中学数学论文

南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院

毕 业 论 文（设 计）

（ 一一 届）

题 目： 不定积分的计算方法与技巧

院（系、部）： 数学科学与应用学院

专 业： 数学与应用数学 姓 名： 章浪

学 号 08070150 指导教师： 许华

南京师范大学泰州学院教务处 制

摘要：不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的运算方法和技巧，不仅能使学习者进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分以及其他课程打好基础，因此切实掌握求不定积分的方法与技巧非常重要。求不定积分的方法有很多，文中主要对不定积分的计算方法与技巧进行研究，归纳了几种求解不定积分的方法，能熟练的掌握和应用这几种方法对于解决不定积分问题很有帮助。

关键词：原函数；不定积分；计算方法；计算技巧

Abstract: Indefinite integral is a very important part in Unary calculus, and also is one of the basic questions in Integral calculus. It is the basic of solving the Definite Integral. To grasp the methods of calculation and computing skills of Indefinite integral not only can help learners consolidate the conceptions of derivative and differential calculus, but also can make a food foundation of learning the Definite Integral and other courses. So it is very important to grasp the operating methods and skills of Indefinite integral. There are many methods to solve the Definite Integral, this paper mainly discusses the operating methods and skills of Indefinite integral, and induces some ways of solving the Definite Integral. To grasp and use these different methods skillfully is very useful for people to solve different questions of Indefinite integral.

Keywords : Antiderivatives; indefinite integral; methods of calculation; computing skills

目录

1绪论 ................................................................... 4

1.1研究意义 .......................................................... 4

1.2国内外研究现状 .................................................... 4 1.3本文的研究方法和主要解决的问题 .................................... 4

2不定积分的计算方法 . .................................................. 6

2.1直接积分法 ........................................................ 6

2.2换元积分法 ........................................................ 6

2.2.1 第一换元法(凑微分法) ........................................ 6 2.2.2 第二换元法（去根号法） ...................................... 7 2.3 分部积分法 ........................................................ 8

3不定积分的求解技巧 . .................................................. 9

3.1递推法 ............................................................ 9 3.2待定系数法 ....................................................... 10 3.3伴侣法 ........................................................... 12

4 结论 ................................................................. 14 谢辞 .................................................................... 15 参考文献 ............................................................... 16

1绪论

不定积分是高等数学学习的重要内容，学好不定积分有利于更进一步学习与研究其它学科，有利于培养创造能力、分析能力以及解决问题的能力。不定积分的计算对学好积分起至关重要的作用，同时不定积分计算对思维的发展以及后续课程的学习有重要作用。但不定积分计算方法多样、灵活，且难度较大。本文通过对几种不同类型的不定积分问题的研究总结以达到让我们对不定积分求解问题有个重新的认识，熟练掌握几类常见不定积分计算问题的解法与技巧，另外对一些难度较大的不定积分求解问题也能够通过对不定积分的解法与技巧的研究过程中所总结出的方法顺利解决。

1.1研究意义

众所周知在数学研究中赢得了时间也就赢得了胜利，一种好的数学研究方法不仅让我们在解题时得到事半功倍的效果，让解题思路更加清晰化，便于我们对知识点的透彻理解；而且，能够让我们在解其它类型题目时产生举一反三触类旁通的效果。在变限函数中，我们已经初步了解到了大多数的黎曼积分中的可积函数是存在原函数的，而且这些原函数是可以被求出的，为了便于寻找原函数我们引进了不定积分，而一个好的不定积分的求解方法更有助于我们更好更快更简洁的寻找出原函数，也为我们以后进一步学习积分学打下了基础。因此研究不定积分的解法与技巧便显得尤为重要。

1.2国内外研究现状

由于不定积分应用的范围越来越广，特别是在一些高科技（航空，航天，船舶制造）等领域对不定积分的要求越来越广，这其中涉及到许多复杂的不定积分计算的问题有待解决，因此研究不定积分计算方法的相关问题越来越国内外众多学者的关注。国外对此的研究要远早于国内，如俄著《吉米多维奇》在不定积分计算章节给出许多基本而又经典的解法与技巧，作为后起之秀我国在不定积分的方法与技巧研究领域也颇有建树，如2006年，王萍在《不定积分技巧点滴》一文中综合了凑微元法，换元法，分部积分法等基本方法巧妙地对一些常见的不定积分作出了详细的解答;2010年，李晓瑾、廖为鲲的《探讨不定积分的特殊解法》及周登杰在《不定积分的两种遗解类型》中在对一些形式复杂的不定积分问题常见求解方法无法解答时，另辟蹊径利用不定积分的线性性将被积函数拆分成几项不定积分的线性组合，以及利用方程法，综合法等特殊方法成功的解决了复杂不定积分求解问题，这也为以后求解一些形式更复杂的不定积分思想方法的多元化奠定了基础。

