29-新定义问题

新定义问题 填空题

（2016东城二模）15．定义运算“*”，规定x *y =a （x +y ）+xy ，其中a 为常数，且1*2=5，则2*3=

（2016西城二模）16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0）．P 是第一象限内

任意一点，连接PO ，PA ．若∠POA = m°，∠PAO = n°，则我们把P （m °，n °）叫做点P 的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．

1______________； 2

1

（2）若点P 到x 轴的距离为，则m +n 的最小值为__________．

2（1）点（

压轴题（倒一）

（2016东城二模）29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数x +2，2x +1，-5x +20中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.

（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上

的点；

（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.

①直接写出△ABM 的面积，其面积是 ；

②若以M 为圆心的圆经过A , B 两点，写出点M 的坐标；

③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，

使P A +的值最小，直接写出此最小值.

（2016西城二模）29．给出如下规定：

2

在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形W 1和W 2，若在图形W 1和W 2上分别存在点M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形W 1和W 2的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足x =

x 1+x 2y +y 2

，y =1． 22

（1）已知点A (0,1),B (4,1),C (3,-1), D (3,-2) ，连接AB ，CD ．

①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为__________；

②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是Q (2,-) ，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；

（2）如图1，已知点R （－2,0）和抛物线W 1：y =x -2x ，对于抛物线W 1上的每一

个点M ，在抛物线W 2上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线W 2；

（3）正方形EFGH 的顶点分别是E (-4,1), F (-4, -1), G (-2, -1), H (-2,1) ，⊙T 的圆心

为T (3,0)，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．

图2

（2016海淀二模）29. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，

则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值 之差q 称为这个函数的不变长度. 特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为 零. 例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.

2

1

2

（1）分别判断函数y =x -1，y =度；

（2）函数y =2x 2-bx .

1

，y =x 2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长x

①若其不变长度为零，求b 的值；

②若1≤b ≤3，求其不变长度q 的取值范围；

（3）记函数y =x 2-2x (x ≥m ) 的图象为G 1，将G 1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G 2. 函数G 的图象由 G 1和G 2两部分组成，若其不变长度q 满足0≤q ≤3，则m 的取值范围为 .

（2016朝阳二模）29．P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA ⋅PB 的

值称为点P 关于⊙O 的“幂值”． （1）⊙O 的半径为5，OP = 3．

①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．

（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O

的“幂值”或“幂值”的取值范围________；

（3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，

若在直线y =使得

点P 关于⊙O 的“幂值”为13，请写出b 的取值范围________．

x +b 上存在点P ，

（2016石景山二模）29．在平面直角坐标系xOy 中，对图形W 给出如下定义：若图形W 上

的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．

（1）已知点A

(0, -3) (-1, 0) ，E (2, -2) 中，选一点，使

得以该点及点A ，B 为顶点的三角形的坐标角度为90°，则满足条件的点为 ；

（2）将函数y =ax 2(1≤a ≤3) 的图象在直线y =1下方的部分沿直线y =1向上翻折，

求所得图形坐标角度m 的取值范围；

（3）记某个圆的半径为r ，圆心到原点的距离为l ，且l =3(r -1) ，若该圆的

坐标角度60︒≤m ≤90︒．直接写出满足条件的r 的取值范围．

（2016昌平二模）29. 已知四边形ABCD ，顶点A ，B 的坐标分别为（m ，0），（n ，0），当顶

点C 落在反比例函数的图象上，我们称这样的四边形为“轴曲四边形ABCD ”，顶点C 称为“轴曲顶点”. 小明对此问题非常感兴趣，对反比例函数为y =究.

（1）若轴曲四边形ABCD 为正方形时，小明发现不论m 取何值，符合上述条件的轴曲

正方形只有两个，且一个正方形的顶点C 在第一象限，另一个正方形的顶点C 1在．．第三象限.

