ'(u )μM =∂y ∂y
~为M (x , y )dx +N (x , y )dy =0的一个积分因子。 即μ
24、设μ1(x , y ), μ2(x , y )是方程M (x , y )dx +N (x , y )dy =0的两个积分因子,且μ1μ2≠常数,求证μ1μ2=c (任意常数)是方程M (x , y )dx +N (x , y )dy =0的通解。 证明:因为μ1, μ2是方程M (x , y )dx +N (x , y )dy =0的积分因子
所以μi Mdx +μi Ndy =o (i =1, 2) 为恰当方程
即 N ∂μi ∂μ⎛∂M ∂N ⎫
∂x -M i
∂y =μi ⎝∂y -∂x ⎪⎪,i =1, 2 ⎭
下面只需证μ1
μ的全微分沿方程恒为零
2
事实上:
μ2 ⎛∂μ1
d ⎛ μ1⎫⎝∂x dx +∂μ1
∂y dy ⎫⎪⎪⎭-μ⎛
1 ∂μ2∂μ2⎫
⎝∂x dx +∂y dy ⎪⎪⎭
⎝μ⎪
2⎪⎭=μ2
2
μ⎛∂μ1M ∂μ2⎫⎛∂μ2M ∂μ2
2
=⎝∂x dx -N ∂y dx ⎪⎪⎭-μ1 ⎝∂x dx -N ∂y dx ⎫⎪⎪⎭
μ2 2
=dx ⎡⎛∂μ1⎫⎛∂μ2∂μ2⎫⎤
N μ2⎢ N ∂μ1-M ⎪⎪μ2- N -M ⎪μ1⎥
2⎣⎝∂x ∂y ⎭ ⎝∂x ∂y ⎪⎭⎦
=dx ⎡
N μ2⎢μ1μ⎛2 ∂M -∂N ⎫⎪-μμ⎛∂M -∂N ⎫⎪⎤⎥=0
2⎣⎝∂y ∂x ⎪⎭12 ⎝∂y ∂x ⎪⎭⎦
即当μ1
μ≠c 时,μ1=c 是方程的解。证毕!
2μ2
3