作为数学研究中的一个重要领域，有关不定积分的解法与技巧还有待进一步完善。

1.3本文的研究方法和主要解决的问题

通过对不定积分的计算方法及技巧的研究不仅确定了一些常见的被积函数的原函

数，并在此基础上通过换元, 拆项等方法将一些形式比较复杂的被积函数转化为我们已得原函数的被积函数的表达式形式从而成功求解复杂不定积分的原函数问题。此外，对于一些特殊的不定积分我们通过拆项分解建立递推公式间接的解决不定积分求解问题。

2不定积分的计算方法

2.1直接积分法

直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分的基本运算法则或通过简单的代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法。这是一种最基本最简单最直接的积分方法。

例1 求下列不定积分：

x 4

（1）⎰(2x +5)(2x +x -5)d x ， （2）⎰2x 。

x +1

2

解：（1）⎰M (x )N (x )d x ，其中M (x ), N (x )是x 的一些幂的代数和，这种类型的积分，首先将M (x ) 乘开化为x 的某些幂的代数和，然后再积分。

52

x -25x +C 。 2

（2）拆（添）项法，化一个有理分式的积分为简单的积分。

23243

⎰(2x +5)(2x +x -5)d x =⎰(4x +12x -5x -25)d x =x +4x -

x 4x 4-1+1x 4-1112

x =x =(+)d x =(x -1+)d x ⎰x 2+1⎰x 2+1⎰x 2+1x 2+1⎰x 2+1

x 31x -1

=-x +ln +C 。 32x +1

2.2换元积分法

2.2.1 第一换元法(凑微分法)

第一换元法即凑微分法，它是求不定积分的基本方法。有些凑微分需要一定的技巧，

而且往往要多次试探，初学者只有多看多做拓宽视野多积累经验才能熟能生巧。凑微分

的基本步骤如下：若⎰f (u )d u =F (u )+c ，u =ϕ(x )有连续导数，则

⎰f (ϕ(x ))ϕ'(x )d x =⎰f (ϕ(x ))d ϕ(x )变量代换u =ϕ(x )⎰f (u )d u =F (u )+C

回代u=ϕ(x )F (ϕ(x ))+C 。

例2求下列不定积分：

（1）⎰(1+2x )d x ， （2）⎰

解：（1）分析：将d x 凑为d x =

3

x 1+xe x

x +1

d x 。

1

d (1+2x )，则211333

1+2x d x 凑微分1+2x d 1+2x=1+2x d (1+2x ) ()()()()⎰⎰22⎰

11

令u=1+2x ⎰u 3d u =u 4+C

2814

回代u =1+2(1+2x 。 )+C

8

（2）由于d (xe x )=e x (x +1)d x ，故可用如下解法：

e x (x +1)x +1

x =x =⎰x

x ⎰x 1+x e x

xe 1+xe d xe x 1⎤⎡1

=-d(xe x ) ⎰xe x 1+xe x ⎰⎢x x ⎥⎣xe 1+xe ⎦

xe x

=ln +C 。

1+xe x

2.2.2 第二换元法（去根号法）

第二换元积分法是通过适当选择置换式x =ϕ(t )，使代换后的积分易于积出，它主要用来解决几种简单的无理函数的积分问题。第二换元积分法是直接进行换元，主要分为代数代换和三角代换两种形式。

代数代换：求形如⎰R x d x （n

t ；求形

⎛如⎰R x ⎝

ad ≠

bc =t 。

（为正整数，d x n ((

求形如⎰R (x

求形如⎰R (x 三角代换：求形如⎰R x d x 的积分，可令x =a sin t 。

d x 的积分，可令x =a tan t 。

d x 的积分， 可令x =a sec t (-x

例3

求下列不定积分：x (a >0)。

解：这个积分的困难在于有根式，我们可以利用三角公式来换元。

π⎫⎛π

设x =a sin t -

2⎭

⎝2

于是有：

x =⎰a c o s ⨯t a c o s t d =t

1+c o s t 2

t 2

2

⎰a

2c o ，s t d t

=a 2⎰

=a 2

⎛t s i n t 2⎫

+⎪+C

4⎭

⎝2

a 2x 1

=arcsin +C 。 2a 2

2.3 分部积分法

在求解不定积分问题中被积函数通常由这三类基本函数组成：①sin x ，cos x ，或多项式；③反函数如对数函数ln x (log a x )，反三角函数arcsin x ，e x (a x )；②幂函数x u ，