①如图1所示，点A 的坐标为（1，0），图中已画出符合条件的一个轴曲正方形ABCD ，易知轴曲顶点C 的坐标为（2，1），请你画出另一个轴曲正方形AB 1C 1D 1，并写出轴曲顶点C 1的坐标为 ；

2

时进行了相关探x

②小明通过改变点A 的坐标，对直线CC 1的解析式y ﹦kx ＋b 进行了探究，可得 k

﹦ ，

b （用含m 的式子表示）﹦

（2）若轴曲四边形ABCD 为矩形，且两邻边的比为1∶2，点A 的坐标为（2，0），求出

轴曲顶点C 的坐标．

图1备用图

（2016通州二模）29．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，点P

圆心C 不重合的点，给出如下定义：如果点P ' 为射线 ．．CP 上一点，满足CP ⋅CP ' =r ，那么称点P ' 为点P 关

于⊙C 的反演点．右图为点P 及其关于⊙C 的反演点P ' 的示意图．

2

(1) 如图1，当⊙O 的半径为1时，分别求出点M (1，0) ，N （0，2），T （，）关于

22

⊙O 的反演点M ' ，N ' ，T ' 的坐标；

(2) 如图2，已知点A (1，4) ，B (3，0) ，以AB 为直径的⊙G 与y 轴交于点C ，D (点C 位于点D 下方) ，E 为CD 的中点．如果点O ，E 关于⊙G 的反演点分别为O ' ，E ' ，求∠E ' O' G 的大小.

图1

图2

（2016顺义二模）29. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C 给出如下定义：若⊙O 上存在两个点A ，B ，使得∠APB =60︒，则称P 为⊙C 的关联点. 已知点M (, ) ，N (-2,0) ，E (0,-

4) ，F （1）当⊙O 的半径为1时，

①在点M ，N ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；

②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO =30︒，若直线l 上的点P (m , n ) 是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；

（2）若线段EF 上的所有点都是半径为r 的⊙O 的关联点，求半径r 的取值范围.

（2016丰台二模）29. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （0，－1）. 点

11

22

P 是平面内任意一点，直线PA ，PB 与直线x =4分别交于M ，N 两点．若以MN 为

直径的圆恰好经过点C （2，0），则称此时的点P 为理想点． （1）请判断P 1（－4，0），P 2（3，0）是否为理想点； （2）若直线x =-3上存在理想点，求理想点的纵坐标；

（3）若动直线x =m (m ≠0) 上存在理想点，直接写出m 的取值范围.

（2016房山二模）29. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫

做“等邻边四边形”. （1）如图29—1，在四边形ABCD 中添加一个条件使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件． （2）问题探究

小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形. 她的猜想正确吗？请说明理由．

（3）如图

29—2，“等邻边四边形”ABCD 中，AB =AD ，∠BAD +∠BCD =90°，AC ，BD 为对角线，AC =

. 试探究线段BC ，CD ，BD 之间的数量关系，并证明你的结论．

C

A

A

2

图 29 — 1

图29—2

（2016怀柔二模）29．已知：x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，

[-1.2]=-2设函数y=x-[x].

(1)当x=2.15时，求y=x-[x]的值;

(2)当0

(3)在(2)的条件下，平面直角坐标系xOy 中，

以O 为圆心，r 为半径作圆，且r≤2，该圆与 函数y=x-[x]恰有一个公共点，请直接写出r 的取值范围．

（2016平谷二模）29．如果一条抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0与x 轴的两个交点为A ，B （点A 在点B 的左侧），顶点为P ，连接P A ，PB ，那么称△P AB 为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式（写出一个即可） ；

（2）若抛物线y =-x 2+bx b >0的“抛物线三角形”是等边三角形，求b 的值； （3）若△P AB 是抛物线y =-x 2+c 的“抛物线三角形”，是否存在以点A 为对称中心的矩形PBCD ，若存在，求出过O ，C ，D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

()

()

（2012•北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的

“非常距离”，给出如下定义：

若|x1﹣x 2|≥|y1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x1﹣x 2|； 若|x1﹣x 2|＜|y1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y1﹣y 2|． 例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P 1Q

与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点）． （1）已知点A （﹣，0），B 为y 轴上的一个动点，

①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线y=x+3上的一个动点，

①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；

②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．