高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质:第1节 象限角与终边相同的角
第1节 象限角与终边相同的角
【基础知识】 1．任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z ) ． 2. 弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
l ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l
r 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
l
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r 的大小无关，仅与角
r 的大小有关．
3. 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
【规律技巧】
1. 对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z ) 的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.
2. 利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角
3. 已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置
【典例讲解】
α
【例1】 (1)若角α是第二象限角，则( )
2A ．第一象限角 B ．第二象限角
C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角 cos α
(2)若sin α·tan α＜0＜0，则角α是( )
tan α A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【解析】(1)∵α是第二象限角， π
∴＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， 2
παπ
∴＋k π＜＜k π，k ∈Z . 422α
当k 为偶数时，是第一象限角；
2α
当k 为奇数时，是第三象限角．
2【答案】(1)C (2)C
【规律方法】
θ
(1)已知θnθ(n ∈N *) 所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含
n θ
有k ) 表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到或nθ(n ∈N *) 所在的象限．(2)
n 象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z ) 的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．
θθθ
cos ⎪＝－cos ，则( ) 【变式探究1】 (1)设θ是第三象限角，且⎪2⎪⎪22A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 【针对训练】 1、 已知角α＝45°，
(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合M=⎨x x =两集合的关系．
【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z ) ， 则令－720°≤45°＋k ×360°
76545
得－765°≤k ×360°
360360从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
⎧
⎩k k ⎫⎧⎫
⨯180 +45 , k ∈Z ⎬, N=⎨x x =⨯180 +45 , k ∈Z ⎬，判断24⎭⎩⎭
2、若sin θ>0且sin 2θ>0，则角θ的终边所在象限是( )
A ．第一象限 答案：A
⎧sin θ>0，⎧sin θ>0⎪
解析： 由⎨，得⎨，
⎩sin2θ>0⎪cos θ>0⎩
B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限
故θ终边在第一象限．
3、终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．
【答案】{α|α＝k π＋，k ∈Z }
【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋，k ∈Z }． 4、若角α是第二象限角，试确定2α，
π
3
π3
α
2
的终边所在位置．
【答案】角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上, 三象限.
【练习巩固】
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 A ．第一象限角 C ．第三象限角
α
2
的终边在第一象限或第
( )
B ．第二象限角 D ．第四象限角
【解析】∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
【答案】C
2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 A ．sin α＋cos α＜0 C ．cos α－tan α＜0
B ．tan α－sin α＜0 D ．tan αsin α＜0
( )
【解析】α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A ，C ，D ，故选B.
【答案】B 3．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ
( )
B ．2 D ．4
【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°π5ππ时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin sin 6665π
与cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限6角，故⑤错．综上可知只有③正确．
【答案】A
4．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角． 【答案】一