arctan x 等。原则是遇到被积函数这三类中不同两类函数的乘积时，则令后一类（编号

数字大的）函数为u ，前一类（编号小的）函数与dx 的乘积为dv ，往往就可以达到化

繁为简的目的。

例4求下列不定积分：

（1）⎰x tan 2x d x =⎰x (sec 2x -1)d x ， （2）⎰ln x d x 。

解：（1）引用公式⎰tan x d x =-ln cos x +c

22

x tan x d x =x (secx -1)d x ⎰⎰

=⎰x d tan x -⎰x d x

=x tan x -⎰tan x d x -

12

x 21

=x tan x +ln cos x -x 2+C

2

（2）令u =ln x ,d v =d x , 有d u =

1

d x , v =x ， x

1

ln x d x =x ln x -x ⎰⎰x d x =x ln x -x +C 。

3不定积分的求解技巧

3.1递推法

运用分部积分法，可建立I n 关于下标的递推公式。由此递推公式，就把计算I n 归结为计算I n -1，依次类推，最后归结为计算I 1，I 0。

例5求（1）⎰

d x

(x

2

+1)

3

x ， （2）

⎰

x 2+1

(x

2

-2x +2)

2

x 。

解： （1） I n =⎰因为

I n -1=⎰

d x

(x

2

2

+1)

n

d x

(x +1)(x x +1)-1(x

+2(n -1)⎰x =

(x +1)(x +1)(x

+1)

n -1

2

n -1

=

x

-

⎰x

2

(1-n )2x x =

2

x

+1)

n

(x

2

+1)

n -1

2

2

n n -1

+2(n -1)I n -1-2(n -1) I n ，

所以

I n =

x

2(n -1)(x 2+1)

n -1

+

2n -3

I n -1(n =2,3,....) ，

2n -1又 I 1=⎰从而

d x

=arctan x +C ， 2

1+x

3⎡x 1⎤

+I 1⎥ ⎰x 2+13=I 3=4x 2+12+4⎢2

2⎥()()⎢⎣2x +1⎦

d x

x

=

x 4(x 2+1)

2

+

3x 3

+arctan x +C 。

8x 2+18

（2） 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式能被化简为

x 2+1

(x

2

-2x +2)

2

x (=

2

-2x +2)+(2x -1)

(x

2

-2x +2)

2

=

12x -1

+，

x 2-2x +2(x 2-2x +2)2

现分别计算部分分式的不定积分如下：

d (x -1)d x

=⎰x 2-2x +2⎰(x -1)2+1=arctan (x -1)+C 1，

⎰

2x -1

(x

2

-2x +2)

x =⎰2

(2x -2)+1

(x

2

-2x +2)

x =⎰2

d (x 2-2x +2)

(x

2

-2x +2)

2

+⎰

d (x -1)

(x -1)+12

2

=

-1d t

t =x -1)， +2(2⎰2x -2x +2(t +1)1dt x -11

=+arctan (x -1)+C 2， 2⎰2

2t +12x -2x +22

由递推公式，求得其中

⎰

于是得到

dt

(t 2+1)

⎰

2

=

t 2t 2+1+

x 2+1

(x

2

-2x +2)

x =2

x -33

+arctan (x -1)+C 。 2

2x -2x +22

3.2待定系数法

在数学分析中对于处理有理函数和可化为有理函数的不定积分求积问题时，主要通过待定系数法将有理函数化为部分分式之和的形式进行求积。

sin x +8cos x

x ， ( 2 ) ⎰x 3e 2x d x 。 例6（1）⎰

2sin x +3cos x

'

解（1）由于(2sin x +3cos x )=2cos x -3sin x

故可假设A (2sin x +3cos x )+B (2cos x -3sin x )

这里A , B 为待定系数，比较两端sin x 及cos x 项的系数，得：

⎧2A -3B =1

⎨

3A +2B =8⎩

故

A =2, B =1

则

⎡(2sin x +3cos x )' ⎤

sin x +8cos x

2+d x ⎥=2x +ln 2sin x +3cos x +C 。 ⎰2sin x +3cos x x =⎰⎢2sin x +3cos x ⎢⎥⎣⎦

（2）对于型如⎰e kx ⋅P （其中P ，它的原函数也形如n (x )d x 的积分n (x )为n 次多项式）

e kx ⋅Q n (x ) ，这里的Q n (x )为某个n 次待定多项式。

即有 ：

kx kx kx '

⎰e ⋅P (x )d x =e ⋅Q n (x )+e ⋅Q n (x )

即 ：

P n (x ) =k ⋅Q n (x )+Q n (x )

再比较多项式的系数，求出待定的系数，进而求出积分。

x 22

设 ⎰x 3e 2d x =(B 0x 3+B 1x +B x ) x +C 2+B e 3

则有：

x 3=2(B 0x 3+B 1x 2+B 2x +B 3) +(3B 0x 2+2B 1x +B 2) ，

比较系数可得：

⎧2B 0=1

⎪2B +3B =0⎪10

， ⎨

2B +2B =01⎪2⎪⎩2B 3+B 2=0

解得：

1⎧

B =⎪02⎪

⎪B =-3⎪14， ⎨

⎪B =3⎪24⎪3⎪B 3=-

8⎩

故

3⎫2x ⎛1332332x

x e d x =x -x +x - ⎪e +C 。 ⎰448⎭⎝2

类似地，对于⎰⎡n (x )，Q n (x )为n 次多项⎣P n (x )cos kx +Q n (x )sin x ⎤⎦d x 的类型（这里P 式），它的原函数类型也是很有规律的，即有

