2不等式的性质
第二节不等式的性质
教学目的:
1. 熟练掌握性质1,2,3、5的应用;
2. 掌握并会证明性质4、6、7、8、
3. 掌握反证法证明性质8
教学重点:性质4、6、8教学难点:几个授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:a>b,c>d,异向不等式:a>b,c
2.不等式的性质:
性质1:如果a>b,那么bb.(对称性)
即:a>b⇒bb
性质2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性)
即a>b,b>c⇒a>c
性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.
即a>b⇒a+c>b+c
性质5如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相加法则)
即a>b, c>d ⇒a+c>b+d.
二、讲解新课:
性质4:如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
如果a>b,且c
证明:∵ac-bc =(a-b)c
∵a>b∴a-b>0
当c>0时,(a-b)c>0即ac>bc.
当c
类比定理3推论,设想同向不等式相乘,不等号方向是否改变?即如果a>b,c>d是否一定能得出ac>bd?(举例说明)
能否加强条件得出ac>bd呢?(引导学生探索,得出推论) .
性质6 如果a>b >0,且c>d>0,那么ac>bd.(相乘法则)
证明:
又c ① a >b , c >0 ∴a c >b c >d , b >0, ∴bc >bd ②
由①、②可得ac >bd 说明:(1)上述证明是两次运用定理4,再用定理2证出的;
(2)所有的字母都表示正数,如果仅有a >b , c >d ,就推不出ac >bd (3)
说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向性质7 若a >b >0, 则a n >b n (n ∈N 且n >1)
说明:(1)推论2是推论1的特殊情形;
(2)应强调学生注意n ∈N 且n >1 如果a>b >0,那么a n >bn (n∈N ,且性质8
若a >b >0, >n ∈N 且n >1)
点拨:遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反” .我们用反证法来证明定理5
,因为反面有两种情形,即
和=
证明:假定a 不大于b
a
这些都同已知条件a >b >0矛盾
>点评:反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论.
三、讲解范例:
例1 已知a >b >0且0 (相除法则) c d
11⎫a b >>0⎪⇒> 证:∵d >c >0 ∴c d ⎬c d a >b >0⎪⎭
c c > a b
111, 得 >, 证明:∵a >b >0, 两边同乘以正数ab b a
11c c 即 a b a b 例2 已知a>b>0,c
例3 已知a ,b ,x ,y 是正数,且11x y >,x>y.求证:> a b x +a y +b
11>>0 ∴b>a>0, a b
又x>y>0 ∴xb>ay ∴xy+xb>xy+ay 证:∵
即 x(y+b)>y(x+a) ∵a ,b ,x ,y 是正数,∴y+b>0,x+a>0
∴x y >x +a y +b
例4 已知函数f (x ) =ax 2-c , -4≤f (1)≤-1, -1≤f (2)≤5, 求f (3)分析: 利用f (1)与f (2)设法表示a 、c, 然后再代入f (3)的表达式中,从而用f (1)与f (2)来表示f (3), 最后运用已知条件确定f (3)1⎧a =[f (2) -f (1)]⎪⎧a -c =f (1) ⎪3解: ∵ ⎨ 解得 ⎨ 144a +c =f (2) ⎩⎪c =f (2) -f (1) ⎪33⎩
85f (2) -f (1) 33
555 ∵ -4≤f (1)≤1, 故 (-1)(-) ≤(-) f (1) ≤(-4)(-) (1) 333
8840又 -1≤f (2)≤5, 故 -≤f (2) ≤ (2) 333 ∴ f (3) =9a -c =
把(1)和(2)的各边分别相加,得:
-1≤85f (2) -f (1) ≤20 33
所以,-1≤f (3)≤点评:应当注意,下面的解法是错误的:
(1)⎧-4≤a -c ≤-1 依题意,得:⎨ -1≤4a +c ≤5 (2)⎩
由(1)(2)利用不等式的性质进行加减消元,得
0≤a ≤3, 1≤c ≤7 (3)
所以,由f (3) =9a -c 可得,-7≤f (3)≤以上解法其错因在于,由(1)(2)得到不等式(3)是利用了不等式性质中的加法法则,而此性质是单向的,不具有可逆性,从而使得a 、c 的范围扩大,这样f (3)的范围也就随之四、课堂练习:
1.已知a >b >0,c a -c b -d
11⎫a >b >0⎫e e ⎪b -d >0⇒⇒>证: ⎬a -c b -d ⎬c
2.如果a >b >0, c a -c b -d
证:∵01 ∴log sin απ
又∵a >b >0, -c >-d >0 ∴a -c >b -d ∴log sin απlog sin απ11 ∴ a -c b -d a -c b -d
3. 判断下列各式是否正确?为什么?
(1)如果a >b,那么a-c>b-c真
(2)如果a > b,那么a/c>b/c假
(3)如果ac
(4)如果ac 2> bc2, 那么a>b真
4. π/4
5. 若-14
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五、小结 :本节学习了如下八个不等式性质
性质1. a >b ⇔b
性质2. a >b 且b >c ⇒a >c (传递性)
性质3. a >b ⇒a +c >b +(c 同加性)性质4. (同乘性)
a >b 且c >0⇒ac >bc ;
a >b 且c
性质5 a >b 且c >d ⇒a +c >b +d (同向不等式的可加性)
性质6 .(非负同向不等式的可乘性)
a >b >0且c >d >0⇒ac >bd
性质7. (非负不等式乘方性质)
n a >b >0⇒a n >b (其中n ∈N
*)
性质8. (非负不等式开方性质)
a >b >0⇒>n ∈N *且n >1)
六、课后作业:
课本P 84 习题3.1
B 组 1、2、3