⎣P (x )cos kx +Q (x )sin x ⎤⎦d x =S n (x )cos kx +T n (x )sin kx +C ⎰⎡

n

n

（这里S n (x )，T n (x )是两个n 次待定多项式）；同样对于

的原函数类型也是已知的，即有：

P x x 型的积分，它

P

x x =Q n -1(

x a ⋅。

（这里Q n -1(x )是n -1次待定多项式，a 为待定系数）。它们均不需要积分，只要经过一

些求导及代数运算即可求出积分来。

3.3伴侣法

有些不定积分，单独考虑时比较难积出结果，倘若构造出另一个不定积分作为伴侣，两个积分同时考虑，则可利用两积分相互之间的良好关联性质，简单地求出不定积分。这种利用“伴侣”求解的方法即所谓“伴侣法”。

例7 （1）⎰

sin x d x d x

，（2）⎰。

a sin x +b cos x 1+x 4

解：（1）本题可用待定系数求解，这里介绍“伴侣法”求解。 令 T 1=⎰

s i n x x d

，

a s i n x +b c o x s c o s x x d

，

a s i n x +b c o x s

构造伴侣 T 2=⎰

T =x +1C ⎧1+b 2⎪a T

于是 ⎨

T =l a s i n +x ⎪2-b 1⎩a T

，

b c s +x 2C

故得： T 1=

1

(ax -b ln a sin x +b cos x )+C 。

a 2+b 2

（2）本题可用有理函数积分法求解，但计算繁琐。

d x x 2d x

, J 2=⎰令 J 1=⎰， 44

1+x 1+x

则

1⎫⎛1d x -1+2 ⎪1+x 21⎫x J 1+J 2=⎰x =x ==x -⎪+C 1，

⎰21⎰⎛1⎫21+x 4x ⎭x +2x -+2 ⎪x x ⎭⎝11

d(x +) 21-x x =-=J 1-J 2=⎰x =-+C 2， 2⎰⎰111+x x 2+4(x +) 2-2

x x

2

1-

所以

d x 1⎫J 1=⎰=C 。 x -⎪4

1+x x ⎭

通过对几种不同类型的不定积分问题的研究总结以达到让我们对不定积分求解问题有个重新的认识，熟练掌握几类常见不定积分计算问题的解法与技巧，另外对一些难度较大的不定积分求解问题也能够通过对不定积分的解法与技巧的研究过程中所总结出的方法顺利解决。

经过几个月的资料查询和整理, 论文写作和修改, 今天可以顺利的完成论文了, 要感谢许华老师, 因为论文是在许老师的悉心指导下完成的。在此, 谨向许老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢许老师在我撰写论文的过程中给以我的极大的帮助。

时光飞逝, 想想自己求学期间的点点滴滴, 四年多的努力与付出, 随着论文的完成, 终于让我在大学的生活得以划上完美的句号。

论文的顺利完成, 离不开其他各位老师、同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写作中, 各位老师、同学和朋友积极地帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见. 在他们的帮助下, 论文得以不断的完善, 最终帮助我完整的写完了整篇论文。

总之, 此次论文的写作过程, 我收获了很多, 既为大学四年划上了一个完美的句号, 也为将来的人生之路做了一个很好的铺垫。

再次感谢我的大学和所有帮助过我并给我鼓励的老师, 同学和朋友, 谢谢你们！

参考文献

[1] 常家培. 关于失性函数积分的部分积分公式的一点注解[J] .大学数学，1900，（Z1） [2] 曹璞. 几类函数的换元积分法[J] .南都学坛，1922，（S2） [3] 汤光来. 分部积分公式的推广与应用[J].南都学坛，1989，（S2） [4] 王萍. 不定积分技巧点滴[J] .上海工程科技大学教育研究，2006，（02） [5] 汤茂林. 求不定积分之技巧[J] .职大学报，2006，（02）

[6] 张建新. 不定积分的非初等性[J] .沙州职业工学院学报，2001，（02） [7] 项威. 介绍两种计算不定积分的方法[J] .中国统计，1984，（12） [8] 王洪英. 一类不定积分的计算及应用[J] .山东大学报（自然科学版），2001（03） [9] 周登杰. 不定积分的两种遗解类型[J] .数学教学研究，2010，（02） [10] 李晓瑾，为鲲. 探讨不定积分的解法研究[J] .今日科苑，2010，（02）